陕西省西安铁一中滨河高级中学2026-2027学年高二（上）单元学情调查数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年陕西省西安铁一中滨河高级中学高二（上）单元学情调查数学试卷（一）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.直线2x-3y+1=0的一个方向向量是（）A.（2，-3） B.（2，3） C.（-3，2） D.（3，2）2.设i为虚数单位，若（1-i）z=2i,则|z|=（）A. B.2 C.2 D.83.集合A={x|x2-（3+a）x+3a=0}，B={x|（x-1）（x-2）=0}，则A∩B一定不会等于（）A.{3} B.{2} C.{1} D.∅4.已知空间向量，若点C在平面PAB内，则k=（）A. B. C.-1 D.05.掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A=“朝上的面的点数为奇数”，事件B=“朝上的面的点数为5或6”，则下列说法正确的是（）A. B.事件A与事件B为对立事件

C. D.事件A与事件B相互独立6.已知函数f（x）=ax3+sinx+2，若f（2）=-1，则f（-2）=（）A.1 B.3 C.5 D.67.已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（）A.1+ B.4 C.1+3 D.78.已知椭圆C：，F1，F2为C的左、右焦点，P为C上的一个动点（异于左、右顶点），设△F1PF2的外接圆半径为R，内切圆半径为r,则R+r的最小值为（）A. B.1 C. D.2二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知直线l1：x+ay+1=0，l2：（a-1）x+y+a=0，则下列说法正确的是（）A.当a=1时，直线l1的倾斜角为135° B.当l1⊥l2时，

C.若l1∥l2，则a=-1 D.直线l1始终过定点（-1，0）10.函数的部分图象如图所示，则（）A.是奇函数

B.是偶函数

C.

D.11.在△ABC中，B=90°，，D，E分别是AB，AC中点，将△ADE沿DE折起至A′DE.设二面角A'-DE-B为θ，则（）A.DE⊥A′B

B.当θ=60°时，平面DEA'与平面BCA'的夹角为60°

C.存在θ，使平面DEA'⊥平面BCA'

D.存在θ，使三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。12.已知角α是第四象限角，且tanα=-，则sin2α=

.13.有一个五位数，各个位上数字的平均数为6，方差为，则这个五位数最大是

.14.过圆C：x2+y2=1外一点P（x,y）作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，则的最小值为

.15.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球分别相切于椭圆的两个焦点F1，F2.过椭圆上一点P作圆锥的母线，分别与两个球相切于点M，N，此时PN=PF1，PM=PF2.已知两个球的半径分为别1和3，椭圆的离心率为，则两个球的球心距离为

.

四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

已知在某次飞行员选拔测试中，甲、乙、丙三人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙、丙能够通过测试的概率分别为，回答下列问题：

（1）求恰有1人通过测试的概率；

（2）求至少有2人通过测试的概率.17.(本小题10分)

已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，将△ABC沿AC折起，得到如图所示的空间几何体P-ACD.

（1）经过P点的平面α∥平面ACD，平面α∩平面PAD=直线l,求证：l∥平面ACD；

（2）当平面APD⊥平面CPD时，求PD的长.18.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边a,b,c分别为体积是的圆台的上、下底面半径和高.

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC为锐角三角形且c=7，求△ABC面积的取值范围.19.(本小题12分)

△ABC的三个顶点分别是A（4，0）、B（0，2）、C（3，1）.

（1）求边BC上的中线所在直线l的方程；

（2）求过点A、B，且圆心在直线2x-3y-9=0上的圆G的标准方程；

（3）求△ABC的外接圆方程.20.(本小题13分)

已知椭圆C：=1（a＞b＞0），则称椭圆Cλ：=λ（λ＞0且λ≠1）是椭圆C的等比缩放椭圆．若椭圆C的短轴长为2，离心率为，椭圆Cλ是椭圆C的等比缩放椭圆，点P是椭圆Cλ上异于左、右顶点A，B的任意一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）当λ=时，设直线PA与椭圆C交于点E，F，线段EF中点为G，直线PB与椭圆C交于点M，N，线段MN中点为H，证明：kOG•kOH为定值．21.(本小题15分)

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，AD=DC，AB⊥BC，PA=PC.

（1）证明：平面PBD⊥平面ABCD；

（2）若AC=4，，二面角P-AC-B的平面角为，

（i）求平面PAD与平面PBC的夹角的正弦值；

（ⅱ）设点E为四棱锥P-ABCD外接球面上的一点，求点E到平面PAD距离的最大值，并求此时点E的坐标.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】AB

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】86655

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】解：（1）甲、乙、丙三人各自能否通过测试相互独立，

甲、乙、丙能够通过测试的概率分别为，

记甲、乙、丙通过测试的事件分别为A，B，C，

则，

恰有1人通过测试的事件为：，

∴由独立事件的乘法公式及互斥事件的概率公式得恰有1人通过测试的概率为：

=

=．

（2）由（1）得至少有2人通过测试的事件为：，

∴由独立事件的乘法公式及互斥事件的概率公式得至少有2人通过测试的概率为：

=

=

=．

17.【答案】解：（1）证明：∵平面α∥平面ACD，平面α∩平面PAD=l,平面ACD∩平面PAD=AD，∴l∥AD，

又∵AD⊂平面ACD，l⊄平面ACD，∴l∥平面ACD；

（2）取PD中点F，连接CF，AF．

由于PA=AD，PC=CD，

∴AF⊥PD，CF⊥PD，

由二面角定义知∠AFC为平面APD与平面CPD所成的二面角的平面角，

当平面APD⊥平面CPD时，，

又∵，即，PA=PC=2，∴AC=2，

易得△APD≌△CPD，∴AF=CF，

在Rt△ACF中，由勾股定理可得，

在Rt△AFP中，由AP=2，得，

∴．

18.【答案】解：（1）圆台的上底面半径为a,下底面半径为b,高为c,

则该圆台的体积，

结合题意，可得，

化简得a2+b2+ab=c2+2ab,即a2+b2-c2=ab,

在△ABC中，由余弦定理得cosC==，

结合C∈（0，π），可得；

（2）在△ABC中，c=7，，

由正弦定理得，

所以，

根据△ABC为锐角三角形，且，

由，解得，即，

所以

=，

由，可得，

所以，

可得，

故，

因此△ABC的面积．

19.【答案】解：△ABC的三个顶点分别是A（4，0）、B（0，2）、C（3，1）．

（1）边BC的中点．中线l过A（4，0）与M，斜率，

故，即3x+5y-12=0．

（2）AB的中点为（2，1），AB的斜率为，故AB的垂直平分线方程为2x-y-3=0．

圆心G在直线2x-3y-9=0上，联立

解得G（0，-3）．半径，故圆G的标准方程为x2+（y+3）2=25．

（3）由（2）得圆心G（0，-3），又，

而A，B在圆G上，

故A，B，C三点均在圆G上，所以△ABC的外接圆就是圆G，方程为x2+（y+3）2=25．

20.【答案】（1）解：由题知，

解得，所以C的方程为．

所以椭圆的方程为，即．

（2）证明：由（1）得椭圆的方程为，

令y=0得x=±1，即A（-1，0），B（1，0）．

设点P（x0，y0），则，所以．

设，，

则，所以．

直线PA：y=k1（x+1），联立，

消y得．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则，

所以，．

所以．

同理，，将代入得kOH=k1．

所以，所以得证．

21.【答案】解：（1）证明：如图所示，连接AC，取AC的中点为O，因为AB=BC，所以BO⊥AC，

又因为AD=DC，所以DO⊥AC，所以B，O，D三点共线，

即O=AC∩BD，所以AC⊥BD；

又因为PA=PC，O为AC中点，所以AC⊥PO，BD，PO⊂平面PBD，BD∩PO=O，

​​​​​​​所以AC⊥平面PBD，

又因为AC⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD；

（2）（i）因为PO⊥AC，BO⊥AC，则∠POB即为二面角P-AC-B的平面角，即，

因为AC=4，AB⊥BC，O为AC中点，所以BO=2，又因为，

在△POB中，由余弦定理得：

，

所以12=4+OP2+2OP，即OP2+2OP-8=0，因为OP＞0，所以OP=2．

因为BA=BC，BD=BD，DA=DC，所以△BAD≌△BCD，

又因为，则∠ABD=∠CBD=．

又因为AC=4，，BA=BC，所以，即，

记过点O且与平面ABCD垂直的直线为z轴，因为平面PBD⊥平面ABCD，

所以z轴在平面PBD内，再以OA，OB为x,y轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），D（0，-2，0）.，

设平面PAD的一个法向量为，，，

由，

令，则，z1=1，则，

设平面PBC的一个法向量为，，，

由，

令x2=1，则y2=-1，，则．

设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，

则，

则，即平面PAD与平面PBC的夹角的正弦值为．

（ii）由上分析可知，OA=OB=OC=OD=OP=2，所以点O为四棱锥P-ABCD外接球的球心，且