2027届四川绵阳市高三上学期诊断性考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）高中2024级第一次诊断性考试数学注意事项：1.考生领到答题卡后，须在规定区域填写本人的姓名、准考证号、座位号和班级.2.考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.考生回答非选择题时，须用0.5mm黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上.选择题和非选择题的答案写在试卷或草稿纸上无效.3.考生不得将试卷、答题卡和草稿纸带离考场，考试结束后由监考员收回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，，且，则的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．42．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，，则下列不等式一定正确的是（

）A． B．C． D．5．在量子存储实验中，量子态的保真度随存储时间（单位：微秒）呈指数衰减，满足模型，其中为初始保真度（），为特征时间常数.若保真度不低于初始保真度的，则存储时间与的比值最大为（

）A．4 B．5 C．6 D．76．设是上的奇函数，且满足，则（

）A． B． C． D．7．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．8．已知，，，则（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数，下列结论正确的有（

）A．是偶函数 B．在上单调递增C．仅有两个零点 D．若，则10．已知函数，则（

）A．的图象关于对称 B．的最小正周期为C．为的一个极大值点 D．的值域为11．已知正项等比数列与等差数列的首项均为1，且，.将乘积按如下方式排成三角形数表，其中第行依次为，，…，.记为第行至第行所有数的和.第1行：第2行：

第3行：

……第行：

…

下列结论正确的有（

）A．的公比为2B．第行所有数的和为C．，与的奇偶不同D．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知，则___________.13．记数列的前项和为，且满足，，则______，______.14．已知函数.若对，关于的方程在上至少有一个解，则实数的取值范围是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．近年，我国低空经济产业快速发展，无人机应用日益广泛.下表是某市2021—2025年无人机注册数量（单位：千架）的统计数据，其中为对应年份的代码.年份2021202220232024202512345810131618(1)根据以上数据，求关于的经验回归方程；(2)利用（1）中的回归方程，预测该市2028年无人机注册数量.参考数据：，参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，.16．已知数列是公差不为零的等差数列，且，数列满足.(1)证明：为等差数列；(2)记，的前项和分别为，，且，求的通项公式.17．已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)若，，且满足，求的值.18．已知函数，曲线在处的切线经过点.(1)求实数的值；(2)讨论函数的单调性；(3)为给定常数，且.若，且设在上的最大值为.证明：对任意实数，.19．已知函数.(1)求函数在上的最小值；(2)对任意，试比较与的大小，并说明理由；(3)数列满足，且.设，证明：.答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．A【详解】由，，且，得，当且仅当时取等号，所以的最大值为1.2．C【详解】因为，所以，即，因此.3．B【分析】根据正切函数的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】若，则,故充分性不成立，若，则，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B4．D【分析】取，，，即可判断选项ABC错误，再由不等式性质证明选项D正确.【详解】对于选项A，取，，，则，，但，故选项A错误；对于选项B，取，，，则，，但，故选项B错误；对于选项C，取，，，则，，但，故选项C错误；对于选项D，因为，，所以，故选项D正确.5．B【详解】依题意，，而，则，又函数是上的增函数，因此，解得，所以存储时间与的比值最大为5.6．C【分析】由已知可得，结合奇函数性质可得，，由此可得，根据此关系可得结论.【详解】因为，所以，即，因为是上的奇函数，所以，，所以，即，所以，所以.7．B【分析】根据函数图象过点及单调性求出的值，利用图象平移变换规律求出的解析式，代入求值即可．【详解】由图象可知，函数过点，所以，即，解得．又由图象可知，且函数在附近单调递减，当时，，此时，，且在处，正弦函数处于递减阶段，符合题意，所以．将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则，所以．8．D【分析】先将对数统一为以为底的形式比较与的大小，再通过对数运算性质转化为指数形式比较与的大小，最终得到三者排序.【详解】，又，，则，则，故，即，故，故.9．AD【分析】结合分段函数的定义，利用偶函数定义判断A，利用导数分析单调性判断B，结合B及偶函数性质判断零点个数判断C，作差函数，利用指数函数性质判断D．【详解】选项A，对任意，当时，，当，此时，，当时，，所以是偶函数，选项A正确；选项B，当时，求导得，若，则，，故，所以在上单调递减，选项B错误；选项C，由选项B知，当时，在上单调递减，已知，若，则，，故，所以在上单调递增，则的极小值为，当时，，故在上有1个零点，又，由选项A知，是偶函数，所以当时，也有1个零点，则共有3个零点，选项C错误；选项D，当时，，则，当时，，故，，所以，选项D正确．10．ACD【分析】计算是否等于可得A；计算是否恒成立可得B；借助导数计算可得C；结合函数周期与函数单调性计算可得D.【详解】对A：，故的图象关于对称，故A正确；对B：，故B错误；对C：，令，解得，又，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故为的一个极大值点，故C正确；对D：，故是的一个周期，则在上的值域与在上的值域相同，由C可知，在上单调递增，在上单调递减，又，，故的值域为，故D正确.11．ABD【分析】首先求出两个数列的通项公式，再依次分析各选项：先求等比数列公比、等差数列公差，再计算第行和，判断的奇偶性，最后变形不等式验证D选项.【详解】设正项等比数列公比为，等差数列公差为，首项均为，则，，由题意得，故，故，，的公比为2，A正确.设第行的所有数之和为，由题知，为等比数列的前项和，，B正确.由题知，，与都是奇数，为奇数，当为奇数时，为个奇数相加，其奇偶性和完全一致，C错误.将不等式变形为，而，，故，，恒成立，D正确.12．##【分析】结合诱导公式，即得解【详解】由题意，根据诱导公式故答案为：13．【分析】令，则，解方程即可得出答案；，当时，，得，然后利用等比数列定义求得通项公式并验证是否成立即可得解.【详解】令，则，化简得，因为，所以，所以，当时，，得，即，所以是首项、公比的等比数列，即，时，符合题意，所以.14．【分析】由题意可得，利用换元思想解方程即可求得实数的取值范围.【详解】由，可得，即，设，则可得，所以，所以，所以，解得或，所以或，所以或，因为，所以方程在有一解，又因为，所以时，方程至少有一个解在内，所以实数的取值范围是.15．(1)(2)26千架（或26000架）【分析】（1）首先计算，再根据参考公式求和，最后求得回归直线方程；（2）再将代入方程进行预测.【详解】（1）由已知得，，，，，故，，所以关于的线性回归方程为，（2）2028年对应的，当时，，所以预计该市2028年无人机注册数量为26千架．16．(1)设数列的公差为.因为数列是公差不为零的等差数列，所以，且.又，所以，即，所以.故.又，所以.又，为常数，故为等差数列.(2)或【分析】（1）根据等差数列的通项公式、等差中项的性质即等差数列的定义证明即可.（2）根据等差数列的前项和公式及已知条件求出，代入求解即可.【详解】（1）略（2），，所以.整理得，即，解得或.当时，；当时，.故或.17．(1)的单调递增区间为(2)的值为【分析】（1）先通过三角恒等变换将化简为正弦型函数，利用正弦函数单调性求解单调区间；（2）推导的解析式，代入已知等式结合余弦函数的性质求解符合范围的.【详解】（1）由，，得，由，解得，所以的单调递增区间为；（2），由，得,得，所以，即，，或，即，，又，，仅当时符合；，仅当时、时符合；综上，的取值为.18．(1)(2)若，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；若，在定义域上单调递增；若，在区间和上单调递增，在区间上单调递减.(3)法1：当时，，因为在上的最大值为，则，，即对任意实数，有，，，则，化简得，，假设，，则，与上述推理矛盾，故和不可能同时小于，即.法2：证明：由（1）知，故．因为，所以定极值点，且右端点．由，可知对任意实数，必有：，且．令，解得．①当时，，此时；②当时，因为，所以，从而．于是,此时．综合①②可知，对任意实数，恒有．【分析】（1）求出切线方程，再代入点，求出；（2）根据的取值，利用导数讨论单调性；（3）法1：选择在上的一个极值点和端点函数值，要证明对任意实数，满足，可以证明对任意实数，和必有一个大于等于，利用反证法可以证明.法2：首先分析得，再对分和讨论即可；【详解】（1）对函数求导得，，则，，则曲线在处的切线为，该切线经过，所以，解得.（2）函数，则，若，即，当时，，当时，，故在区间和上单调递增，在区间上单调递减；若，即，则，，故在定义域上单调递增；若，即，当时，，当时，，故在区间和上单调递增，在区间上单调递减.（3）略19．(1)(2)，理由如下：令，，则，令，，则，令，，则，故在上单调递增，则，即恒成立，故在上单调递增，故，则对任意恒成立，故，由，则，故，故在上单调递减，故，即；(3)