2027届四川资阳市高三上学期诊断性考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）高中2024级第一次诊断性考试数学本试卷共4页，共19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知全集，，则（

）A． B．C． D．2．在等差数列中，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．83．在一次课外活动中，某班组织男生开展了引体向上测试．现抽取了8名男生的引体向上成绩（单位：个），依次为9，11，8，10，13，14，16，22，则该组数据的第75百分位数为（

）A．14 B．15 C．16 D．194．已知向量，，则“”是“”的（

）A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．充要条件5．已知直线与曲线相切，则实数（

）A．-2 B．1 C．2 D．46．已知，则（

）A． B． C． D．7．已知，，，，若，且，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．38．在的展开式中，含的项的系数为，记数列的前项和为．若不等式恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数满足，则（

）A．的虚部为 B．是纯虚数C． D．10．已知函数，则（

）A．在区间上单调递减B．的最大值为C．的图象可由的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到D．的图象关于点成中心对称图形11．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且，则（

）A． B．4是的一个周期C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，则____________．13．一个口袋里装有4个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．现从中任意取出3个小球，设变量为取出的3个小球中红球的个数，则的数学期望____________．14．以平衡位置为原点，忽略阻力时，弹簧振子做简谐振动，位移随时间变化可表示为余弦型函数．记弹簧振子在时刻的位移为（位移单位：cm，时间单位：s），称的时刻为过零时刻，对应弹簧振子经过平衡位置．若在时段内（端点不计入）恰有个过零时刻，就称为次过零时段．已知某弹簧振子的位移满足，且是0次过零时段，则的取值范围是____________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数在处取得极值．(1)若直线与曲线有三个不同的交点，求实数的取值范围；(2)求在区间上的最大值与最小值．16．已知数列的前项和为，，且．(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．17．在中，三个角，，所对的边分别是，，．已知向量，，且．(1)求；(2)记外接圆的圆心为，边的中点为，若，，求的值．18．为探究环境温度对某型号纯电动汽车实际续航里程的影响，某新能源汽车企业随机抽取一辆该型号试验车，在车速、路况、载重等变量保持一致的前提下，分别在5种不同环境温度下开展满电续航测试．测得环境温度x（单位：℃）与实测续航里程y（单位：km）的对应数据如下表：环境温度x（℃）−5051020实测续航里程y（km）260265280305330与此同时，为研究冬季启动电池预热功能对车辆实际续航的影响，该企业随机抽取200名该型号车主开展问卷调查．规定：冬季实际续航里程不低于280km（即标称续航350km的80%）为“续航达标”．调查结果如下列联表所示：电池预热功能续航合计达标未达标冬季启用7525100冬季未启用5545100合计13070200(1)求实测续航里程y关于环境温度x的线性回归方程，并预测当环境温度为25℃时，该车的实测续航里程；(2)依据小概率值的独立性检验，分析冬季启用电池预热功能与续航达标是否有关联；(3)根据列联表数据，用样本分布的频率估计总体分布的概率．从该型号纯电动汽车中随机抽取10辆（假设该型号汽车的总体数量远大于10），记X为这10辆电动汽车中“冬季续航未达标”的辆数，令，求取最大值时k的值．参考公式或数据：线性回归方程中，系数，由下式确定：，；参考数据：；独立性检验统计量：，．临界值表如下：α0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82819．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)当时，，求的取值范围；(3)设，求证：．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．D【详解】，，或，即.2．C【详解】由数列为等差数列，，则，解得.3．B【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为，因为，所以第75百分位数为排列后的第6，7个数据的平均数，即.4．B【详解】当时，，，所以，故，充分性成立；当时，，解得，故推不出，故必要性不成立.综上，“”是“”的充分不必要条件.5．A【详解】设切点为，对，求导，切线斜率为，所以，得，即，，切点既在曲线上，也在切线上：，，联立：。解得，又，所以.6．A【分析】利用差角的正弦公式和同角的三角函数关系式求解.【详解】由，可得，因，则.7．D【分析】通过对数换底公式将转化为关于的对数表达式，结合的定值条件，利用基本不等式可求解的最小值【详解】因，则，，结合，可得.则，当且仅当时取等号.8．C【分析】先通过分步乘法计数原理求出展开式中的项的系数为，再利用裂项相消法求解数列的前项和为，结合的单调性与极限值，确定使不等式恒成立的的最小值；【详解】对于的展开式，每一项由个因式各取一个元素相乘得到。要得到含的项，需从个因式中选取1个取、1个取、1个取，剩余个因式取常数1，根据分步乘法计数原理：选有种方法，选有种方法，选有种方法，因此该项的系数为，其中，数列的通项为，利用分式裂项公式拆分可得：前项和，代入裂项结果得：分析的性质：由于，因此对任意，均有；且随着增大，单调递减，故单调递增，当时，，若不等式恒成立，则实数的最小值为.9．BC【详解】，A选项，虚部为，A错误；B选项，，为纯虚数，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D错误.10．ABD【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式将化简为正弦型函数，再结合正弦函数的单调性、最值、图象平移规则、中心对称性质逐一判断各选项.【详解】∵，对选项A：当时，，∵在上单调递减，∴在区间上单调递减，故A正确；对选项B：∵的最大值为1，∴的最大值为，故B正确；对选项C：将的图象向左平移个单位长度，变为，再向上平移个单位长度变为，与解析式不符，故C错误；对选项D：令，解得，此时，当时，可得的一个对称中心为，故D正确.11．ACD【分析】由是奇函数，可得，即，由是偶函数，可得，即，进而可得，然后可得函数的一个周期为，结合周期及条件再求值即可．【详解】是奇函数，则，即，则又是偶函数，所以，即，则，，故A正确；由，则，故B错误；，则函数的一个周期为，4不是的一个周期，由，则，解得，，，解得，又，即，解得，故C正确；由，则，，，，故D正确．12．【分析】需依据分段函数的定义即可求解.【详解】将代入可得，，再将代入可得，.13．【分析】本题为超几何分布类的古典概型期望计算问题，需先确定随机变量的所有可能取值，计算对应取值的概率，再依据数学期望的定义求解；【详解】首先明确试验条件：口袋中共有6个除颜色外完全相同的小球，其中红球4个、白球2个，从中任意取出3个小球，设为取出的红球个数，随机变量的所有可能取值为，则，；数学期望为14．【分析】令，，则，由题可知在此区间无解，也就是相位区间完整落在某一段余弦不取的区间内；列出不等式组，结合，对整数分类讨论即可求出的取值范围.【详解】令，当时，则，由等价于，则，由题可知，要求区间内不包含任何一个形如的零点，即该区间完全落在某一段的余弦非零区间内，当时，对应区间为，则，解得，所以，又，所以，即；当时，对应区间为，则，解得，所以，即；当时，，解得，又，此时，无解；当时，，不合题意，综上，的取值范围为.15．(1)；(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）先根据函数在处取极值的条件求出参数，再通过导数分析函数的单调性与极值，最后结合直线与曲线的交点个数要求确定的范围；（2）由（1）并比较区间内极值点与端点的函数值可得到最值.【详解】（1），因在处取得极值，则，则，，则在上单调递增，在上单调递减.则在时取极大值，在时取极小值.因直线与曲线有三个不同的交点，则的取值应介于函数极小值与极大值之间，从而；（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增.又，则.16．(1)由题意得：，又，所以数列是以首项为，公比为3的等比数列，所以，即，当时，，当时，，所以；(2)【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证；利用即可求；（2）由题意得，利用错位相减法即可求解.【详解】（1）略（2）由题意得：，所以①，②，由①②有：，所以.17．(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直的数量积为0，结合正弦定理与两角和正弦公式化简求解即可；（2）先用余弦定理求出边长，，和，再根据正弦定理求出外接圆半径，依托外心性质得，再求出，最后用余弦定理求解即可.【详解】（1）∵，∴，即，由正弦定理得，化简得，又，∴，即，又，∴，∴，又，∴.（2）∵是边的中点，∴，在中，由余弦定理得，即，解得或（舍），在中，由余弦定理得，即，解得或（舍），再由余弦定理得，∵是外接圆的圆心，∴外接圆的半径满足，即，又是边的中点，∴，又∵圆心角是对应圆周角的2倍，即，∴，，在中，，，，由余弦定理得，∴的值为.18．(1)线性回归方程为，环境温度为25℃时，该车实测续航里程的预测值为345km；(2)依据小概率值的独立性检验，推断冬季启用电池预热功能与续航达标有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01；(3)【分析】（1）先求出，再利用最小二乘法公式求出，即可求得线性经验回归方程；（2）利用给定的列联表，求出，再与临界值比对求解；（3）先得到随机变量X服从二项分布，由，得，进而得到的单调性，即可得到取最大值时k的值．【详解】（1）由题中5组环境温度数据，得，，则，所以，，所以回归方程，当环境温度为25℃时，，即预测续航里程为345km；（2）提出零假设：冬季启用电池预热功能与续航达标无关联，由，因此拒绝零假设，依据小概率值的独立性检验，认为冬季启用电池预热功能与续航达标有关联，该推断犯错误的概率不超过.（3）由列联表数据，样本中冬季续航未达标的频率为，用频率估计总体概率，即从该型号汽车中随机抽取1辆，冬季续航未达标的概率为，由于该型号汽车总体数量远大于10，抽取10辆的试验可视为独立重复试验，因此随机变量X服从二项分布，其概率为，，，由，即，解得，当时，，概率随k增大而递增，由，即，解得，当时，概率随k增大而递减，所以当时，取最大值.19．(1)单调递减区间为，无单调递增区间(2)(3)由（2）知：当，时，，取，则，，即；设，则，在上单调递增，，即当时，，取，则，，，即，，，即；综上所述：.【分析】（1）求导后，根据恒成立可得单调区间；（