塑性力学第五章梁的弹塑性弯曲

1、梁的弹塑性弯曲,第五章 梁的弹塑性弯曲,5-1 弹塑性力学中的边值问题 5-2 梁的弯曲,1,2,由于塑性本构关系有全量和增量两种理论，需要给出对这两种理论的边值问题的提法及解法 全量理论的边值问题及解法 设在物体V内给定体力 ，在应力边界 上给定面力 ，在位移边界 上给定 ，要求物体内部各点的应力 、应变 、位移 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） 2） 3） 4）,5-1 弹塑性力学中的边值问题,梁的弹塑性弯曲,3,5） 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。 将 代入用位移表示的平衡

2、微分方程得： 其中,或 在弹性状态时，故当上式右端等于零时，可得到弹性解。将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求的精确度内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。,梁的弹塑性弯曲,4,增量理论的边值问题及解法 设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的 求在此基础上，给定体力增量 、 上面力增量 、 上位移增量 时，物体内部各点的应力增量 、应变增量 、位移增量 。确定这些增量的基本方程组有： 1） 2） 3）本构关系（理想弹塑性材料） 弹性区,梁的弹塑性弯曲,5,塑性区 4）

3、 5） 此外，在弹塑性交界面上还应满足一定的连续条件和间断性条件。在给定加载历史时，可以对每时刻求出增量，然后用“积分”（累计）的方法得出应力和应变等分布规律。 塑性力学中比较简单的问题，包括用平衡微分方程、屈服条件和应力边界条件就能完全确定应力场的所谓静定问题，以及屈服条件为线性的情况，求解时并不需要处理整套方程（因为其中许多方程已自动满足），需要处理的方程也可用较简单的数学方法求解。属于这类问题的有纯拉伸、纯弯曲、纯扭转、平面弯曲、厚壁筒和旋转圆盘等。,梁的弹塑性弯曲,5-2 梁的纯弯曲,6,一、研究对象及基本假设 考虑横截面有两个对称轴的梁，由Mises理想塑性材料制成。荷载作用在对称平

4、面x y平面内，仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设： （1）、平截面假设； （2）、小变形，挠度 ； （3）、梁内各点均为单向应力状态，只有 ； （4）、梁的材料在拉伸和压缩有完全相同的力学性能。 材料不可压缩，即取,梁的弹塑性弯曲,7,二、应力分布 设梁受弯矩M 后产生的曲率为 ，由基本假设可知 规定使梁下凸时曲率及曲率半径为正。 因为梁内各点都处于单向应力状态，所以在外载比例增加的情况下，必然是简单加载，可以使用全量理论，直接建立应力与应变的物理关系。 或 所以只要求出曲率 ，即可确定梁内各点的应力。,梁的弹塑性弯曲,8,三、 的关系 由截面上的力的合成得： 上式建立了曲率 与弯矩 之间

5、的关系。给定 可以求出相应的 ，但给定 反求 时，须视 的形式，如 形式不是十分简单，则给定 不易求 。这可通过绘出 曲线来求。确定 关系是解决梁弯曲问题的关键。 四、理想弹塑性材料梁 对于理想弹塑性材料，其应力应变关系如下表示：,梁的弹塑性弯曲,9,当弯矩 超过一定大小，使得梁截面上一部分区域进入塑性之后，梁截面上的应力分布如图。 是塑性区的边缘到中性轴的距离。以 ， 代入（5-1）得,梁的弹塑性弯曲,10,得 其中 是截面的弹性区对中性轴的惯性矩。 是截面 一块塑性区对中性轴的静矩。,梁的弹塑性弯曲,5-2 梁的弯曲,6,一、研究对象及基本假设 考虑横截面有两个对称轴的梁，由Mises理想

6、塑性材料制成。荷载作用在对称平面xy平面内，仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设： （1）、平截面假设； （2）、小变形，挠度 ； （3）、各层间相互挤压不计； （4）、长度比横向尺寸大得多，因而 。 材料不可压缩，即取 梁的位移分量为 梁的应变分量为 满足应变协调方程 。,梁的弹塑性弯曲,7,梁的纵向纤维是受简单拉伸或压缩。在弯矩M增长时，每一单元体的加载显然都是简单加载，故可以用全量理论求解。 二、本构方程 在本构方程中忽略次要应力（即挤压应力 和横向剪应力 ）的影响，材料处于轴向应力的单向拉压状态。对于理想弹塑性材料，应力应变关系为 其中， 为屈服应变，即应力刚达到屈服应力 时的应变。,

7、梁的弹塑性弯曲,三、平衡微分方程（不计体力） 略 在 求出后，挤压应力 和横向剪应力 可以根据上述方程求出。,7,四、内力和应力分量 根据上面假设，有 满足平衡微分方程及物理方程。 作用在横截面上的内力：弯矩M和剪力 分别为（ 纯弯、 横力弯曲） 要求截面上的应力分布，还必须借助于变形条件。由于平面 假设，当梁处于纯弹性时 当梁产生塑性变形时，由上面的假设，Mises屈服条件为,梁的弹塑性弯曲,8,可以证明塑性区 ，故屈服条件为 。 五、横截面上的弯矩和弹塑性区的关系 由于材料是各项同性的，截面又是对称的，故随着M的增加， 也在增加。塑性变形是由梁截面边缘对称地向内部发展的。当最外层纤维上的应

8、力达到 时梁就进入塑性阶段。在梁的横截面上弹性区和塑性区是共存的。在弹性区应力按线性分布，在塑性区按上式分布。两者交界处，正应力正好等于 。,梁的弹塑性弯曲,9,当材料是理想弹塑性材料时，则 ，继续增加弯矩，截面上的应力的分布分成三个区域,其中 是塑性区边缘到对称轴的距离。随着各截面上的弯矩的不同， 也不同，因此 是 的函数，即 。当 时，该截面全部进入塑性状态。 现在进一步考察 与M的关系。当 时，即最外层纤维刚开始屈服，这时的弯矩称为最大弹性弯矩或弹性极限弯矩 。当 时，整个截面都进入塑性状态，在忽略掉剪应力影响的情况下，这时的弯矩称为极限弯矩 。,梁的弹塑性弯曲,10,式中 ，是截面弹性

9、区对中性轴的惯性矩 是截面 一块塑性区对中性 轴的静矩。,如梁的横截面是高为h 、宽为b 的矩形，则 ，,梁的弹塑性弯曲,11,， ， 四、受有均布荷载的矩形截面简支梁的弹塑性区域的分布 如是受有均布荷载的矩形截面简支梁，材料仍然是理想弹塑性材料（Mises）。 整理后为： 这就是梁沿轴向的弹塑性区分界线方程。弹塑性区的分界线为双曲线。 设梁在弹性时能承受的最大均布荷载为 ，则 即为,梁的弹塑性弯曲,12,在弯矩最大的截面( 处)刚开始进入塑性即 时的值，它可由上式得：,五、极限荷载 当 处的整个截面进入塑性状态，梁成为一个机构，进入自由塑性变形阶段，将发生“无限制”的塑性流动。这时的 称为极限荷载，用表示 。 且 。 在极限设计的理论中，要求出使结构丧失承载能力时的荷载，在目前的情形就是极限荷载 。在许用应力的设计中，只要梁中任一处达到塑性状态，梁就不许可承受更多的荷载，,梁的弹塑性弯曲,13,也即最大荷载是 。但是当梁中有一小部分进入塑性状态时，梁的挠度仍受中间弹性区的限制，不会过分增大，梁上荷载还可以增加，理