高三数学一轮复习第十二章复数、算法、推理与证明第四节直接证明和间接证明课件理.ppt

1、理数 课标版,第四节 直接证明和间接证明,1.直接证明,教材研读,2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间 接证明方法. (1)反证法的定义:假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结论 不成立),经过正确的推理,最后得出 矛盾 ,因此说明假设错误,从 而证明 原命题成立 的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤:(i)反设假设命题的结论不成立;(ii)归 谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论断言假设不 成立,从而肯定原命题的结论成立.,3.数学归纳法的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 n0(n0N*) 时命题成立; (2)(归

2、纳递推)假设 n=k (kn0,kN*)时命题成立,证明当n= k+1 时命题也成立. 只要完成以上两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都 成立.,1.用分析法证明时出现:欲使AB,只需Ccn+1 解析 由题意知,an= ,bn=n, cn= -n= . 显然,cn随着n的增大而减小, cncn+1.,5.用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,左 边表达式是 ;从kk+1需增添的项是 . 答案 1+2+3;4k+5(或(2k+2)+(2k+3) 解析 用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1 时

3、,2n+1=3,所求左边表达式是1+2+3;从kk+1需增添的项是4k+5(或(2k +2)+(2k+3).,考点一 综合法 典例1 (2016天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差 为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项. (1)设cn= - ,nN*,求证:数列cn是等差数列; (2)设a1=d,Tn= (-1)k ,nN*,求证: 0,根据基本不等式, 有 +b2a, +c2b, +a2c, 三式相加, + + +a+b+c2(a+b+c), 即 + + a+b+c.,1-2 (2016山东临沂模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

4、sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c成等差数列; (2)若C= ,求证:5a=3b. 证明 (1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B, 因为sin B0,所以sin A+sin C=2sin B, 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列. (2)由C= ,c=2b-a及余弦定理得,(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0, 所以 = ,即5a=3b.,考点二 分析法 典例2 已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2R,均有 f . 证明 要证明 f , 即证明 -2 ,

5、因此只要证明 -(x1+x2) -(x1+x2), 即证明 , 因此只要证明 ,由于x1,x2R,所以 0, 0,由基本不等式知 成立,故原结论成立.,方法技巧 (1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直 接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法, 特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑 用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可 逆的,它的常用书面表达形式为“要证只需要证”或“ ”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写. 2-1 已知 ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a

6、,b, c.求证: + = .,证明 要证 + = ,即证 + =3, 也就是 + =1, 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证c2+a2=ac+b2, 又ABC的三个内角A,B,C成等差数列,故B=60, 由余弦定理,得,b2=c2+a2-2accos 60, 即b2=c2+a2-ac, 故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立.,考点三 反证法 典例3 (2015湖南,16,6分)设a0,b0,且a+b= + .证明: (1)a+b2; (2)a2+a0,b0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b2 =2,即a+b2. (2)假设a2+a0得

7、0a1;同理,0b 1,从而0ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,易错警示 用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反 面;(2)必须从结论的反面出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且 必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已 知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与基本事实矛盾等,且推导出的矛盾 必须是明显的. 3-1 已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值为2,最小值为- .求证:a0且 2. 证明 假设a=0或 2. (1)当a=0时,由a+c=0,得f(x)=bx,由题意

8、得b0, f(x)=bx在-1,1上是单调函数, 所以f(x)在-1,1上的最大值为|b|,最小值为-|b|, 由已知条件,得|b|+(-|b|)=2- =- , 这与|b|+(-|b|)=0相矛盾,所以a0. (2)当 2时,a0,由二次函数f(x)的图象的对称轴为x=- ,知f(x)在-1, 1上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得. 所以 或 又a+c=0,则b不存在,所以 2.,由(1)(2),得a0且 a2,所以a2=3,a5=9, 所以d= = =2,a1=1,所以an=2n-1. 因为Tn=1- bn, 所以b1= , 当n2时,Tn-1=1- bn-1, 因为bn=Tn-Tn-1=1- bn- , 化简,得bn= bn-1, 所以bn是首项为 ,公比为 的等比数列, 故bn= = .,所以an=2n-1,bn= . (2)因为Sn= n=n2, 所以Sn+1=(n+1)2, 以下比较 与Sn+1的大小: 当n=1时, = ,