综合法和分析法上课用

1、2.2.1综合法和分析法,一、复习引入,合情推理得到的结论是不可靠的，需要经过严格的证明才可以使用。数学中证明的方法有哪些呢？,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:,二、讲授新课 (1)综合法(顺推证法或由因导果法),利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导果”,例1.已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,分析：,首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与

2、另两个数的平方和之积.据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式.,其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应用不等式x2+y22xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据.,证明:, b2+c2 2bc,a0 a(b2+c2) 2abc.,又 c2+a2 2ac,b0 b(c2+a2) 2abc., a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc.,例3.在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证ABC为等边三角形,分析,将A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；

3、,A，B，C为ABC的内角，这是一个隐含条件，即A+B+C=180；,a，b，c成等比数列转化为符号语言就是,此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理进行证明.,证明：,由A，B，C成等差数列，有,因为A，B，C为C的内角,所以,注：解决数学问题时，学会语言转换；还要细致，找出隐含条件。,由余弦定理及，可得,再由，得,注意：在解决实际问题时，经常要先作语言的变换,文字语言,图形语言,符号语言,然后在仔细分析题目的隐含条件，将隐含条件表示出来,点评：,1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已知入手

4、能找到证明的途径，则用综合法.,2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法。其特点是：执果索因，即要证结果Q，只需证条件P.,（2）分析法（逆推证法或执果索因法）,类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。 用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的结论.则分析法的思路过程，特点用框图表示为:,注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：,已知条件、定理、定

5、义、公理等,例4：证明不等式： (a0,b0).,证法2:要证;,只需证;,只需证;,只需证;,因为; 成立,所以 成立,综合法,分析法,思考：上述两种证法有什么异同？,都是直接证明,证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止 综合法,相同,不同,证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止 分析法,分析法,综合法,已知条件,结论,综合法和分析法的推证过程如下：,在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困

6、难.,反思,点评： (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； 2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论归结为一个明显成立的条件即可。 (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等关联词语,练习.求证：,证法一：为了证明,成立,因为,所以只需证明,成立,展开得,即,因为,成立，所以,成立,证法二：,例5.如图,SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E 作SC的垂线,垂足为F,求证 AFSC,证法一:要证AFSC,只需证:SC平面AEF,只需证:AESC,

7、只需证:AE平面SBC,只需证:AEBC,只需证:BC平面SAB,只需证:BCSA,只需证:SA平面ABC,因为:SA平面ABC成立,所以. AFSC成立,分析：本题条件较多，而且垂直关系较多，我们不容易发现如何使用这些垂直条件，因此利用综合法比较困难，我们采用分析法，,证法二: SA平面ABC, AEBC,又AESB,且BCSB=B, AE平面SBC, AESC,又EFSC,且AEEF=E, SC平面AEF, AFSC,BCSA, BC平面SAB,又ABBC,且ABSA=A,请结合上述例子和自己感受，说说综合法和分析法的各自特点 和它们的适用情况。,（1）综合法： 由因导果，当条件明确，思路

8、清晰时适用； （2）分析法： 执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。 （3）综合法是分析法的逆过程。,用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则 上述过程可用框图表示为:,（3）、综合应用： 在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用 （即两面夹攻）： 根据条件结构特点去转化结论，得到中间结论Q； 根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P， 若P可以推出Q，就可以证明结论成立,分析：证明式中没有,因此我们要将消掉,如何消掉？ 而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切, 因此我们要弦化切。,证明：,（3）,由于上式与相同，于是问题得证.,1.综合法：,(sin+cos)2-2sincos1,(2sin)2-2sin21,4sin2-2sin21,2(cos2sin2)cos