微积分（上册）（第3版）课件 第6 章 定积分

一、定积分的概念二、定积分的性质三、微积分学基本定理四、定积分的换元积分法五、定积分的分部积分法第六章定积分六、广义积分五、定积分的几何应用六、定积分在经济学中的应用一、面积、路程和收益函数二、定积分的定义第一节定积分的概念三、定积分存在定理四、定积分的几何意义五、小结思考题abxyo实例1

（求曲边梯形的面积）一、面积、路程和收益函数abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，b,xxxxxab][a,n1n210=<<<<<=-L个分点，内插入若干在区间曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为实例2

（变速直线运动的路程）设某物体作直线运动,求在运动时间内物体解决步骤:（1）分割区间分成在每个小段上物体经已知速度n

个小段过的路程为所经过的路程s.（3）

求和（4）

取极限（2）近似实例3

（收益问题）思路：把整个销售量段分割成若干小段，每小段上价格看作不变，求出各小段的收益再相加，便得到整个收益的近似值，最后通过对销售量的无限细分过程求得收益的精确值．（1）分割部分收益值某销售量时的价格（3）求和（4）取极限收益的精确值（2）近似上述三个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“分割,近似代换,求和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限二、定积分(definiteintegral)的定义即则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和按照定积分的定义，我们前面所举的例子可以分别表示如下：1.曲边梯形面积为2.变速直线运动的路程3.销售收益注意：对定积分的补充规定:说明

在后面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．定理1定理2三、定积分存在定理定理定理3曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义几何意义：例1

利用定义计算定积分解注五、小结思考题１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直(不变)代曲(变)取极限思考题将和式极限：表示成定积分.思考题解答原式[注]

利用得两端分别相加,得即一、基本内容二、小结思考题第二节定积分的性质一、基本内容证性质1证（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）性质2补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3性质4证证性质5(保号性)证性质6(单调性)证性质6的推论：证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质7(估值性质)此性质的几何意义是:当f(x)≥0时,曲边梯形面积介于两个矩形面积之间.解令例1解令例2

试估计定积分的值.解例3

试估计定积分的值.证由闭区间上连续函数的介值定理知性质8（定积分中值定理）积分中值公式即积分中值公式的几何解释：证例4

设函数f(x)在[a,c]上可导,且满足证明:至少存在一点ξ∈(a,c),使得例5解１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分值大小．二、小结思考题思考题解答由积分中值定理知有使一、变速直线运动中位置函数

与速度函数之间的联系二、积分上限的函数与原函数

存在定理三、牛顿-莱布尼茨公式四、小结思考题第三节微积分学基本定理变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、变速直线运动中位置函数

与速度函数之间的联系上述结论在一定条件下具有普遍性,即如果函数考察定积分称为积分上限函数。二、积分上限的函数与原函数

存在定理也称为变上限定积分。积分上限函数的性质证由积分中值定理得由定理1可得出所有连续函数都存在原函数,而且一个连续函数作变上限积分所确定的函数就是它的一个原函数,即有如下定理:定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.补充例1求下列函数的导数:解例2求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.定理3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼兹公式(Newton-LeibnitzFormula)令令牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式表明：注意它把求定积分问题转化为求原函数的问题.例3求

原式解例4求

原式解注意

如下的计算式错误的:

被积函数在区间内不连续!例5设

,求.解注事实上,改变被积函数在有限个点上的函数值都不会改变积分值.例6求

解由图形可知例7求

解例8一列客车以72km/h的速度行驶,进站前需要减速停车,设客车以等加速度a=-0.5m/s2刹车,问客车距离站台多远时开始刹车能恰好停在站台上?

解例9

证3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数四、小结思考题

牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．思考题积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼兹公式体会下面的等式一、换元积分公式二、小结思考题第四节定积分的换元积分法一、换元积分公式定理1设单值函数满足:1)2)证

所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则于是有说明:1)当

<

,即区间换为定理1仍成立.2)必须注意换元必换限

,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限例1

计算解

令故

原式=且例2

计算解

令故

原式=例3计算解

令故

原式=例4计算解

我们不引入新的积分变量,也不改变积分的上、下限,有原式=例5计算解应用换元公式时还应注意:（1）（2）（3）不可以！对分段函数和含绝对值号的积分，计算时必须分区间进行;对被积函数进行适当变形时,要注意符号问题.用换元法解题时，要注意看换元积分公式的内容.证例6(1)若(2)若偶倍奇零(1)若(2)若奇函数例7计算解原式偶函数单位圆的面积例8计算例9证例10计算解证（1）设,dtdx-=Þ（2）设例12解几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法二、小结思考题换元必换限配元不换限思考题解令思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是一、分部积分公式二、小结思考题第五节定积分的分部积分法定积分的分部积分公式推导一、分部积分公式例1

计算解令则例2

计算解例3

计算解例4

设求解例5

证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数证设积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止于是例6证明证定积分的分部积分公式二、小结思考题（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题思考题解答一、无穷区间上的广义积分第六节广义积分三、

函数二、无界函数的广义积分一、无穷区间上的广义积分引例

曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为定义1上述等式中只要有一个极限不存在，就称发散，无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.引入记号则有类似牛顿–莱布尼茨公式的表达式:例1求解若广义积分收敛可以直接用“=”.解例2判断广义积分的收敛性.而所以广义积分发散.例3求广义积分解例4证明广义积分证明当p=1时,有当p>1时收敛,当p≤1时发散.当p≠1时,有因此,当p>1时,这个广义积分收敛,其值为当p≤1时,这个广义积分发散.定义2二、无界函数的广义积分例5求解因为函数的无穷间断点,于是所以x=a为被积例6讨论广义积分的收敛性.而解因为间断点,由于所以x=0为被积函数的无穷即广义积分发散,从而发散.解例7讨论广义积分的收敛性.Γ函数的特点:1.积分区间为无穷区间;001.2右邻域内无界,但可以证明其收敛性.的时被积函数在点当=<-xs三、Γ函数定义3

－函数的几个重要性质：(1)递推公式证

(分部积分)注意到:(2)证

(3)余元公式:(证明略)(4)得应用中常见的积分这表明左端的积分可用函数来计算.例如,解例8计算下列各值:例9求解广义积分的定义及计算四、小结思考题注意与定积分的区别与联系；有时题目可能含两类广义积分，要会处理换元法中，广义积分化成常义积分就按照常义积分做，但仍要注意判断有无无穷间断点。如

函数的定义及性质思考题思考题解答一、定积分的元素法二、平面图形的面积第七节定积分的几何应用三、旋转体的体积四、平行截面面积已知的立体的体积六、小结五、平面曲线的弧长回顾曲边梯形求面积的问题一、定积分的元素法abxyo面积表示为定积分的步骤如下:（3）求和，得A的近似值（4）取极限，得A的精确值abxyo提示面积元素元素法的一般步骤：这个方法通常叫做定积分的元素法．应用方向：平面图形的面积，体积.经济应用,其他应用.二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？第二步：写出面积表达式。二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？例1

计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解

由得交点解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量：考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？解两曲线的交点为选为积分变量选为积分变量由以上例题可知,计算平面图形面积,一般可分为以下步骤:

(1)画边界曲线草图,并求出曲线的交点坐标;

(2)选择适当的积分变量并确定积分区间;

(3)代入相应计算公式,应尽量避免分块运算.解这个椭圆关于两坐标轴都对称.设椭圆在第一象限的面积为A1,则椭圆的面积为4A1,利用面积公式,得应用定积分换元法,可得另由椭圆的参数方程一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积例5求由摆线的一拱与x

轴所围平面图形的面积.解极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为例6计算心形线所围图形的面积.解(利用对称性)

旋转体是由一个平面图形绕这个平面内一条直线旋转一周而成的立体,这直线叫做旋转轴．圆柱三、旋转体的体积(volumeofbody)（1）圆锥圆台三、旋转体的体积(volumeofbody)（3）（2）xyo旋转体的体积为解直线方程为例8解由于该平面图形分别关于x轴及y轴对称,所以只需分别求出半个椭圆绕x轴及y轴旋转所得的旋转体的体积即可.由已知,在x轴上方的半个椭圆的方程为此时体积为而在y轴右方的半个椭圆的方程为此时体积为特别地,当a=b时,旋转体为球体,其体积为

如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积四、平行截面面积已知的立体的体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积五、平面曲线的弧长定义:

若在弧

AB

上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB

的弧长

,即并称此曲线弧为可求长的.定理:

任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出弧长元素(弧微分)因此所求弧长为(2)曲线弧由参数方程给出弧长元素(弧微分)因此所求弧长为(3)曲线弧由极坐标方程给出因此所求弧长则得弧长元素(弧微分)(自己验证)例10求曲线上相应于x从0到8的一段弧的长度.解例11求星形线的全长.解解例12求心形线的全长.六、小结定积分的元素法平面图形的面积旋转体的体积平行截面面积已知的立体的体积平面曲线的弧长一、已知边际函数求总函数第八节定积分的经济应用二、求收益流的现值和将来值三、小结一、已知边际函数求总函数例1设某产品在时刻t总产量的变换率为求从t=2到t=4这两个小时的总产量.解因为总产量p(t)是它的变化率的原函数,所以从t=2到t=4这两个小时的总产量为例2设某种商品每天生产x单位时固定成本为20元,边际成本函数为求总成本函数C(x).如果这种商品规定的销售单价为18元,且产品可以全部售出,求总利润函数L(x),并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.解由已知固定成本设为C(0)=20,则每天生产x单位时总成本为设销售x单位得到的总收益为R(x),由题意,得而由所以每天生产40单位时才能获得最大利润,最大利润为二、求收益流的现值和将来值