2020高三数学高考《立体几何初步》专题学案：两个平面垂直（通用）

1、基础通关7两个平面垂直1.两个平面垂直的定义：如果两个平面相交成为二面角，则这两个平面相互垂直。2.两个平面垂直判定：如果一个平面有直的另一个平面，则两个平面相互垂直。3.互垂于两个平面的性质：如果两个平面互垂，则一个平面的互垂线互垂于另一个平面。4.双面直线上两点之间的距离公式：ef=。其中：d是反面线a、b、是a、b、m、n分别是a、b的点e、f中AA和a、b的交点a、a的距离。在四面体s-ABC上，sa=sb=sc，ASB=ASC=60，BSC=90，如图所示。寻求证据：平面ABC平面BSC.casdb证明：稍微变形训练1:插图，角锥-ABC中的sa平面ABC，平面SAB平面SBC.as

2、bc认证：abBC；如果将二面角s-BC-a设置为45，Sa=BC，寻找二面角a-sc-b大小。证明：(1) h到asb，h平面SBC啊BC、saBCBC平面sabBCab(2)SBA连接二面角s-BC-a的平面角度，sba=45，AE sc到e，EH，EHsc，aeh连接求二面角的平面角度，范例2 .120的二面角p-a-q的两个面P-a-Q内，点a和点b，已知点a和点b到边a的距离为2和4，线段ab=10:(1)直线AB和棱镜的角度；(2)直线AB和平面q的角度。答案：(1) arc sin (2) arc sin变形教育2:被称为金字塔p-ABCD，ABCD的底部是菱形的。dAB=60，

3、PD 平面ABCD，PD=ad，点e是AB中点，点f是PD中点。(1)证明：平面PED平面PAB；(2)找到二面角p-a b-f的平面角度的馀弦值。(1)证明：甚至BD。ab=ad，dab=60， ADB是等边三角形， e是AB中点。ABde，PDb面ABCD，AB面ABCD，ABPD。de face PED、PD side PED、de PD=d、abface PED，ab face PAB。face pedface PAB。(2)求解方法：链接EF，EF面PED，abEF。PEF是二面角p-a b-f的平面角度。如果设置Ad=2，则pf=FD=1，de=。在PEF中，PE=，ef=2，pf

4、=1cos PEF=也就是说，二面角p-a b-f的平面角度的馀弦值为。范例3 .插图中，角锥p-ABCD的底部为矩形，pa-平面ABCD，e，f分别为ab，PD的中点，二面角p-CD-b为45。cbdfpae认证：af平面PEC；认证：平面PEC平面PCD；设定ad=2，CD=2，并取得从点a到面PEC的距离。证明：(1)取PC中点g，证明eg af容易，af平面PEC(2)可认证的eg平面PCD(3)考虑点a到平面PEC的距离、平面PEC平面PCD、f从h到FHPC时，FH是 pfh PCD到FH=1得出的值变形训练3:插图，角锥V-ABCD中，ABCD底部为方形，侧VAD为正三角形，平面

5、VAD底部ABCD。cbavd证明：ab平面VAD；查找曲面VAD和面VDB的二面角大小。(1)证明：平面VAD平面ABCDabad ab平面VADAB平面ABCDAd=平面VAD/平面ABCD(2)解决方案：获取VD的中间点e，连接AE、be。875 VAD是等边三角形。AEVD，AE=ad。ab平面VAD，abAE。被三个垂直定理所知。所以tanaeb=、现在二面角的大小是arc tanbcaA1B1C1范例4 .如图所示，在三角棱镜ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，ABC，CB=3，ab=4，a1ab=60。认证：平面CA1B平面a1a bb 1

6、；查找直线A1C和平面BCC1B1的角度的切向值。(3)找到从点C1到平面A1CB的距离。卡(1)四边形BCC1B1是矩形。abBC，BC平面a1abb 1。(2) A1从d连接到A1DB1B，DC连接。bc平面A1ABB1，BC a1d。a1d平面BCC1B1，因此，A1CD是线A1C和平面BCC1B1的角度。在正方形BCC1B1上，四边形A1ABB1为菱形，因此DC=。a1ab=60，CB=3，ab=4，a1d=2tana1cd=。(3)B1 C1-BC，-B1 C1-平面A1BC.c1到平面A1BC的距离是B1到平面A1BC的距离。连结AB1、AB1和A1B至点o，四边形A1ABB1至菱形，b1oA1B。平面CA1B平面A1ABB1，B1O平面A1BC，b1o是C1到平面A1BC的距离。b1o=2C1到平面A1BC的距离为2 .变形训练4:在角锥p-ABCD中，ABCD底部为acbpgd如果g是活动目录侧的中点，则BG 平面垫；广告Pb；查找二面角a-BC-p大小；如果e是BC边的重点，那么棱镜PC上能找到一些f吗？制作平面DEF平面ABCD，并证明你的结论。答案(1)有点(2)有点(3) 45 (4) F是PC的中点摘要归纳方法证明两个平面垂直的常用方法是在现有直线上找到平面的垂直线。如果没有这样的直线，可以用参考线解决；参考线