专题04圆中的重要模型-圆中的翻折模型

专题04圆中的重要模型圆中的翻折模型

知识储备：

1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；

2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角

相等；

3、等圆相交：如图，圆。和圆G为两个相等的圆，圆。和圆G相交，相交形成的弦为月从则弦月为整

个图形的对称轴，圆心。和圆心G关于48对称，弧力C8和弧力。8为等弧，且关于48对称；

4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦8c为对称轴，将弧8c扬折后交弦48于点。，那么弧CO8所在的

圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于AC对称，故圆心0、G也关于AC对称。

模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）

如图，以圆。的一条弦8C为对称轴将弧8C折叠后与弦44交于点。，则CZ）=C4

特别的，若将弧〃。折叠后过圆心，则CD=C4,NC4B=60°

例1.（2023春•浙江金华•九年级校联考阶段练习）如图，是OO的内接三角形，将劣弧死沿4c折

叠后刚好经过弦8C的中点。.若心6,ZC=60°,则。。的半径长为（）

D.|⑨

C.软

【答案】D

【分析】设折叠后的北所在的圆心是。，连接0'力，。'。，进而得出力8=4。，设。。的半径是八作

0G_L48,根据勾股定理得出在另一个图中作4W_L8C,

设,表示BD,MC,然后根据直角三角形的性质得出MC=3,即可求出x的值，进而得出4W

和8/W,再根据勾股定理求出48,结合力8=6,•可得答案.

【详解】如图，设折叠后的G所在的圆心是O'，连接少力，

AZA07）=2ZACB=120°,连接。力，.同理，408=120。，AAAOB=£AO'D.

•.•。0和00是等圆，・・.43=4。.设。。的半径是小过点。作OG_L/18于点G.

OA=OB,404=120°,：,Z0AB=Z0BA=3(f>,AB=2AG,

：.0G-LOA-\r,/.AB-2AG-2Jr2(1r)2-&.过点4作.4"_L8C于点A/,

22V2

VAB=AD,设8M=DW=x,则8£>=2x.

VD是8c的中点，JCD=BD=2x,：,MC=DM+CD=3x.

VAMIBC,Z.ACB=60°,AZ^C=30°.在RtZ\4WC中，"C=』/IC=3,

2

•.=3，解fjx=1,•*•A"—\JAC~—MC~=3A/3»BM=%=1.

在Rt△力&W中，AB=//+§#=2a.,;AB=Cr，Ar=故选：D.

3

【点睛】本题是一道关于圆的综合问题，难度较大，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30。直角三角

形的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法.

例2.（2022秋•江苏•九年级校考专题练习）如图，以48为直径的半圆沿弦8c折叠后，48与弧C8相交于

点D,若弧弧如则/层——.

【答案】15。/15度

【分析】如图，连接OC,首先证羽;=!而，得出4OC=，x180。=30。，根据圆周角定理即可求解.

56

【详解】解：如图,连接OC,

>-S1/_j<r<r_S,1>/一f1-〜

VCD=—BD,AC=CD，=—BC,AC=—ACB,

456

AZJOC=-x180°=30°,Z.ZABC=-ZAOC=\50,故答案为：15°.

62

【点睛】本题考查了圆周角定理，翻折变换等知识，正确的作出辅助线是解题的关键.

例3.（2023•河北保定•统考一模）如图，已知,48是。。的直径，且力8=4,。是。。上一点，将弧力。沿

直线/C翻折，使翻折后的圆弧恰好经过圆心O,则（1）/C的长是.（2）劣弧8C的长是.

解.

【详解】解：如图，连接40,将阴影部分沿"翻折，点尸的对应点为M,过点股作收NIC。于点N,

•••CQ为。。的直径，ABLCD,43=8,AG=—AB=4,

2

•••OG:OC=3:5,ABLCD,垂足为G,.•・设。。的半径为3,则OG=3Z,

•••(3A)2+42=(5〃)2,解得:无=1或左=T(舍去),

.•.5。=5,即。。的半径是5,连接OM,则乙必。。=60。，AZA/0C=120°,

过点M作MN1CD于点N,・••MN=MOsin60°=5x巫，

2

.C_o_（＞叩120〃x2525625/r25囱

360434

即图中阴影部分的面积是：过一生叵.故答案为：也一生［.

3434

【点睛】本题主要考查直角三角形的，圆，扇形面积的计算，拧叠知识的综合，理解圆的基研知识，直角

三角形的勾股定理，扇形面积的计算方法，折叠的性质是解题的关犍.

例5.（2023•山东潍坊•昌邑市校考二模）如图，将扇形408翻折，使点4与圆心0重合，展开后折痕所在

直线/与弧力4交于点C,连接力C.若04=3,则图中阴影部分的面积是（）

Af,O

3万9734549后_9&3知n3/r

2424222

【答案】A

【分析］连接0C,根据垂直平分线的性质得到△AC。为等边三角形，即可求出扇形40C的面积，再算出

力。。的面积，即可解答.

【详解】解：如图，连接。C，

■.•将扇形力08翻折，使点4与圆心。重合，

：.AC=OC=OA,ZJDC=Z6>DC=90°,.•.△4OC为等边三角形，/.ZAOC=60°,

扇形40C的面积为33乃、黑=孚，.•.。。=:力。=：,「.8=也，

360°2222

.•.53％=3'地>1=地，，阴影部分的面积为9-九3,故选：A.

0c22424

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，翻折变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

例6.（2023•吉林长春•统考模拟预测）如图，在。。中，点C在比弧叁上，将及沿BC折叠后刚好经过AB

的中点D,连接AC,CD.则下列结论中错误的是（）

①AC=CD；@AD=BD；③最-俞=京;④CD平分/ACB

【答案】A

【分析】根据折叠的性质可得AD=CD；根据线段中点的定义可得AD=BD；根据垂径定理可作判断③；延

长0D交。。于E,连接CE,根据垂径定理可作判断④.

【详解】过D作D〉_LBC,交。。于D',连接CD\BD',

由折叠得：CD=CD',ZABC=ZCBD',AAC=CD'=CD,故①正确;

•・•点D是AB的中点，・・.AD=BD,•・・AC=CD，，故②正确;

，才，由折叠得：砺=砺，比；故③正确；

延长0D交。。于E,连接CE,•・・OD_LAB,

AZACE=ZBCE,，CD不平分NACB,故④错误；故选：A.

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变,

位置变化，对应边和对应角相等.也考查了圆周角定理和垂径定理.

例7.（2022春・福建福州•九年级校考阶段练习）如图，48是。。的直径，4C是。O的弦，先将前沿BC

翻折交力3于点。，再将砺沿力8翻折交4c于点瓦若前=在，则N8CO的度数是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】连接AC，CD,DE,设/48C=a,证明NC48=3a,利用三角形内角和定理求出。，可得结论;

【详解】解：如图，连接力C，CD,DE,设乙48c=a,

ED=EBED=EB,Z.EDB=Z.EBD=a,

-：AC=CD=DE»:.AC=CD=DE,:.NDCE=/DEC=NEDB+NEBD=2a,

:.NCAD=NCDA=NDCE+/EBD=3a,・.・48是直径，/.ZAC3=90°,，NC4B+N4BC=90°,

/.4a=90°,/.a=22.5。，ZBCD=ZDCE=2a=45°,故选：C.

【点睛】本题考查翻折变换，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的

关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

例8.（2023•湖北黄石•校考模拟预测）如图，在半圆。中，直径力4=4,。是半圆上一点，将弧4c沿弦4C

折叠交48于。，点E是弧的中点.连接OE,则OE的最小值为（）

A.V2-1B.4-72C.x/2+1D.272-2

【答案】D

【分析】把弧AEC的圆补全为（DF,可知点F与点0关于AC对称，求出ZF=90°,CE长，OE的最小值为ECOC.

【详解】解：把弧AEC的圆补全为。F,可知点F与点。关于AC对称，半径为2,

,\ZFCA=ZACO,VOA=OC,AZACO=ZCAO,AZFCA=ZCAO,ACF//AB,

YE是弧力。的中点，AFE1AB,.\ZF=ZBGE=90<<,

VFC=FE=2,，EC=2近，VOE>ECOCBPOE>2V22,OE的最小值为2加—2，故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线，根据三角形

三边关系确定OE的取值范围.

例9.（2023•浙江杭州•统考二模）如图。。中直径48=2,点E是48的中点，点C是力七上的一个动点，

将C8沿线段8c折叠交力8于点D.（1）如图1,当N48C=2C。时，，求此时怒的长.

（2）如图2,连结4C,当点。与点。重合时，求此时的长.

（3）设力C=x,DO=y,请直接写出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.

\-X2(Q<X<\)

【答案】（1）—;（2）1；(3)7=

X-\2(\<X<J2)

【分析】（1）连接OC,求出4。。=40。，进而用弧长公式即可求解结果：

（2）作点。关于8C的对称点/，连接CF,BF,DF,QC,先判断出80=00=3=86,进而得出A50尸

是等边三角形，求出43F=60。，再判断出A40c是等边三角形，即可得出结论；

（3）作点。关于8C的对称点G,连接C。，CG,BG,由折叠判断出4C=CO,过点。作于〃,

进而得出彳。=2/开，再求出4/=；/,得出4）=2/皿=/.再判断出0vx«>/5，最后分两种情况，利用

线段的差，即可得出结论.

【详解】解：（1）如图1,连接0C,

♦••0。中直径48=2,.•.04=1,•.•元的长为黑^=若；

1OV9

(2)如图2,作点。关于AC的对称点尸，连接C『，BF、DF,DC,

由折叠知，BD=BF,CD=CF,♦点D与点、O里.合，：.BD=DC,：.BD=DC=CF=BF,

•;DF=BD,BD=DF=BF,「.A8。/7是等边三角形，尸=60。，

vBD=DC=CF=Bf,「.四边形8DC77是菱形，/.Z.AOC=ZABC=60°,

-OA=OC,.•.△/1。。是等边三角形，，/。=。4=1：

(3)如图3,作点。关于6c的对称点G,连接C。，CG,BG,

由折叠知，CD=CG,^CBG=Z.CBA,:.CG=AC,.\AC=CD,

Arr

过点C作r“，.•./O=2/〃，•••川是。。的直径，.•.4C8=90。，cosZ/?JC=--=4,

AB2

AHAH.xAH...1,

，RtAACH中，cosZ5JC=——=,­--=,/.AH=-x2,AD=2AH=x~»

ACx2x2

由（2）知，当点。与点。重合时，AC=\,即x=l,

当点C与点C重合时，连接。E,AE,

•・•点E是益的中点，为直径，，N/1OE=90。，.•"E=y/iO4=&，

,・’点C是就上的一个动点，.•.0<x4近，

当点。住半径04（包括点。）上时，O<XW1,y=D（J=（M-AD=T,

当点。在半径08（不包括。）上时，l<x<啦，y=DO=AD-OA=x2-\,

1-A-2(0<X<1)

即J'=

x-l2(l<x<>?2)

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了折叠的性质，弧长公式，菱形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，锐角三角函数，解（2）的关键是判断出四边形是菱形，解（3）的关键是构造出直角三角

形求出力〃.

课后专项训练

1.（2023•福建龙岩•统考模拟预测）如图，AB.AC为。。的两条弦，AB=3g，AC=4f将48折叠后

刚好过弦4C的中点。，则。。的半径为（）

A.272B.石C.5D.V7

【答案】B

【分析】连接BD,作BEL/1C于E,连接AO、BO、DO、BC,过点。作JL8E于八可由NDAB=NCAB

推出4O-4C,进而利用勾股定理求得。K,BE,然后证明四边形。£>/是矩形，可得。口-DE-1,

EF=OD,再利用勾股定理构建方程求出E/，然后可求半径0.4.

【详解】解：如图，连接80,作8E1/C于£,连接力。、BO、DO、BC,

♦:NDAB=NCAB,•.•访=R,:.BC=BD,：.DE=CE=^~CD=-AC=1,

24

在RlZUBE中，AB=30，AE=AD+DE=3,/.BE=^(3x/2f-32=3，

过点O作。产于凡•••点。是4c中点，・・・。。，力。，

工NODE=NDEF=NEFO=90。,工四边形ODE尸是矩形，：.OF=DE=1,EF=OD,

又<(/+BF?=OB，,OD2+AD2=OA2,且01=04,

AOF2+BF1=OD2+AD2,AI24-(3-£F)2=EF2+22,解得：EF=1,

***OD=EF=1,OA=AD~+OD=>/2'+1'=V5，故选：B.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理.，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等

知识，解决问题的关键是作辅助线，求出OE,BE.

2.（2023・河北唐山・统考二模）如图，已知标的半径为5,所对的弦力3长为8,点尸是薪的中点，将初

绕点A逆时针旋转90。后得到西，三位同学提出了相关结论：

嘉嘉：点尸到小的距离为2淇洪：福的长为2石嘉淇：线段〃扫过的面积为2石乃

A.嘉嘉对，淇洪错B.淇淇对，嘉洪错C.嘉嘉错，嘉洪错D.淇淇错，嘉淇对

【答案】A

【分析】根据垂径定理得出4M=BM=g45=4,利用勾股定理求得OM,继而即可求得点尸到48的距离

为2,故即可判断嘉嘉对；利用勾股定理求得4尸的长为2石，因可判断淇淇错"根据线段4P三过的面积=

扇形40P的面积求得即可判断嘉淇错.

【详解】解：设筋所在圆的圆心为O,连接OP、OA,

一•点P是前的中点，:.OPLAB.4M=BM=g4B=4,

OM=\IOA2-AM2=3».•.PM=5-3=2，.,.点P到48的距离为2，故嘉嘉对,

:.PA7AM2+PM?=V22+42=2石，故淇淇错；

..茂葭力尸扫过的面积一S90”（2灼一故嘉淇错，故选：A.

一J闷形"F-一,兀

【点睛】本题考查r扇形的面积、垂径定理，勾股定理，明确线段川，扫过的面积一扇形，依'的面积是解题

的关键.

3.（2023・河北唐山•统考二模）如图，。。的直径13=4,。是0。上一点，将标•沿直线4C翻折，若翻折

后的圆弧恰好经过点O,则图中阴影部分的面积为（）

A,竺-2GB.竺-省C.2.26D.生一3

33332

【答案】B

【分析】连接0C,BC,可证得OC=8C=O8=,48=2,NCO5=60。，ZOAC=30°,再过点。作OC_L/C

2

于点。，可求得O。、AD.最后根据S阴影=S斓形*”-SA/好，即可求得.

【详解】解：连接0C，BC,

。;NCAO=NCAB,.oC=BCf：OC=BC,

OC=BC=OB=-AB=-x4=2,ZCOB=60°,ZOAC=30°,

22

ZJOC=180o-60°=I20°,过点0作OC1AC于点D,

:.OD=^AO=^x2=l,AC=2AD,AD=y]AO2-OD2=>j22-12=V3，

：.AC=243..•$阴影=5电形0一52"J??：：2--gxZ/xl乃一百.故选：B.

/1（:36023

【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，扇形的面积公式，作

出辅助线是解决本题的关键.

4.（2023•湖北武汉•模拟预测）如图，在扇形/。8中，点C,。在弧//上，将弧C。沿弦折叠后恰好与

0408相切于点瓦尸.已知乙408=120。，。4=6,则的长为（）

c.4x/6D.6石

【答案】C

【分析】设翻折后的弧的圆心为O'，连接O£O'凡OO\O'C0。交CD广点"，可得

OO'1CD,（TH=OH=^OO',O'C=CM=6,根据切线的性质可证明ZOVF=60°，根据30。直角三角形和勾

股定理即可解决问题.

【详解】如图，设翻折后的弧的圆心为。，连接O'E。'凡OO',O'C,OO'交于点//,

将弧CD沿弦C。折叠・•.OOflCDQ'H=OH=-OO'Q'C=O'F=OA=6/.CD=2CH

2f

;恰好与04cM相切于点旦尸，:・NO'EO=NO'FO=90°,Ot=O'F=OA=6,

^AOH=120°,AO'OF=-ZAOB=60°,

2

.・.o（y=———=—^―=6+立=4百，・•・O'H=2万，

sin/O'OEsin60°22

**-CH=VaC2-OrH2=2x/6•:・CD=2CH=4瓜.故选：C.

【点睛】本题考查了翻折变换，切线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质.

5.（2023秋•浙江宁波•九年级统考期末）如图，将。。沿弦力8折叠，点C,。分别是两条弧的中点，灰与

薪的度数之比为3:4,则/力力5的度数是（）

C.144°D.150°

【答案】A

【分析】根据元与标的度数之比为3:4,点C,。分别是两条弧的中点，可知标的度数，进一步可知优

弧茄的度数，根据圆周角定理可得力4。4的度数.

【详解】解：•••元与弱的度数之比为3:4,点C,。分别是两条弧的中点，

4

・••薪的度数为360。*--=144°,根据折叠，优弧凝的度数为360。-144。=216。，

AZ^Di?=216ox1=108°,故选：A.

2

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），圆周角定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

6.（2022•河南商丘•校考一模）如图1所示是一张圆形纸片，直径/8=8,现将点力折叠至圆心。形成折痕

CD,再把C、。折叠至圆心。处，最后将圆形打开铺平（如图2所示），则》的长是（;

【答案】A

【分析】如图2,连接AC、AD.OC、OD.OE、OF、CE和DF,由折叠及圆的半径相等可得出△力OC、

△COE、△40。和4。。厂都是等边三角形，从而可求得NEO9的度数，再由直径求得半径，则可利用弧长

公式求得答案.

【详解】解：如图2,连接月C、AD.OC、OD、OE、OF、CE和。E

图2

由折叠及圆的半径相等可知，AC=CO=OA,AD=OD=OA,CE=OE=OC,D卜=OF=（JD,

•••△4OC、△COE、△40。和△00户都是等边三角形,

，NEO产=360°-60°X4=120°,.・•直径48=8,上半径为4,

・iz口120^x48乃ii

・・M的长是々八一二~7・故选：AA.

1OVJ

【点睛】本题考查了折叠的性质，求弧长，等边三角形的性质，掌握折叠的性质求得/£0b=120。是解题

的关键.

7.（2022秋・浙江绍兴•九年级校考阶段练习）把一张直径为2的半圆形纸片按如图所示方式折叠一次后展开,

图中的虚线表示折痕，则近的长度是（）

AC

A.—71B.—7tC.-7TD.—7T

34612

【答案】C

【分析】连接8。，过点。作0EJ.48于点£根据折叠的性质得出：EO=gBO,AB//DC,从而根据含

30c角的直角三角形的性质判定450=30。，得出NBOD=30。，进而可求N5OC=150。，最后根据弧长公

式计算即可.

【详解】如图，连接60,过点。作0EJ.X8于点E,

c

由折叠的性质可得：EO=-BO,ABIIDC、：,4EBO=30。，：,4BOD=30°,

2

Z.BOC=180°-ZBOD=150°,工部的氏度是弛上二='.故选C.

1806

【点睛】本题考查折叠的性质，含30。角的直角三角形的性质，平行线的性质，以及弧长公式.解题的关键

是正确作出辅助线.

8.（2022春•九年级课时练习）如图，已知半圆。的直径43=8，。是半圆上一点，沿/C折叠半圆得到弧力。C,

交直径48于点。，若。力、06的氏均不小于2,则"C的长可能是（）

【答案】A

【分析】分如解图①，当点。在圆心。的左侧且4。=2时，如解图②，当点。在圆心。的右侧且8。=2时,

两种情况求出AC的长，从而确定AC的取值范围即可得到答案.

【详解】如解图①，当点。在圆心。的左侧且力。=2时.，过C作CE//1B.垂足为£,连接C。、CO、CB,

**AC=ADC^：.4CDB=ZCBD,:・CD=CB,ADE=BE=3,

VDO-2,/.OE^\,/.AE^S,CE1=CO2OE2=15，AAC-JCE2+AE2-<40：

如解图②，当点。在圆心。的右测且“。=2时，过C作C£_Z/1B,垂足为E,连接C。、CO、CB,

:公=而3，：,4CDB=/CBD,；・CD=CB,:・DE=BE=\,

，0E=3，；・AE=7，CE2=CO2-OE2=7fAAC=y/cE2+AE2=756»

,若D4、的长均不小于2,则如44。4回，・・・4。的长可能是7,故选A.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，无理数的估算等等，利用分

类讨论的思想求解是解题的关键.

9.（2023・北京•统考二模）如图，48是。。的直径，。是。。上一点，将弧AC沿直线力。翻折，若翻折后

的图形恰好经过点。，则NC48=

【答案】30

【分析】作OE_LAC交。。于F,交ACPE,根据折登的性质得到OE=gOF,根据直角三角形的性质解答.

【详解】解：作OE_L4C交。07尸，交4c于E,

VOA=OF,：.OE=；OA,在RtZ\,40E中，OE=；OA,CAB=3Q°,故答案为：30.

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、含30。角的性质，以及圆的知识，折叠是一种对称变换，折叠前后

图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

10.（2023春北京海淀九年级校考开学考试）如图，将半径为3cm的圆形纸片折叠后，劣弧中点。恰好与

圆心。距离1cm,则折痕的长为cm.

【答案】2石

【分析】取标的中点。，根据圆的对称性和折叠的性质可知点0,C,。共线，作直线OC,交力B于点、E,

连接60,可知勿=3cm,0£=2cm,根据垂径定理可知OE_L46,在Rt/XOBO中，根据勾股定理求出OE,

进而得出答案.

【详解】取初的中点。，根据圆的对称性和折叠的性质可知点0,C,。共线，作直线0C,交AB于点E,

连接4。，根据题意可知必=3cm,OE=2cm,

•・•点。是标的中点,A0ELAB.

在RJO5E中，根据勾股定理，条BE=y/OB二0E3=5

V0ELAB,J月8=28£=2囱(cm).故答案为：2石.

【点睛】本题考查折叠的性质，垂径定理和逆定理等，构造直角三角形是解题的关键.

11.（2023・河南周口•统考二模）如图①，月8为半圆。的直径，点。在标上从点A向点8运动，将部沿

弦3C,翻折，翻折后比的中点为0,设点A,。间的距离为工，点O,。间的距离为V,图②是点C运

动时歹随工变化的关系图象，则48的长为.

y

①②

【答案】8

【分析】由图②可知，当x=4时，y=0,此时，4c=4,。，点ijO,点重介，由此即可解题.

【详解】解：由图②可知，当x=4时，y=0,

此时，JC=4,。点与。点重合，如图，

44一

取5?的中点E，连接OE、EB,

,;OE=OB,根据对称性，得08=BE,/EBC=/ABC,

：,OB=OE=BE,「.VOE8是等边三角形，ZJ5F=60°,/.^ABC=-^ABE=30,

2

为直径，;ZCB=90。,在△力C8中，4c8=90。，Z.ABC=30°,

.•.48=2/0=8,.:/台长为8.故答案为：8.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、圆周角定理及含30。侑的直角三角形的性质，解答本题的关键是

根据图2得到4C=4时，。点与。点重合，此题难度一般.

12.（2022秋•河南商丘•九年级校联考期末）如图，点4,B,C,D,七是。。上5个点，若4B=4O=2,

将弧CO沿弦CQ翻折，使其恰好经过点。，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型〃的轴对称图形，"钻

戒型”（阴影部分）的面积为.

E

【答案】3-3月

【分析】连8、OE,如图，利用折叠性质得四边形。。是菱形，COD=CED^贝USfECD=S-OCQ,

判断△COE为等边三角形则可求得/。。。=/。£。=120。，根据扇形面积公式，三角形的面积公式进行计算

即可.

由题意可知OC=OD=C£=£Z),COb=CED>

：.S^ECD=SMQCD,四边形OCED是菱形，/./COD=/CED=2/CEO,

*：CO=EO=CE,•・•△COE是等边三角形，AZC£6>=60°,；・NCOD=NCED=120。,

同理可证•是等边三角形，△4。4是等边三角形，

2

・•・SM08=SACOE=SADOE=—X2=>/3,，S边式)CED=SACOE+SQOE=26

4

・•・S4ns^0CD2S$,、OCED+SAAOB=2(122-一26)+石=?4-3后故答案为：:不一3石.

36033

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面

积.记住扇形面积的计算公式.也考查了折叠的性质.

13.(2023•江苏宿迁•九年级阶段练习)如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②

方式翻折，使得点C与圆心。重合，则图中阴影部分的面积是.

图①图②

【答案】2K-y

【分析】连接0C交MN于点P,连接OM、ON,根据折叠的性质得到OP=；OM,得到NPOM=60。，根据勾

股定理求出MN,结合图形计算即可.

【详解】解：连接0C交MN于点P,连接OM、ON,

图②

由题意知，OC1MN,且OP=PC=1,在R5MOP中，V0M=2,OP=1,

OP।_____

*,«COSZPOM=--=-，AC=VOM2-OP2=G，

Oivl2

.,.ZPOM=60%MN=2MP=26AZAOB=2ZAOC=120%

则图中阴影部分的面积=5半网2s弓形MCN

=!XTIX222X(12071X2.1X273X1)=2后"，故答案为2月盘.

【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、

三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键.

14.(2022秋・山东济宇•九年级校考期末)如图，将半径为,cm的。。折叠，弧48恰好经过与48垂直的半

径。。的中点。，已知弦的长为4ji?cm，贝"=cm.

【答案】8

【分析】延长CO交力8于E点，交。0于点凡连接。8,由OC与48垂直，根据垂径定理得到七为48的

中点，然后利用。是OC的中点和对称即可求出ODCD、的长，从而求出OE,然后由OB,。月的长，

根据勾股定理求出8E的长，进而得出半径08的长.

【详解】解：延长CO交48于七点，交。。于点尸，连接08,

・•・£为44的中点，•:AB=4/，：・BE=gAB=2昭,

是。。的中点，0C=〃，：,CD=OD=-r,OB=r,CF=2OC=2r,

2

1\(1^3311

根据对称的性质可得：DE=-DF=-2r--r=-r,OE=DE-OD=-r-r=\r,

2212J4424

在RtZ\0£8中，根据勾股定理可得：OB=SE】+BE2即，.=J+(2而了

Ar=8（负值舍去）故答案为：8.

【点睛】此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得

出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长CO并连接。8作

辅助线是本题的突破点.

14.（2023・广东•九年级专题练习）如图，已知“8C是。。的内接三角形，。。的半径为2,将劣弧/C（虚

线）沿弦力C折叠后交弦8c于点。，连接力力.若4C8=60。，则线段月。的长为.

A

【答案】2。

【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为。，则。。与。。'设等圆，/4CO是公共的圆周角，所以可以证得

AB=AD,设。。的半径为H,过。作OG_L48于G,可得NO48=NO比1=30°,AB=2AG,即OG=1,

根据勾股定理可得AG=JL即可求得.

【详解】设折叠后的北所在圆的圆心为。，连接07，O'D

Z.A07)=2NACB=120°

连接O/,OB

同理，408=120。，4仍=乙仞力：。。与。O'是等圆W=

设。O的半径为及过。作OG_LABT-G

•：OA=OB,408=120。.・.N04B=NO84=3（F,AB=2AG

・••OG=^OA=1AAG=>IOA2-OG2=G:,AB=2AG=2框故答案为：2石.

【点睛】本题考查/圆中的折叠变换，垂径定理等，注意等圆中的公共角，公共弦，公共弧，这些都是相

等的，利用这些等量关系，是解决此类题的突破口.

15.（2022春•浙江•九年级专题练习）如图，在。。中，48为。。的直径，弦CDL4B,垂足〃在半径。4

上.若劣弧。。沿着直线翻折，点8落在Q1上的点£处（点£不与点4。重合），连结以C&C2.

A

（1）求证：ZACE=^DCO.

（2）延长CE交。。于点用，连结若4W=10Q£=3,求/4CE的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）得

【分析】（1）由折舂的性质可得/ECH=//CH,由圆周角定理可得乙4b=90°,即N8C〃+//lC〃=9（r,利

用垂径定理易得CO_L",即NC4O+N4C〃=90。，等量代换可得结果；

（2）由折叠的性质可得N4=NC£4,EH=BH,利用圆周角定理可得N4=N4MC,定量代换可得

N4MC=NAEM,易得力£=4W=10,又因为OC=OL可得3+。〃=13。〃，可得利用边角关系可得结果.

【详解】解：（1）证明：连接C。，

由翻折可知/ECH=NBCH,•・•OA=OC.:.^CAO=ZACO,

•・78为。。的直径，：.NACB=90°,；.NBCH+NACH=9。。,

":CDLAB,：,ZCAO+^ACH=90°,

:,NBCH=NCAO=NACO,：,ZECH=ZACO,

即NACE+NECO=NDCO+NECO,ZACE=ZDCO.

(2)连接CO,

由翻折可知/8=NC砧，EH=BH,

,:NB=NAMC,NCEB=/AEM,:・/AMC=NAEM,

：.AE=AM=10,：.OC=OA=13,：.3+OH=13OH,：・OH=5,

sinZ/1C^=sinZDCO=.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，圆周角定理.，解直角三角形等,综合运用定理是解答此题的关键.

16.（2023•江西•九年级统考阶段练习）如图1,在A4AC中，AB=AC,以BC为弦的。。与AB相切于点B.

（1）求证：4C是。。的切线；（2）将。。中4C以下部分沿直线AC向上翻折.

①如图2,若翻折后的弧过力〃中点。，并交力。于点E,请判断。E与6C的关系，并说明理由.

②如图3,若AB=2向,且翻折后的弧恰好过点A,则。。的半径为.

【答案】（1）见解析；⑵①DE〃BC,OE=；BC,见解析，②2

【分析】（1）连接OB,0C,根据等腰三角形的性质，得NABC=NACB,ZOBC=ZOCB,结合NABO=90。，

即可得到结论；（2）①连接DE,BE,由圆周角定理得反=前，从而得访=在，进而得DE〃BC,由点

D是AB的中点，可得DE是AABC的中位线，进而即可得到结论；②连接AO,BO,CO,设A0交比「点

。'，易得。力是荻所在圆的直径，记。4交弧BC于点。\两圆半径相等，那么点O'就是前所在的圆的

圆心，可得AOBO是等边三角形，再利用解直角三角形，即可得到答案.

【详解】（1）连接OB,OC,VAB=AC,OB=OC,

AZABC=ZACB,ZOBC=ZOCB,AZABO=ZACO,

〈AB是。。的切线，.•・NABO=90'，AZACO=90°,JAC是。。的切线；

（2）①DE//BC,DE=；BC,理由如卜・：连接DE,BE,

VAB=AC,AZABC=ZACB,・••比=砺,

-9­DC-DE=^BE-3E^即：BD=CE>AZBED=ZCBE,Z.DE/7BC,

:.ZADE=ZABC=ZACB=ZAED,；・AD=AE,

•・•点D是AB的中点，/.AD=yAB,AAE=yAC,

••・点E是AC的中点，.'.DE是AA8C的中位线，.\DE=yBC.

综上所述：DE/7BC,DE=yBC；

②连接AO,BO,CO,设AO交密于点6,

•・•胡折后的弧恰好过点A,NABO=90。，・・・A0是嬴所在圆的直径，

丁沈所在圆与5?所在圆是等圆，二。。'既是公所在圆的半径，也是流所在圆的半径，

，点O'是就1所在圆的圆心，•••O'BP'OOB,，ACrB。是等边三角形，即NAOB=60。，

・••在RtAAOB中，AO=AB^sin600=2>/3^—=4,，00'=2,即：0。的半径为2.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，圆的切线的判定定理，圆周角定理及其推论以及解直角三角形,

添加合适的辅助线，构造直角三角形和等边三角形，是解题的关键.

17.（2023・江苏无锡•九年级校联考期中）如图1,将长为10的线段O力绕点。旋转90。得到OB,点力的运

动轨迹为叁，P是半径08上一动点，。是油上的一动点，连接P0.

（1）当/尸。。=时，P。有最大值，最大值为;

（2）如图2,若尸是08中点，且。0_LO4于点P,求心的长；

（3）如图3,将扇形沿折痕彳。折叠，使点〃的对应点方恰好落在04的延长线上，求阴影部分面积.

【答案】（1）900,10&;（2）yT；（3）25^-10072+100

【分析】（1）先判断出当P。取最大时，点。与点4重合，点P与点8重合，即可得出结论；

（2）先判断出/尸0。=60。，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；

（3）先在RSZTO尸中，002+（10戊-10）2=（IO-OP）2,解得。尸=10夜-10,最后用面积的和差即

可得出结论.

【详解】解：（1）:夕是半径Q5上一动点，。是右上的一动点，

・•・当产。取最大时，点。与点力重合，点产与点8重合，

此时，/尸00=90。，PQ=yj0A2^0B2=10>/2，故答案为9（T,1072；

（2）解：如图，连