全国版课件102排列、组合应用题(第2课时).ppt

1、1,第十章排列、组合、二项式定理和概率,排列、组合应用题,第讲,2,（第二课时）,2,题型4用“定义法”求组合问题的方法数,1.(1)求方程x+y+z=7共有多少组正整数解？(2)10名战士站成一排，从中任选3个互不相邻的战士去执行一项任务，求共有多少种不同的选派方法?,3,解：(1)将7个1摆成一个横排，在除两端外侧的6个空当中放上两个“+”号，将7个1分成三组，左、中、右三组中1的个数，分别为x、y、z的值，所以共有=15组解.(2)问题可理解为：7个人站在一排，现有3人插队，但不相邻，共有多少种选位方法?每选三个位置算一种选法.因为7人前后共有8个空当，所以共有=56种不同的选法.,4,

2、点评：组合数计数对应的元素不考虑其在位置上的顺序，解决有关组合数计数问题时，关键是理解所取的元素在分配中没有顺序或只有一种顺序.,5,(1)甲、乙两队各派5人按事先排定的顺序进行围棋擂台赛，当一方5人全部负于对方时算一种比赛结果，求甲方获胜的比赛结果共有多少种可能?(2)20个相同的小球，全部装入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子内所放的球数不小于盒子的编号数，求共有多少种不同的放法?,6,解：(1)一方获胜至少要下5盘棋，至多要下9盘棋，问题可理解为：在9盘对局中，甲方有且只有5盘对局获胜，则甲方获得比赛胜利，所以共有=126种可能.(2)首先在2号盒内放一个球，在3号盒内放两个球，然后

3、将余下的17个球摆成一横排，用两块隔板将其分割成三组，每组至少有1个球，再将三组球分别放入三个盒子里即可.因为17个球除两端外侧共有16个空当，所以共有=120种不同放法.,7,2.成南高速公路(成都南充)出口的一侧有8块广告牌，广告牌的底色可选用蓝、红两种颜色，若只要求相邻的两块广告牌的底色不能都为红色，则不同的配色方案共有()A45种B46种C55种D56种,题型5结合两个计数原理求组合问题的方法数,8,解：要求相邻的两块广告牌的底色不能都为红色，所以若有红色则只能插空于是按红色广告牌的块数分为五类：无红色，有1种；1块红色，有种；2块红色，有种；3块红色，有种；4块红色，有种所以不同的配

4、色方案共有种，故选C.点评：实际问题中的计数问题一般都可以由两个计数原理来求出在每类或每步计数中，如果能用组合数公式计数就直接按组合数公式计算,9,学校资料室有相同的物理书3本，历史书2本，数学书4本，分别借给四个理科学生和三个文科学生，每人限借与本学科相关的书一本，求共有多少种不同的借法?解：依据题意，至少有一个文科学生和一个理科学生借数学，分为三大类：仅有一个文科学生借数学，则对另外三本数学书可能只有1个理科学生借，也可能有2个理科学生借，还可能有3个理科学生借，所以共有种方法；,10,有2个文科学生借数学，则对另外两本数学书可能只有1个理科学生借，也可能有2个理科学生借，所以共有种方法；

5、3个文科学生都借数学，另一本数学借给1个理科学生，有种方法.由分类计数原理，共有=76(种).,11,3.正四面体的顶点及各棱的中点共10个点，从中任取4个点使其不共面，求共有多少种不同的取法?解:从10个点中任取4个点，共有种取法.其中每个面上的6个点中任何四点共面，对应的取法有4；一条棱上的三点和其对棱的中点是共面的四点，对应的取法有种；除对棱外，其余四条棱的中点共面，正四棱锥共有3组对棱，对应的取法有3种.,题型6用间接法求组合问题的方法数,12,点评：对有限制条件的计数问题，一是可以根据是限制“元素”还是“位置”来分类，再根据分类与分步来计算；二是转化为一些基本的组合问题模型，利用间接

6、法求解，如本题用的是“正难则反”的思路.,所以四点不共面的取法共有=141(种).,13,从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组，求在下列条件下各有多少种不同的选法?(1)选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选；(2)至多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选.解：(1)解法1：先从4名男生中选2人，有种选法，再从除甲外的4名女生中选2人，有种选法.,14,由分步计数原理，共有=36(种).解法2：从4名男生中选2名，从5名女生中选3名，共种选法，其中女生甲不入选的方法数为种.所以共有=36(种).(2)从9人中任选5人的选法有种.其中5名女生都入选的选法有种，男生甲和女生乙同时入选的

7、选法有种.所以符合条件的选法共有=90(种).,15,1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于：当取出某m个元素后，如果改变顺序，就得到一种新的取法，就是排列问题；如果改变顺序，所得结果还是原来的取法，这就属于组合问题.2.解决组合应用题的常用方法是：首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类计数原理；然后局部分步，用到分步计数原理.,16,3.与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的题型有：选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题.解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”去解决，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题.,17,4.对含有附加条件的组合问题，通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等的词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解.,18,5.一般地，从