2026-2027学年广东省深圳市外国语学校高二上学期学科练习（一）数学试卷（含答案）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.直线与直线互相垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.3.直线：和直线：互相平行，则的值为（）A. B.3 C.或3 D.或14.已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（）A. B.C.或 D.或5.设点，，若直线与线段没有交点，则a的取值范围是（）A. B.C. D.6.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（）A. B. C. D.7.已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知集合，，若，则的值不可能为（

）A.或 B.1 C. D.0二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.已知直线，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.若直线在轴上的截距为，则C.若直线与直线垂直，则D.若，则直线的倾斜角的取值范围为10.已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（）A.直线BC的倾斜角不存在B.直线AB的斜率为-2C.边AB上的高所在直线的方程为D.边AB上的中线所在直线的方程为11.在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（）A.为直角三角形 B.，，，依次连起来是一个四边形C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.过点且倾斜角为的直线方程为___________．13.已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____14.已知动点在直线上，过点作互相垂直的直线，分别交轴、轴于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则的最小值为_______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知为坐标原点，，，若．（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的值域．16.如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．18.如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．（1）若是的中点，求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若点到平面的距离为，求的长．19.为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5．游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜．游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜．游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜．（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）当时，求游戏三的获胜概率；（3）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解.解答过程：直线经过，两点，直线斜率为，设直线的倾斜角为，则，得，即直线的倾斜角为.2.直线与直线互相垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据互相垂直的直线斜率关系即可求解．解答过程：因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，故选：Ｂ．3.直线：和直线：互相平行，则的值为（）A. B.3 C.或3 D.或1答案：A解析：解答过程：因为直线：和直线：互相平行，所以，解得.4.已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（）A. B.C.或 D.或答案：C解析：思路：通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解.解答过程：设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即，当时，设直线的方程为，又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为；当时，设直线的方程为，即，又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为，即.综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或.故选：C5.设点，，若直线与线段没有交点，则a的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：因为直线的斜率为，且直线过定点，所以将直线与线段没有交点时，求a的取值范围，转化为过的直线与线段没有交点时，求直线斜率的相反数问题，可得a的取值范围.解答过程：直线过定点.如图，，直线与线段没有交点时，直线斜率满足，所以.故选：C.6.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由重心坐标公式可得：重心，根据垂直平分线的性质设出外心，根据，求出外心，再求出斜率，利用点斜式即可求出欧拉线方程.解答过程：由重心坐标公式可得：重心，即.设外心，因为，所以，解得，即.，故欧拉线方程为：，即：，故选：A.7.已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据函数解析式确定求得函数的对称中心，由此得到，化简，再根据基本不等式求解即可.解答过程：由，可得，，所以，即，所以函数的对称中心为，又因为在直线上，所以，所以，所以，因为，所以，，根据基本不等式有：，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C8.已知集合，，若，则的值不可能为（

）A.或 B.1 C. D.0答案：D解析：思路：根据集合的定义以及集合中元素所具有的几何意义求解．解答过程：当时，，满足，则；当时，集合表示一条直线，集合也表示一条直线（去掉一点），若直线过点，则，解得或，若两直线平行，则（），解得，所以的可能值为.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.已知直线，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.若直线在轴上的截距为，则C.若直线与直线垂直，则D.若，则直线的倾斜角的取值范围为答案：AB解析：思路：求出直线过定点坐标即可判断A，将点坐标代入直线方程求解即可判断B，根据直线垂直的关系列式求解即可判断C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断D.解答过程：直线，令即，得，所以直线恒过定点，故A正确；若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得，解得，故B正确；若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确；设直线的倾斜角为，则，又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确；故选：AB10.已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（）A.直线BC的倾斜角不存在B.直线AB的斜率为-2C.边AB上的高所在直线的方程为D.边AB上的中线所在直线的方程为答案：BCD解析：思路：利用斜率与倾斜角的关系可判断A选项；利用斜率公式可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项.解答过程：直线BC的倾斜角为，斜率不存在，A选项错误；直线AB的斜率为，B选项正确；边AB上的高线与AB垂直，斜率，又高线过点C，边AB上的高所在直线的方程为，即，C选项正确；边AB上的中点坐标为，则边AB上中线所在直线斜率为，所以中线方程为，即，D选项正确.故选：BCD.11.在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（）A.为直角三角形 B.，，，依次连起来是一个四边形C. D.答案：ACD解析：思路：根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断.解答过程：对于A，直线的斜率，直线的斜率，，即，为直角三角形，A正确；对于B，直线的斜率，点共线，B错误；对于C，在中，，，，C正确；对于D，，，D正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.过点且倾斜角为的直线方程为___________．答案：解析：解答过程：由于过的直线倾斜角为，即该直线垂直于轴，所以其方程为．13.已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____答案：解析：思路：根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解.解答过程：根据题意画出线段AB如下图所示：的几何意义为与连线的斜率.又，所以结合图象可得，.14.已知动点在直线上，过点作互相垂直的直线，分别交轴、轴于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则的最小值为_______.答案：解析：思路：设，过点作互相垂直的直线，设为，，，求出A,B两点坐标，根据中点坐标公式求出M，利用向量的坐标运算即可得，根据二次函数求最值即可.解答过程：设，，，，，故.,所以当时，故方法提示：本题主要考查了直线的方程，向量数量积的坐标运算，二次函数求最值，属于中档题.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知为坐标原点，，，若．（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的值域．答案：（1），（2）解析：思路：（1）先用向量数量积及二倍角公式化简为，再根据正弦函数的单调性求递增区间.（2）由角的范围结合正弦函数的图象性质求值域即可.（1）由题意得，由正弦型函数的性质可得其单调递增区间满足，化简得，即的单调递增区间为，.（2）因为，所以，在该区间内，，故.16.如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，已知，，是侧棱的中点，则：，故；，故；，故；又，平面，由线面垂直判定定理可得，平面．（2）解析：思路：（1）根据已知四棱锥的性质，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，利用向量数量积计算得出线线垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论；（2）求出平关向量及平面法向量，进而利用线面角公式计算求解．（1）略（2），设平面的法向量为，则，令，则，故，设直线与平面所成角为，由线面角公式得：．17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将已知等式进行角化边，利用余弦定理得，结合得到的值．（2）由利用平方关系求出．将转化为，利用两角差的正弦公式求出，利用求出，利用三角形的面积公式得解.（1）将正弦定理代入已知条件，得．由余弦定理得，因为，所以．（2）由，可得．又，则．故的面积．18.如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．（1）若是的中点，求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若点到平面的距离为，求的长．答案：（1）证明：如图，连接交于点，连接.因为四边形为矩形，所以点为中点.在中，是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）（3）解析：思路：（1）连接交于点，连接，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量即可求二面角的余弦值.（3）设，利用点到面的向量公式即可求的值，进而可求的长.（1）略（2）平面，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则所以，，，设平面的法向量为，则，即.令，则，，所以.设平面的法向量为，则，即.令，则，，所以.所以.由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.（3）设因为，所以.点到平面的距离为，解得.所以.则.所以的长为19.为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5．游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜．游戏二：从箱子里有放回地依次