高中数学 34《生活中的优化问题举例》课件 新人教A版选修

1、3.4生活中的优化问题举例,生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. 这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中 不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.,复习：如何用导数来求函数的最值？,一般地，若函数y=f (x)在a，b上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：,（1）求y=f (x)在a，b内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。,问

2、题情景一：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？,例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,-,+,减函数,增函数,-1.07p,解：每个瓶的容积为:,每瓶饮料的利润：,例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是

3、瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,当r(0，2)时， ，f (r)是减函数 当r(2，6时， ，f (r)是增函数,解：设每瓶饮料的利润为y，则,-,+,减函数,增函数,f (r)在(0，6上只有一个极值点 由上表可知，f (2)=-1.07p为利润的最小值,-1.07p,例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每

4、瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,解：设每瓶饮料的利润为y，则,当r(0，2)时，,而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值,答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.,例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,解决优化问题的方法之一： 通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学 模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决

5、在这个过程中，导数往往是一个有 力的工具，其基本思路如以下流程图所示,优化问题,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,问题情景二：汽油使用效率何时最高,我们知道，汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h) 之间有一定的关系，汽车的消耗量 w 是汽车 速度 v 的函数. 根据实际生活，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快， 汽油的消耗量越大? （2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是 车速慢的时候省油呢？,一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说 汽油的使用效率越高（即越省油）。 若用G来表示每千米平均的汽油消耗量，则 这里的w是汽

6、油消耗量，s是汽车行驶的路程,如何计算每千米路 程的汽油消耗量？,例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位: L / h） 与汽车行驶的平均速度v（单位: km）之间，有如图的 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢？,问题1：可用哪个量来衡量汽油的使用效率？ 问题2：汽油的使用效率与 g、v有什么关系？,(w是汽油消耗量， s是汽车行驶的路程),例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位: L / h） 与汽车行驶的平均速度v（单位

7、: km）之间，有如图的 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢？,分析：每千米平均的汽油消耗量 ，这里 w是汽油 消耗量，s是汽车行驶的路程 w=gt，s=vt,P(v，g),的几何意 义是什么？,如图所示， 表示经过原点 与曲线上的点 P(v，g)的直线 的斜率k,所以由右图可知，当直线OP 为曲线的切线时，即斜率k取 最小值时，汽油使用效率最高,例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式 可以表示为： 若已知甲、乙两地相距100千米。 （I）当汽车以40千米/小时的速

8、度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油为 升; （II）若速度为x千米/小时，则汽车从甲地到乙地需 行驶 小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为: . (III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？,17.5,例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式 可以表示为： 若已知甲、乙两地相距100千米。 (III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？,解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L，则,练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为,若要使平

9、均成本最低，则每天应生产多少件产品？,解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则,每天应生产1000件产品,练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为,变题1：若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件 产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？,解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则,练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为,变题1：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产800件 产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？,函数在(0，1000)上是减函数,故每天应生产800件产品,变题2：若产品以每件500元售出，要使得利润最大， 每天应生产多少件产品？,练习：已知某厂每

10、天生产x件产品的成本为,基本不等式法： “一正、二定、三相等、四最值”； 导数法： 一定义域、二导数符号、三单调性、四最值”。,小结：,在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可 使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通 常称为优化问题.,在解决优化问题的过程中，关键在于建立数学模型 和目标函数；要认真审题，尽量克服文字多、背景生疏、 意义晦涩等问题，准确把握数量关系。在计算过程中要 注意各种数学方法的灵活运用,特别是导数的运用。,(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案 注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数定义域是关键,例 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？,解析 设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)(602x)2x(00， 当10x