广东省深圳市聚龙科学中学2026-2027学年高二上学期第一阶段质量监测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省深圳市聚龙科学中学高二（上）第一阶段质量监测数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知A（2，2，3），B（-1，2，1），则=（）A.3 B.13 C. D.2.已知直线l经过点A（0，1），B（2，9），则直线l的斜率为（）A.-4 B.4 C. D.53.直线a,b的方向向量分别为，平面α，β的法向量分别为，下列结论正确的是（）A.若a∥α，则 B.若，则

C.若α⊥β，则 D.若b⊥α，则4.过点A（2，1）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A.x-y=1 B.x+y=3 C.x-2y=0或x+y=3 D.x-2y=0或x-y=15.已知平面α经过点A（2，1，0），且其一个法向量为，则点P（2，1，6）到平面α的距离为（）A.2 B.3 C.4 D.66.如图，已知四面体ABCD的棱长都是4，点M为棱AD的中点，则的值为（）A.-4

B.-2

C.2

D.47.已知A（2，-3），B（2，1），若直线l经过点P（0，-1），且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（）A.（-∞，-2]∪[2，+∞） B.[-2，2]

C.（-∞，-1]∪[1，+∞） D.[-1，1]8.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，且AB=2，光线从AB边上的中点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（反射点分别为Q，R），则光线经过的路径总长PQ+QR+RP=（）A.

B.

C.

D.10二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.关于直线l：x-y+2=0，下列说法正确的有（）A.直线l的倾斜角为 B.直线l在y轴上的截距为2

C.直线l经过第一、三、四象限 D.直线l与直线x+y-1=0平行10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若非零向量，，满足⊥，⊥，则∥

B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

C.若空间向量=（0，1，1），=（1，1，2），则在上的投影向量为

D.已知直线l的方向向量为=（2，1，-1），平面α的法向量为=（-4，-2，2），则l∥α或l⊂α11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2.点M为线段AB中点，点Q为棱AA1上的动点.则下列选项正确的是（）

A.BC1∥平面A1CM

B.四棱锥Q-CBB1C1的体积为

C.BQ+C1Q的最小值为

D.直线AB与平面A1CM所成角的正弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线3x+4y-3=0与直线3x+4y+7=0平行，则它们之间的距离是

.13.若A（5，-1），B（1，1），C（2，3），则△ABC的面积为

.14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正方体表面上任意一点，则•的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，求：

（1）；

（2）；

（3）求与的夹角θ.16.(本小题15分)

已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，0），B（6，7），C（0，3）.

（1）求边AC所在的直线的一般式方程；

（2）求BC边上的中线AM所在直线的一般式方程；

（3）求边AB上的高所在直线的一般式方程.17.(本小题15分)

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AB=2.

（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；

（2）设点M为棱PC的中点，求直线BM与平面PBD所成角的正弦值.18.(本小题17分)

已知直线l：（a-1）y=（2a-3）x+1.

（1）求证：直线l过定点；

（2）若P（2，1）到直线l的距离最大，求a的值；

（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程.19.(本小题17分)

在如图所示的实验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN长度保持相等，记.

（1）求证：MN∥平面CBE；

（2）求MN的长，并求其最小值；

（3）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】AB

10.【答案】BC

11.【答案】ACD

12.【答案】2

13.【答案】5

14.【答案】-6

15.【答案】（4，-2，2）；

，；

16.【答案】解：（1）由A（4，0），C（0，3），

由截距式方程可得+=1，

即3x+4y-12=0，

所以边AC所在的直线的一般式方程：3x+4y-12=0；

（2）由A（4，0），B（6，7），C（0，3），

得BC的中点M坐标为（3，5），AM所在的直线的斜率kAM==-5，

所以中线AM所在直线的方程：y-5=-5（x-3），即5x+y-20=0，

所以中线AM所在直线的一般式方程为5x+y-20=0；

（3）由A（4，0），B（6，7），C（0，3）得，

所以=（2，7），

所以边AB上的高所在的直线方程为：2（x-0）+7（y-3）=0，

即2x+7y-21=0，

所以边AB上的高所在直线的一般式方程为2x+7y-21=0．

17.【答案】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）、C（2，2，0）、P（0，0，2）、B（2，0，0）、D（0，2，0），

则、、、，

设平面APC的法向量为，

则所以，

设平面PBD的法向量为，

则所以，

所以，所以平面PAC⊥平面PBD．

（2）解：因为点M为棱PC的中点，所以M（1，1，1），

所以，

设直线BM与平面PBD所成角为θ，所以，

所以直线BM与平面PBD所成角的正弦值为．

18.【答案】解：（1）证明：由直线l：（a-1）y=（2a-3）x+1整理可得：

ay-2ax-y+3x-1=0，即a（y-2x）+（-y+3x-1）=0，

则由，即，

故直线l过定点Q（1，2）；

（2）当动直线l满足定点Q（1，2）与直线外点P（2，1）的连线垂直于l时，P（2，1）到直线l的距离最大，

因为，则kl=1；

因为l：（a-1）y=（2a-3）x+1，

故，

解得a=2；

（3）由l：（a-1）y=（2a-3）x+1可得：

当x=0时，；当y=0时，；

因为直线与坐标轴交于正半轴，

故，解得；

此时三角形面积为，

要使面积取最小值，只需取y=2a2-5a+3的最小值即可；

由可知，

当时，y=2a2-5a+3取最小值，此时面积取最小值，

此时直线方程为，即2x+y-4=0．

19.【答案】（1）由题易知AB⊥BC，AB⊥BE，

又面ABCD⊥