常微分方程 基本概念

1、1.2 基本概念,一、常微分方程与偏微分方程 二、微分方程的阶 三、线性与非线性微分方程 四、微分方程的解 1. 显式解与隐式解 2. 通解与特解,一、常微分方程与偏微分方程 定义1: 把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的 关系式称为微分方程.,例1：下列关系式都是微分方程,附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含. 如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程，例如 就不是微分方程. 实际上，我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程.,附注2：如果在一个微分方程中，自变量

2、的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程，如上面例1中,就是常微分方程；,如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程，如上面例1中,就是偏微分方程. 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程.,二、微分方程的阶 定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称 为微分方程的阶数. 在上面例1中,是一阶微分方程；,是一阶微分方程；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程.,例如上面例1中,是线性微分方程，,是非线性微分方程.,.,而,线性,线性,非线性,非线性,非线性,微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式,常微分方程(ode): 只含一个自变量

3、的微分方程,偏微分方程(pde): 含两个或两个以上自变量的微分方程,方程的阶数: 方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,分类,n阶常微分方程的一般形式：,n阶线性常微分方程：,都是已知函数,小结：,是解,方程的解(隐式解P17）,如：,方程的通解(隐式通解P18）,例,是通解,是解 含有两个任意常数 两个任意常数独立,例：求一个平面曲线，使其向径与切线正交，并且 经过点(0,1),解：设所求的曲线为y=y(x).,在曲线上任取一点(x,y(x). 过这一点的切线斜率为 而向径的斜率为 y/x, 因此,定解条件,从前面的例子可以看到，一个微分方程有无穷多个解，但在实际问题中，我们需要寻找方

4、程满足 某种条件的解，这种条件就叫做定解条件 定解条件有两种，一种是初始条件，另一种是边界条件。这两种定解条件都是源于物理等科学的 需要。相应有问题称为初值问题和边值问题。 我们主要涉及初始条件。对于n阶方程: 初始条件的一般形式为:,它们由实际问题来决定。我们把满足初始条件的解称为初值问题的解（又称方程的特解）。,例,初始条件：,注：初值问题又称为Cauch问题,已知通解：,解：从通解中求初值问题的解,利用初始条件,把y(0)=0代入：,得,又因,代入 得,微分方程的几何解释,设 是一个解，在xy平面上的图形叫一条积分曲线。根据初始条件，在xy平面作点 ,把这个点叫做初始点，一个解满足初始条

5、件，从几何上看，就是有一条积分曲线过初始点。,考虑：,设 是一个解, 则,在积分曲线上任取一点，过这一点的切线斜率为,反之，如果一条曲线上任一点的切线斜率为函数 f 在这一点的值，则此曲线为积分曲线。,方向场 (field of directions),设f(x,y)的定义域为D, 过D的每一点画一小线段， 其斜率等于 f(x,y),我们把这种图形就叫做由方程所规定的方向场。 在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线(isocline),注1：求微分方程 经过点 的曲线，就是在D内求一条经 过 的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相 吻合。,注2：微分方程 的等斜线方程为 = ,其中 是参数。 给出参数的一系列充分接近的值，就可得足够密集的等斜线族，借此可以 近似地作出微分方程 的积分曲线。当然，要想更精确地作出 积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等。,方向场,方向场,等斜线,极值点与拐点曲线,解曲线,解曲线,图例,小结,本节我们介绍了常（偏）微分方程、阶、解（显式和隐式）、通解（显式和隐式）、定解条件、初值问题、积分曲线、方向场、等斜线等概念。重点分析了通解的定义，指出通解不一定包含方程的全部解，不是任何一个方程都有通解。对任意常数