2020年普通高考数学一轮复习 第29讲 等比数列精品学案（通用）

1、2020年一般高考数学课复习了精品学方案第二十九届等比数列1 .教材要求：1、通过实例理解等比数列的概念2 .探索并把握等差数列通项式和前n项和式3 .在具体问题情况下，可以发现数列等比关系，用相关知识解决该问题。 体会等比数列和指数函数的关系。2 .命题的方向性等比数列和等差数列一样在高考中占重要地位，是高考问题的重点。 客观的问题考察等比起运用数列的概念、性质、通项式、和议式等基础知识和基本性质，基本的运算要求更高，答案问题多以数列知识为工具。预计对2020年高考的真话的考察如下(1)题型以等比数列的公式、性质的活用为主的12个客观主题(2)等比数列的实用问题和知识交错问题的解答问题也很重

2、要(3)解决问题时，要注意数学思想的应用，反推思想、函数和方程式，总结预期、等价转换、分类讨论等，使考生能够灵活地考察运用数学知识分析和解决问题的能力。3 .详细说明要点1 .等比数列的定义一般来说，如果一个数列从第2项开始，每个项与其前一项的比例是相同的常数，那么这个常数称为等比数列，该常数称为等比数列的公比通常用字母表示：数列相对于数列(1)、(2)、(3)是等比数列，它的公比依次为2，5 (注意：“从第二项开始”、“常数”，等比数列的公比和项不为零)2 .等比数列通项式如下：说明： (1)等比数列的通项式可知，在公比的情况下，其数列无论是等比数列还是等差数列，(2)等比数列的通项式，如果

3、是等比数列。3 .等比中项如果在中间插入一个数作为等比数列，则称为等比中项(两个符号相同，非零实数，两个都有两个等比中项)。4 .等比数列前n项和公式通常，等比数列的前n项是指在当时或在q=1的情况下(减去偏差)。说明： (1)和各已知的第三个可以求出第四个。(2)注意加法公式中，不要在通项公式中混淆。(3)应用加法公式时，应根据需要进行讨论的情况。4 .典型的分析问题类型1 :等比数列的概念例1、“公差为0的等差数列为等比数列”“公比的等比数列一定是减少数列”“a、b、c的三数成等比数列的满足条件为b2=ac a、b、c的三数为等差数列的满足条件为2b=a c”，在上述4个命题中有正确的()

4、A.1个B.2个C.3个D.4个分析：在四个命题中，只有最后一个命题是真命题。命题1中，各项目为0，等差数列不考虑为等比数列在命题2中可知，an 1=an，an 1an，即an 1an，但在这种情况下，该数列是增加数列命题3中，a=b=0，c-r的情况下，虽然有，但是数列a、b、c不是等比数列，所以应该是必要且不充分的条件，如果将条件变更为b=，则即使不需要也成为不充分的条件。这个问题以几个选择问题的形式考察了关于等比数列的重要结论，必须注意关于等比数列、等比数列的重要结论。例2 .命题1 :数列an的前n项和Sn=an b(a1 )，则数列an为等比数列命题2 :数列an的最初n项和Sn=a

5、n2 bn c(a0 )，则数列an为等差数列命题3 :数列an的最初n项和Sn=na-n时，数列an是等差数列，是等比数列的上述3个命题中，真命题为()A.0个B.1个C.2个D.3个解析：从命题1得到，a1=a b，n2时，an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1。 如果an是等比数列，则=a，即=a，因此，该数列只有在b=-1且a0时才是等比数列。根据命题2获得，a1=a b c，n2时，an=Sn-Sn-1=2na b-a，an若为等差数列，则a2-a1=2a，即2a-c=2a，因此，在c=0时，数列an为等差数列。从命题3得到，a1=a-1，n2时，an=Sn-Sn-1=a-1，显然

6、an是定数列，即公差为0的等差列，因此，a-10，即，a1时间序列an才是等比序列。评分：等比数列的中项和和议式之间有很大的关系，上述三个命题关系到Sn和an的关系，为了正确判断an=，数列an是等比数列还是等比数列，必须使用上述的关系式，特别要注意第一项和其他项的关系上述三个命题都不是真命题，选择a。问题型2 :等比数列的判定例3.()在已知的数列cn中，cn=2n 3n且数列cn 1-pcn是等比数列，求常数p (ii )设为公比不相等的两个等比数列an、bncn=anbn，并证明数列cn不是等比数列。解析： (I )因为解cn 1-pcn是等比数列(cn 1-pcn)2=(cn 2-pc

7、n 1)(cn-pcn-1 )在上式中代入cn=2n 3n时“2 n 13n1- p (2n 3n )”2=“2 n 23n2- p (2n 13n1)”“2 n 3n-p (2n-13n-1 )”，即(2-p)2n (3-p)3n2= (2- p )2n1(3- p )3n1 (2- p )2n-1 (3- p )3n-1 )是整理成(2-p)(3-p)2n3n=0，分解成p=2或p=3。(ii )证明： an、bn的公比分别设为p、q、pq、cn=an bn。为了证明，不是cn等比数列，只要证明c22c1c3即可。实际上，c2=(a1p b1q)2=a12p b1q2 2a1b1pqc1c

8、3=(a1b1) (a1p2b1q2)=a 12 p2b1q2a1b1(p2q2)因为pq，p2 q22pq，所以a1、b1不为零因此，c22c1c3，所以，cn不是等比数列。评价：本问题主要考察等比数列的概念和基本性质、推论和运算能力。例4 .图3-1，边的长度为l的等边ABC中，圆O1为ABC的图3-1内接圆，圆O2与圆O1外接，与AB、BC相接，圆On 1与圆On外接，与AB、BC相接，无限继续证明：如果rn是圆On的半径，则r1=tan30=。=sin30=，rn=rn-1(n2 )，因此a1=r12=，所以an为等比数列。评价：该问题需要考察实际问题的判定，分析实际问题情景，最终根据

9、数值关系建立模型进行分析。问题型3 :等比数列的通项式和应用例5 .一个等比数列有三项，第二项加上4，得到的三项是等比数列，这个等比数列的第三项加上32，得到的三项是等比数列，求出原来的等比数列。解析：将求出的等比数列设为a、aq、aq22(aq 4)=a aq2，并且(aq 4)2=a(aq2 32 )；解开a=2、q=3或a=、q=-5求出的等比数列是2、6、18吗？-。第一种解法是利用等比数列的基本量，先求出公比，然后求出其他量。 这是求等比数列、等比数列的常用方法，其优点是构思简单实用，缺点有时计算复杂。已知正项数列，其前项和满足等比数列，求出数列的通项解析： 10Sn=an2 5an

10、 6，10a1=a12 5a1 6，解的结果a1=2或a1=3。另外，10Sn-1=an-12 5an-1 6(n2 )、-到10an=(an2-an-12) 6(an-an-1 )，即(an an-1)(an-an-1-5)=012122222222222222226在a1=3的情况下，a3=13、a15=73、a1、a3、a15不是等比数列a13；在a1=2的情况下，a3=12、a15=72、a32=a1a15、 a1=2， 有an=5n-3。评价：这个问题关于等比数列的合计式和等比数列通项的关系，最终求出结果。问题类型4 :等比数列的求和公式和应用在(1)等比数列中，前项和如果数列也是等

11、比数列，则等于()A. B. C. D如果设定(2)，则等于()A.B. C. D(3)若设等比数列an前n项之和为Sn，S3 S6=2S9，则求数列的公比q的解析： (1)如果数列是等比，则数列也是等比数列原则也就是说，所以选择答案c。(2)D；(3)解： q=1的话有S3=3a1、S6=6a1、S9=9a1。因为a10，所以S3 S62S9，很明显q=1与问题相矛盾，因此，q1。S3 S6=2S9，整理成q3(2q6-q3-1)=0、q0、2q6-q3-1=0，因为q3-1=0、q31，所以q3=-、q=-。分数评价：关于等比数列的合计问题，首先明确数列的通项式，对应良好的初项和公比求出最

12、终结果即可。(1)作为等差数列an，分别求出bn等比数列、a1=b1=1、a2 a4=b3、b2b4=a3.前10项的和S10和T10 .(2)在1和2之间插入n个正数a1、a2、a3、an，将此n 2个设为等比数列，另外，在1和2之间插入n个正数b1、b2、b3、bn，将此n 2个设为等差数列。 标记为an=a1a2a3、an、Bn=b1 b2 b3 bn。(I )求出数列An和Bn的通项(ii)n7时，比较An和Bn的大小，证明你的结论。(3)已知的an是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3an 1an=(an-1 2)(an-2 2 )，n=3，4，5，。(I )求a 3(ii)

13、an=an-2 2，n=3，4，5，(iii )求出的an的通项式及其最初的n项和Sn。解析： (1)an为等差数列，bn为等比数列a2 a4=2a3、b2b4=b32a2 a4=b3，b2b4=a3b3=2a3，a3=b32。b3=2b32。b308756； b3=，a3=从a1=1，a3=可知an的公差为d=，S10=10a1以b1=1，b3=已知的bn的公比是q=或q=q=的情况q=的时候。(2)()公比q、公差d、等比数列1、a1、a2、an、2、等差数列1、b1、b2、bn、2。A1=a1=1q A2=1q1q2 A3=1q1q21q3另外an 2=1qn 1=2qn 1=2an=q

14、q2qn=q (n=1，2，3)此外，bn 2=1 (n 1)d=2 (n 1)d=1B1=B1=1db2=b2b1=1d 12bn=1d1nd=n()AnBn、n7时证明：在n=7的情况下，23.5=8=an bn=7，8756； PK PK如果在n=k时AnBn，则在n=k 1时另外，Ak 1=且8756； ak 1kAk 1-Bk 1另外，- k=8，9，10ak1-bk1 0，如以上那样，AnBn成立.(3)()解：根据问题设为a3a4=10，a3、a4都是非负的整数，因此a3的可能值为1、2、5、10 .如果a3=1，则a4=10、a5=，与问题设定矛盾.如果a3=5，则a4=2、a

15、5=，与问题设定矛盾.如果a3=10，则a4=1、a5=60、a6=，与问题设定矛盾.a3=2。(ii )用数学归纳法证明：在n=3、a3=a1 2时，式成立假设在n=k(k3 )时式成立，即ak=ak-2 2，根据问题，设ak 1ak=(ak-1 2)(ak-2 2 )，ak=ak-2 20，所以设ak 1=ak-1 2即，在n=k 1时，式ak 1=ak-1 2成立.根据和，对于所有n3，an 1=an-1 2。(iii )解： a2k-1=a2(k-1)-1 2，a1=0和a2k=a2(k-1) 2，a2=3到a2k-1=2(k-1 )，a2k=2k 1，k=1，2，3，即an=n (-

16、1)n，n=1，Sn=分数评价：本小题主要考察数列和等差数列上位n项之和等基础知识和正确的表现、分析和解决问题的能力。问题类型5 :等比数列的性质(1)在各项为正的等比数列an中，第一项a1=3，在第三项和第21项中，a3 a4 a5=()(A)33 (B)72 (C)84 (D)189(2)在等差数列an中，如果a10=0，则式a1 a2an=a1 a2a19-n (如果比较上述性质，则在等比数列bn中，如果b9=1，则式成立。解析： (1)答案： c解：等比数列an的公比q(q0)，从题意来看，为：a1 a2 a3=21，即3 3q 3q2=21，q2 q-6=0，求q=2(q=-3舍去)，因此，a3a4a5=q 2回答： b1b2bn=b1b2b17-n(n17，nN* )；解：在等差数列an中，从a10=0到a1 a19=a2 a18=an a20-n=an1a19-n=2a10=0因此，a1 a2 an a19=0，即a1 a2 an=-a19-a18-an 1另外，a1=-a19，a2=-a18，a19-n=-an 1a1a 2an=-a 19-a 18 - an1