2026-2027学年河南省新乡市部分校高三上学期9月月考数学试卷（含答案）

/数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.的值为（）A. B. C. D.3.已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.4.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（）A. B. C. D.5.已知函数，则（

）A.是奇函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数6.已知，且，则（）A. B. C. D.7.已知函数的导函数为，若存在使得，则称是函数的一个“类点”，则下列函数中，不存在“类点”的是（

）A. B.C. D.8.若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（）A.1 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.10.若正实数，满足，则（）A.的最小值是8B.的最大值是C.的最大值是D.的最小值是11.已知函数，其中，则下列说法正确的有（）A.存在实数使得为上的奇函数B.若为增函数，则的取值范围为C.对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点D.若，则方程有三个不同的实数根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，若，，则_____．13.不等式的解集为，则实数的取值范围是________．14.已知函数有最大值，则实数的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的图象过点，且在内存在最大值，但不存在最小值．（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）若，求函数图象的对称中心．16.已知函数．（1）若，讨论函数的单调性；（2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值．17.已知函数．（1）若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围；（2）当时，解关于的不等式．18.已知函数（且，，）．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）讨论函数的零点个数．19.已知．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，求实数a的取值范围；（3）证明：

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为，，所以2.的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得.3.已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据给定的复数等式求解出复数，再利用复数模的计算公式计算的值即可.解答过程：由可知，且.展开得，化简得.则，.4.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由图象可知函数的最小正周期，所以，解得.5.已知函数，则（

）A.是奇函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数答案：C解析：思路：先求出函数的定义域，再逐一判断各选项的函数是否满足定义域关于原点对称，且即可得到答案．解答过程：依题意得函数的定义域需满足，解得，或，对于A，令，其定义域满足，或，即，不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；对于B，令，其定义域满足，或，即，关于原点对称，又，则，则，所以不是奇函数，故B错误；对于C，令，其定义域满足，或，即，关于原点对称，又，则，则，所以是奇函数，故C正确；对于D，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称，所以不是奇函数，故D错误．6.已知，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先由三角函数值及角的范围可得角及所在象限，再由同角三角函数关系式及半角三角函数关系式可得.解答过程：已知，且，因此是第四象限角，即，得，该区间是第二象限，因此.由同角三角函数基本关系​，代入，所以，结合是第四象限角，，得.由半角公式得，因此.7.已知函数的导函数为，若存在使得，则称是函数的一个“类点”，则下列函数中，不存在“类点”的是（

）A. B.C. D.答案：C解析：思路：本题属于新定义题型，以“类点”为载体，考查基本初等函数求导、方程有解的判断，解题核心是读懂定义：判断方程是否存在实数解，转化为函数零点存在性问题，考查导数运算与函数零点的分析能力.解答过程：根据题意，函数存在类点等价于方程有实数根.对于A：，，方程为，变形得，即，存在实数解，故A存在类点.对于B：，，方程为，即，，方程有实根，故B存在类点.对于C：，，方程为，整理得，由于，因此，又，故左边，右边，等式不可能成立，方程无实数解，故C不存在类点对于D：，定义域，，方程为，令，在上单调递增，，，由零点存在定理可知存在零点，方程有解，故D存在类点.8.若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（）A.1 B. C. D.答案：B解析：思路：设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值.解答过程：设直线与切于，与切于.求导得，，因此公切线斜率，整理得①.的切线方程为；的切线方程为.同一直线截距相等，消去同类项得②，将①代入②，得关于的函数.对求导得，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此时取最小值，即.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：设复数，对于A，易知，所以，可得A正确；对于B，易知，由可得，所以，即B正确；对于C，，而，所以，即C错误；对于D，根据C中分析可知，即可得，所以D正确.10.若正实数，满足，则（）A.的最小值是8B.的最大值是C.的最大值是D.的最小值是答案：BC解析：思路：根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D.解答过程：对于A，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是16，故A错误；对于B，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确；对于D，，当时，取得最小值，故D错误．11.已知函数，其中，则下列说法正确的有（）A.存在实数使得为上的奇函数B.若为增函数，则的取值范围为C.对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点D.若，则方程有三个不同的实数根答案：BC解析：思路：对于A：举反例说明即可；对于B：分和两种情况，结合恒成立运算求解；对于C：令，，结合零点存在性定理分析判断；对于D：分析可知函数在定义域内单调递减，且值域为，即可判断结果.解答过程：对于选项A：因为，即，可知不为奇函数，故A错误；对于选项B：若为增函数，可知函数连续不断，当时，则，可得恒成立，则，可得；当时，则，可得恒成立，则，可得；综上所述：的取值范围为，故B正确；对于选项C：当时，令，因为，，可知函数在内存在零点，即方程在内有根，所以对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确；对于选项D：若，则有：当时，则，可得恒成立，可知函数在内单调递减，则，且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为；当时，则，可得恒成立，可知函数在内单调递减，则，且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为；综上所述：函数在定义域内单调递减，且值域为，所以方程有且仅有1个实数根，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，若，，则_____．答案：解析：解答过程：由，，则，故，，，由，所以.13.不等式的解集为，则实数的取值范围是________．答案：解析：解答过程：由不等式的解集为，则，则，则，当且仅当，即时，取等号，所以，即实数的取值范围是．14.已知函数有最大值，则实数的最大值是______．答案：##解析：思路：先求出时函数的最大值为，再对时函数的底数分类讨论.当时，段函数趋向正无穷，无最大值；当时，段单调递减，令该段函数上界不大于2，解不等式即可求出的最大值.解答过程：当时，是增函数，因此这一段的最大值为.当时，​，分两种情况讨论底数：若，指数函数在上单调递增，则单调递增，当时，，函数不存在最大值，不符合题意.若，指数函数在上单调递减，则单调递减，则当时，.要使存在最大值，则需保证这一段函数值不大于，即，整理得.结合条件，解得，综上，实数的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的图象过点，且在内存在最大值，但不存在最小值．（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）若，求函数图象的对称中心．答案：（1）（2）（3），．解析：思路：（1）由结合即可求出；（2）根据在上有最大值，且无最小值，结合正弦函数图象即可求出的取值范围；（3）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心．（1）因为，，所以，因为，所以．（2）由（1）得，．由，，得，因为在内存在最大值，但不存在最小值，由正弦函数的图象，得，解得，所以正数的取值范围为．（3）由，及（2）得，则，所以，令，，解得，所以函数图象的对称中心为，．16.已知函数．（1）若，讨论函数的单调性；（2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值．答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）解析：思路：（1）根据导数与单调性的关系求解即可；（2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可.（1）函数的定义域为，因为，则令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）若，则.令，则，则在单调递减.因为对任意的，恒成立，所以，即.所以的最大值为.17.已知函数．（1）若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围；（2）当时，解关于的不等式．答案：（1）（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．解析：思路：（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可；（2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可.（1）当时，，解，得，解集不是空集，故舍去．当时，要使的解集为空集，必须满足函数的图象开口向下且与轴最多有一个交点，即，，即，解得．综上，实数的取值范围是．（2）由题意，得，即，整理得，即．因为，所以．当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为．综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．18.已知函数（且，，）．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）讨论函数的零点个数．答案：（1）（2）当或时，函数的零点个数为；当且时，函数的零点个数为．解析：思路：（1）由变形为恒成立，再构造函数，再分两种情况讨论：当时，当时，，不符合题意；当时，得函数在处取得极小值也是最小值，且，故进而可得所求值；（2）由（1）知，当时，的零点个数为；当时，再分三种情况：①若时有个零点；②若时有个零点；③若时有个零点，进而可得函数零点个数.（1）因为，所以恒成立，即（）恒成立．两边取自然对数，得，所以恒成立．令，则在恒成立．对求导，得．因为，所以在上单调递增．当时，，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上单调递减．因为，所以当时，，不符合题意．当时，令，解得，则当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值也是最小值，即．因为，所以要使得恒成立，必有，解得，即实数的值为．（2）由（1）知，函数的零点个数等价于函数的零点个数．由（1）知，当时，在上单调递减，且，所以的零点个数为.当时，在上单调递减，在上单调递增．①若，有且仅有，故的零点个数为.②若，则，即，因为在上单调递减，由，得.又当时，，故存在，使得．此时有两个零点为和，故的零点个数为.③若，则，即，因为在上单调递增，由，得．又当时，，故存在，使得．此时有两个零点和，即的零点个数为.综上，当或时，函数的零点个数为；当且时，函数的零点个数为．19.已知．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，求实数a的取值范围；（3）证明：答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为．（2）