2025年线性代数期末考试试卷：特征值与特征向量（含解析）

2025年线性代数期末考试试卷：特征值与特征向量（含解析）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题4分，共20分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.设λ₀是矩阵A的特征值，α是A对应的特征向量。下列向量中，必是A的特征向量的是（）。A.α+AαB.α-AαC.α+kα²(k为常数)D.Aα+λ₀α2.矩阵A=[a_{ij}]为n阶可逆矩阵，λ为A的一个特征值，α为对应的特征向量。则λ⁻¹必是矩阵A⁻¹的特征值，对应的特征向量仍然是α。这一结论（）。A.总是正确B.当λ≠0时正确C.当λ=0时正确D.总是错误3.设n阶矩阵A满足A²=A，则A的特征值只能是（）。A.0或1B.任意实数C.任意正整数D.-1或14.下列矩阵中，可对角化的是（）。A.[12;34]B.[10;0-1]C.[01;10]D.[11;01]5.设n阶矩阵A与B相似，则下列结论中一定正确的是（）。A.A与B有相同的特征向量B.A与B有相同的特征值，且特征值重数也相同C.tr(A)=tr(B)D.|A|=|B|²二、填空题（每空4分，共20分。请将答案填在题中横线上。）6.若向量α=[x;y]是矩阵A=[12;43]的特征向量，其对应的特征值为λ，则λ=__________，x与y应满足的关系是__________。7.矩阵A=[2-1;10]的特征多项式是f(λ)=__________。8.设矩阵A=[ab;cd]，其特征值为λ₁和λ₂（λ₁≠λ₂），则矩阵A的特征向量α₁和α₂__________（填“一定线性无关”或“可能线性相关”）。9.若n阶矩阵A可对角化，且对角矩阵为D=[λ₁0;0λ₂]，其中λ₁,λ₂是A的特征值，则矩阵A的特征值集合为__________。10.设向量α是非零向量，若矩阵Aα=3α，则3一定是矩阵A的一个特征值，α一定是对应的__________。三、计算题（每题10分，共30分。）11.求矩阵A=[12;21]的特征值和特征向量。12.已知3是矩阵A=[a1;3a]的一个特征值。(1)求a的值；(2)求矩阵A的全部特征值和特征向量。13.判断矩阵A=[11;01]是否可对角化。若可对角化，求出可逆矩阵P和对角矩阵D，使得P⁻¹AP=D。四、证明题（每题10分，共20分。）14.证明：若n阶矩阵A满足A²=2A，则A的特征值只能是0或2。15.设n阶矩阵A与对角矩阵相似，证明A可逆的充要条件是A的所有特征值都不为0。---试卷答案一、选择题1.B2.B3.A4.B5.C二、填空题6.-1;x+2y=07.λ²-5λ+28.一定线性无关9.{λ₁,λ₂}10.特征向量三、计算题11.解析思路：(1)求特征值：计算特征多项式f(λ)=|λI-A|=|λ-1-2-2||λ-11-2|=(λ-1)²-4=λ²-2λ-3。令f(λ)=0，解得λ₁=3,λ₂=-1。(2)求特征向量：-对λ₁=3，解(3I-A)x=0，即[2-2;-22]x=0，化简得x-y=0。基础解系为α₁=[1;1]，即λ₁=3对应的特征向量为k₁α₁(k₁≠0)。-对λ₂=-1，解(-I-A)x=0，即[-2-2;-2-2]x=0，化简得x+y=0。基础解系为α₂=[1;-1]，即λ₂=-1对应的特征向量为k₂α₂(k₂≠0)。结论：特征值为3和-1，对应的特征向量分别为k₁[1;1]和k₂[1;-1](k₁,k₂≠0)。12.解析思路：(1)求a值：由特征值定义，Aα=(aI)α=aα。由题Aα=3α，所以aα=3α。由于α是特征向量，α≠0，故a=3。(2)求全部特征值和向量：将a=3代入A，得A=[31;33]。计算特征多项式f(λ)=|λI-A|=|λ-3-1-3||λ-33-3|=(λ-3)²-9=λ²-6λ。令f(λ)=0，解得λ₁=0,λ₂=6。-对λ₁=0，解(0I-A)x=0，即[-3-1;-33]x=0，化简得x+y=0。基础解系为β₁=[-1;1]，即λ₁=0对应的特征向量为k₁β₁(k₁≠0)。-对λ₂=6，解(6I-A)x=0，即[3-1;-33]x=0，化简得x=y。基础解系为β₂=[1;1]，即λ₂=6对应的特征向量为k₂β₂(k₂≠0)。结论：a=3。矩阵A的全部特征值为0和6，对应的特征向量分别为k₁[-1;1]和k₂[1;1](k₁,k₂≠0)。13.解析思路：(1)判断是否可对角化：计算特征多项式f(λ)=|λI-A|=|λ-1-1-1||λ-11-1|=(λ-1)(λ-1)-(-1)(-1)=λ²-2λ=λ(λ-2)。令f(λ)=0，解得λ₁=0,λ₂=2。A有两个不同的特征值，故A可对角化。(2)求P和D：-对λ₁=0，解(0I-A)x=0，即[-1-1;0-1]x=0，化简得x+y=0。基础解系为γ₁=[-1;1]。-对λ₂=2，解(2I-A)x=0，即[1-1;01]x=0，化简得x=y。基础解系为γ₂=[1;1]。-令P=[γ₁γ₂]=[-11;11]，则D=[λ₁0;0λ₂]=[00;02]。结论：A可对角化。P=[-11;11]，D=[00;02]。四、证明题14.解析思路：证明：设λ是矩阵A的特征值，α是A对应的特征向量，则Aα=λα(α≠0)。等式两边左乘A，得A²α=A(λα)=λ(Aα)=λ²α。由题意A²=2A，代入上式得2Aα=λ²α。由于α是特征向量，α≠0，故可消去α，得2λ=λ²。整理得λ²-2λ=0，即λ(λ-2)=0。解得λ=0或λ=2。结论：矩阵A的特征值只能是0或2。15.解析思路：证明：必要性（A可逆⇒A所有特征值不为0）：假设A可逆，则|A|≠0。设λ是A的特征值，α是A对应的特征向量，Aα=λα(α≠0)。两边左乘A⁻¹，得A⁻¹Aα=A⁻¹(λα)，即Iα=λA⁻¹α。化简得α=λA⁻¹α。由于α≠0，故A⁻¹α=α/λ。这要求λ≠0。结论：若A可逆，则A的所有特征值都不为0。充要性（A所有特征值不为0⇒A可逆）：假设A的所有特征值λ₁,λ₂,...,λₙ都不为0