2026-2027学年广西南宁市第四中学五象凤凰校区高中部高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广西南宁市第四中学五象凤凰校区高中部高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|0<x<2}，B={0,1,2}，则A∩B=(

)A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}2.若直线ax+y+1=0与直线2x+(a+1)y+2=0平行，则a=(

)A.a=−2 B.a=1 C.a=−2或a=1 D.a=23.双曲线y22−xA.y=±2x B.y=±2x C.y=±4.某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60 )，[60,80)，[80,100].估计本班学生的消防安全知识成绩的90百分位数是(

)A.93 B.80 C.90 D.955.设a=log20.3，b=log120.3，c=0.30.3，则A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b6.曲线x225+y29A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有不同的焦距，不同的焦点

C.有相等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA⊥CB，CA=CB=2，AA1=3，M为AB的中点.A.3134

B.31058.如图，点F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线交椭圆C于A，A.35

B.73

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在空间直角坐标系O−xyz中，已知A(1,2,−1)，B(0,1,1)，下列结论正确的有(

)A.|AB|=6

B.OA⋅OB=1

C.若n=(4,2,t)，且n⊥AB10.下列选项正确的是(

)A.直线3x+(4+m)y−3+3m=0(m∈R)恒过定点(−3,3)

B.直线33x+y+1=0的倾斜角为150°

C.圆x2+y2=3上有且仅有2个点到直线x−y+2=0的距离都等于1

11.已知O为坐标原点，过P(0,2)的直线l与双曲线C：x2−y22=1相交于A.双曲线C的离心率为3

B.直线l斜率的取值范围为(−6,6)

C.若Q是双曲线C上的动点，则|PQ|的最小值为213

D.过O作l三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.点(1,2)关于直线2x−3y−9=0对称的点的坐标为

．13.已知直线l：m(x+y+1)+y−x=0，m∈R，圆C：(x−1)2+(y−2)2=9，则直线l被圆C14.函数f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(x)=f(2−x)，若f(1)=5，则f(1)+f(2)+…+f(2026)=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C的圆心C在直线x−2y+4=0上，且与x轴交于两点A(−5,0)，B(1,0)．

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知Q(2,1)，点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2acosB=2c−b．

(1)求角A的大小；

(2)若a=23，b+c=6，求△ABC的面积．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=23sinx⋅cosx+2cos2x−1．

(1)求f(x)单调区间；

(2)当x∈[−18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，∠ABC=90°，且PA=AD=4，AB=BC=2，PB=25，E为PD的中点．

(1)证明：CE/​/平面PAB；

(2)求二面角E−AC−D的余弦值．19.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(2,0)，离心率为12．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线l：y=kx+2与C交于A，B两点．

(i)求△ABO面积的最大值；

(ii)在y轴上是否存在一定点P，使得直线PA1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】ABC

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】(5,−4)

13.【答案】214.【答案】5

15.【答案】解：(1)根据圆C与x轴交于A(−5,0)、B(1,0)两点，

可知线段AB的中垂线为x=−2，故圆C的圆心在直线x=−2上，

结合题意圆心C在直线x−2y+4=0上，可得圆心C的坐标为(−2,1)，

半径r=|BC|=(−2−1)2+(1−0)2=10，

所以圆C的标准方程为(x+2)2+(y−1)2=10；

(2)设M(x,y)、P(x0,y0)，由中点坐标公式得x=x0+2216.【答案】解：(1)cosB=a2+c2−b22ac，代入2acosB=2c−b得2a⋅a2+c2−b22ac=2c−b，

即a2+c2−b2c=2c−b，两边同乘c得a2+c2−b217.【答案】解：(1)由题意，可得f(x)=3sin2x+cos2x=2(32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π6)，

令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，

令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z，

故f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π618.【答案】解：(1)证明：取PA中点M，连接EM，BM．

∵E为PD的中点，M为PA中点，∴EM/​/AD且EM=12AD，

又AD//BC，BC=2，AD=4，BC=12AD，

∴有EM/​/BC且EM=BC，∴四边形BCEM为平行四边形，

则CE//BM，又BM⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE//平面PAB．

(2)在△PAB中，由PA=4,AB=2,PB=25，得PB2=PA2+AB2，∴PA⊥AB．

∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊂平面PAB，

∴PA⊥平面ABCD．

又∵AD/​/BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，则AB⊥AD．

如图以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，P(0,0,4)，C(2,2,0)，D(0,4,0)．

∵E为PD的中点，∴E(0,2,2)，∴AP=(0,0,4),AC=(2,2,0)，AE=(0,2,2)，

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AC=2x+2y=0n⋅AE=2y+2z=0，取x=1，可得y=−1，z=1，∴n=(1,−1,1)，

又∵PA⊥平面19.【答案】解：(1)由题意椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(2,0)，离心率为12，

可得e=ca=12,c=2，则a=4，即b2=a2−c2=12，

所以C的标准方程为x216+y212=1；

(2)设A(x1,