安徽省2020年高考数学第二轮复习 专题五立体几何第3讲 用空间向量的方法解立体几何问题 理（通用）

1、主题5立体几何第3讲用空间矢量方法解决立体几何问题试着解决真正的问题1.(2020陕西高考理科5)如图所示，如果在空间直角坐标系中有一个直三棱柱ABCA1B1C1，并且ca=cc1=2cb，那么直线BC1与直线AB1之间的夹角的余弦是()。A.学士学位2.(2020四川高考，理查德14)如图所示，在立方体中，m和n分别是边CD和CC1的中点，所以直线A1M和d n在不同平面上形成的角度为_ _ _ _ _ _。3.(2020年山东高考，李18)在几何图形中显示，四边形ABCD是等腰梯形，abCD， DAB=60，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF。(1)验证：BD飞机aed；(2)计

2、算二面角FBDC的余弦。4.(2020福建高考理科18)如图所示，长方体中的ABCDA1B1C1D1，AA1=AD=1，而E是圆的中点。核查：b1ead1；(2)在边AA1上是否有一个点P，所以DP平面B1AE？如果存在，找到接入点的长度；如果不存在，说明原因；(3)如果二面角AB1EA1为30，计算AB的长度。5.(2020天津高考理科17)如图所示，在金字塔PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1。(1)证明PC 广告；(2)求出二面角APCD的正弦值；(3)让E为边PA上的点，满足直线BE和CD形成的角度为30，并计算声发射的长度。考试方

3、向分析从近年高考试题来看，高考试题主要有以下几个方面：一是证明了空间平行关系，如(2)题(2020福建高考，李18)；二是用空间向量来证明垂直关系，如(1)题(2020山东高考，李18)和(1)题(2020福建高考，李18)；第三种是用空间向量来寻找角度，如(2)题(2020山东高考，李18)；(2020年天津高考，原则17)和(2020年四川高考，原则14)中的问题(2)，这些问题大多是基于多面体的，经常以解答的形式出现，重点考察学生的空间想象。这个题目是高考必不可少的内容之一，它通常是一个综合性的问题，经常出现在几个答案中间，并不是很难。在大多数情况下，传统方法和矢量方法都可以解决，但矢量

4、方法应首先考虑，以降低难度。据预测，在未来的高考中，这一部分仍将主要以解决问题的形式出现，难度将为中年级。考试的内容仍然是用空间矢量的量积和坐标运算来解决立体几何问题，关键是用空间矢量来求空间角度。热点分析热点一：用空间向量证明平行问题例1如图所示，在平行六面体中，o是B1D1的中点。验证：B1C平面ODC1。利用空间向量证明并行问题，推广了正则方法。用数学语言描述如下：(1)线对线平行性：直线平行于直线，只需证明它们的方向向量是平行的。(2)线平面平行性：利用线平面平行性的判定定理，证明了直线的方向向量与平面内直线的方向向量平行；利用共向量定理，证明了平面外直线的方向向量与平面内两条相交直线

5、的方向向量共面。证明了直线的方向向量垂直于平面的法向量。(3)面与面平行度：利用面与面平行度的判定定理，仅通过证明两个平面的法向量是平行的，就可以将平面之间的平行度转化为线与面的平行度。以下是用符号语言表达的：假设直线L和M的方向向量分别为A=(A1，b1，c1)和B=(A2，b2，c2)，平面和的法向量分别为U=(A3，b3，c3)和V=(A4，b4，C4)。(1)平行线：lmaba=kba 1=ka2，b1=kb2，c1=kc2。(2)平行线和(1)PA平面EDB；(2)PB飞机EFD。常规方法使用空间向量来证明垂直问题。用数学语言描述如下：(1)直线垂直度：直线之间的垂直度，只要证明两条

6、直线的方向向量是垂直的。(2)线-面垂直度：利用线-面垂直度的定义，证明了直线的方向向量与平面上任意直线的方向向量垂直；利用垂直线与平面的判定定理，证明了一条直线的方向向量垂直于平面上两条相交直线的方向向量；证明了直线的方向向量平行于平面的法向量。(3)面对面垂直度：只有证明两个平面的法向量是垂直的，平面之间的垂直度才能转化为线对面垂直度。以下是用符号语言表达的：假设直线L和M的方向向量分别为A=(A1，b1，c1)和B=(A2，b2，C2)，平面和的法向量分别为U=(A3，b3，c3)和V=(A4，b4，C4)。(1)垂直线：lmabab=0a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)垂直线和平

7、面：laua=kua1=ka3,b1=kb3,c1=kc3.(3)面对面垂直：uvuv=0a3a4+b3b4+c3c4=0.变体训练2如图所示。在金字塔中，PA平面ABCD，底部ABCD是菱形，ab=2， bad=60。(1)验证：BD飞机包装；(2)如果pa=ab，计算由PB和AC形成的角度的余弦；(3)当平面PBC垂直于平面PDC时，计算PA的长度。热点三使用空间矢量来寻找角度和距离例3如图所示，在三棱镜ABCA1B1C1中，h是正方形AA1B1B的中心，aa1=2，C1H平面AA1B，c1h=1。(1)求出由直线交流和A1B1形成的角度的余弦；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)

8、设n为边B1C1的中点，点m在平面AA1B1B中，MN为平面a11b 1 C1，并计算线段BM的长度。常规方法(1)夹角计算公式(1)两条不同直线之间的角度如果两条平面外直线A和B的方向向量分别为n1和n2，并且两条平面外直线A和B形成的角度为，则cos =| cos |=。直线与平面形成的角度如果直线A的方向向量是A，平面的法向量是N，直线A与平面之间的夹角是，则sin=| cos u A，N u |=。二面角设n1和n2是二面角为的两个半平面的法向量，则=n1，N2 u或=-u n1，N2 u其中cos u n1，N2u。(2)距离公式(1)点到点距离：点之间的距离是以这两点为起点和终点的

9、向量的模；点-线距离：从点M到线A的距离。如果线的方向向量是A，并且线上的任何一点是N，则从点M到线A的距离是d=| | sin ；线间距离：两条平行线之间的距离转换为虚线距离；将两个不同平面的直线之间的距离转换成点与平面之间的距离，或者直接计算公共垂直线的长度；点-面距离：从点M到平面的距离。如果平面的法向量是n，并且平面中的任何一点是n，那么从点M到平面的距离是d=| | | cos |=；线-面距离：直线与其平行的平面之间的距离，转换为点-面距离；面对面距离：两个平行平面之间的距离转换为点到面距离。在变体训练3中，已知ABCDA1B1C1D1是底边长度为1的规则四棱柱，O1是A1C1和B

10、1D1的交点。(1)让AB1和底面A1B1C1D1之间的角度为，二面角AB1D1A1为。验证tan=tan；(2)如果从点c到平面AB1D1的距离为0，则计算规则四棱柱ABCDA1B1C1D1的高度。热点四采用向量法解决探索性问题实施例4如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形的，每个侧边的长度是底边长度的两倍，p是侧边SD上的点。(1)验证：ACSD；(2)如果SD平面PAC，计算二面角PACD的大小；(3)在(2)的条件下，在侧边SC上有一个点E，所以BE平面PAC？如果存在，请找到se: EC的值；如果没有，请解释原因。常规方法(1) S给出问题的结论。(2)巧用空间向量解决探索性问题；

11、空间矢量最适合解决立体几何中的这类探索性问题。它不需要复杂的绘图、论证和推理，只需要通过坐标运算来判断。在解决问题的过程中，“存在”问题往往转化为“点的坐标是否有解，在规定的范围内是否有解”等问题。所以解决问题更容易、更有效，而且我们应该善于用这种方法来解决问题。图中示出了变体训练4，平面PAD平面ABCD，ABCD是正方形， pad=90，pa=ad=2；e、f和g分别是线段PA、PD和CD的中点。(1)验证：PB平面EFG；(2)求直线EG和BD在不同平面上形成的夹角的余弦值；(3)线段CD上是否有一个点Q，因此从A到平面EFQ的距离是？如果存在，计算CQ值；如果没有，请解释原因。意识形态

12、渗透变换和简化的思想使用向量来解决空间位置关系以及寻找角度的问题主要问题类型：(1)空间线平面关系的证明；(2)空间角度的求解；(3)解决现存问题的方法。解决时应注意的问题：(1)用空间矢量求直线在不同表面形成的角度时，应注意角度的取值范围；(2)用空间矢量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角。(2020年北京高考，李16)如图1所示，在RtABC中， c=90，BC=3，AC=6。d，e分别是交线上的点和交线上的点，DEBC，DE=2，沿DE折叠ADE到A1DE的位置，形成a1c图1图2(1)验证：A1C飞机bcde；(2)如果m是A1D的中点，找出厘米和平面A1BE之间的角度

13、；(3)线段BC上是否有一个点P，使平面A1DP垂直于平面A1BE？解释原因。因为acbc德公元前，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE飞机A1DC。所以DEA1C.因为A1CCD，A1C飞机失事。(2)如图所示，以c为坐标原点建立空间直角坐标系Cxyz。然后是A1(0，0，2)，D(0，2，0)，M(0，1)，B(3，0，0)，e (2，2，0)。让平面A1BE的法向量为n=(x，y，z)，然后n=0，n=0。并且=(3，0，-2)，=(-1，2，0)，因此让y=1，然后x=2，z=0。所以n=(2，1，)。让厘米和平面A1BE之间的角度为。因为=(0，1，所以sin =| co

14、s |=，因此，厘米和平面A1BE之间的角度是。(3)线段BC上没有点P，因此平面A1DP垂直于平面A1BE。原因如下：假设这样一个点p存在，让它的坐标为(p，0，0)，其中p 0，3。假设平面A1DP的法向量是m=(x，y，z)，那么m=0，m=0。和=(0，2，-2)，=(p，-2，0)，因此设x=2，然后y=p，z=0。所以m=。平面A1DP平面A1BE，当且仅当Mn=0时，也就是说，4 p p=0。P=-2，这与p 0，3相矛盾。因此，线段BC上没有点p，因此平面A1DP垂直于平面A1BE。1.假设=(1，5，-2)，=(3，1，z)，如果，=(x-1，y，-3)和BP平面ABC，那么

15、实数x，y和z的值分别是()。A.-，4 B，-，4C.-2，4 D.4，-152.已知平面中有一个点M(1，-1，2)，平面的法向量是n=(6，-3，6)，那么平面中的下列点p是()。A.P(2，3，3) B.P(-2，0，1)C.P(-4，4，0) D.P(3，-3，4)3.(湖北武昌2020年调查，7)已知E和F分别是立方体ABCDA1B1C1D1的边BB1和AD的中点，所以直线EF与平面BDD1B1形成的角度的正弦值为()。A.学士学位4.在四面体PABC中，PA、PB和PC相互垂直。如果PA=Pb=PC=A，从点P到平面ABC的距离为_ _ _ _ _ _ _。5.如图所示，在直三棱

16、镜ABCA1B1C1中， ACB=90，AA1=2，AC=BC=1，那么直线A1B和AC形成的角度的余弦是_ _ _ _ _ _ _。6.众所周知，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=4，点M是边D1C1的中点。求直线AB1和平面DA1M之间的角度的正弦值。7.(2020安徽合肥第一质检部，理18)如图所示，在多面体ABCA1B1C1、AA1平面ABC、AA1绣BB1、AB=AC=AA1=BC、B1C1绣BC。(1)验证：A1B1飞机aa1c；(2)验证：A1C1C飞机A1C1C；(3)计算二面角C1A1CA的余弦。参考答案明确命题研究的研究方向试着解决真正的问题1.分析：假设CB=1，那么ca=cc1=2。从标题地图中，点a的坐标是(2，0，0)，点b是(0，0，1)，点B1是(0，2，1)，点C1是(0，2，0)So=(0，2，-1)，=(