2013年上海市春季高考数学试卷

1、2013年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分1（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是2（3分）方程2x=8的解是3（3分）抛物线y2=8x的准线方程是4（3分）函数y=2sinx的最小正周期是5（3分）已知向量，若，则实数k=6（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是7（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是8（3分）在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60，则b=9（3分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为10（3分）从4

2、名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）11（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=12（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2232，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+23+232）+（22+223+2232）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分13（3分

3、）展开式为adbc的行列式是（）ABCD14（3分）设f1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）Af1（2）=2Bf1（2）=4Cf1（4）=2Df1（4）=415（3分）直线2x3y+1=0的一个方向向量是（）A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（3，2）16（3分）函数f（x）=的大致图象是（）ABCD17（3分）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D18（3分）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线y=x对称19（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（）A

4、45xB90x2C120x3D252x420（3分）既是偶函数又在区间（0，）上单调递减的函数是（）Ay=sinxBy=cosxCy=sin2xDy=cos2x21（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A1：2B1：4C1：8D1：1622（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）AZUNBNUNCU（u）DU023（3分）已知a，b，cR，“b24ac0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件24（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N

5、若=，其中为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤25（7分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积26（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积27（8分）已知数列an的前n项和为S，数列bn满足b，求28（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分

6、别为B1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程29（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1）点A，P满足当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由30（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且xn 是首项为1、公比为2的等比数列，记PnAPn+1=n，nN*（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐

7、标为（0，8），求n的最大值及相应n的值31（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）b 是奇函数”（1）将函数g（x）=x33x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）= 图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）b 是偶函数”判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进

8、行修改，使之成为真命题（不必证明）2013年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分1（3分）（2013上海）函数y=log2（x+2）的定义域是（2，+）【分析】要使函数有意义，只需令x+20即可【解答】解：欲使函数有意义，须有x+20，解得x2，所以函数的定义域为（2，+）故答案为：（2，+）2（3分）（2013上海）方程2x=8的解是3【分析】由已知条件2x=8=23，可得x=3，由此可得此方程的解【解答】解：由2x=8=23，可得x=3，即此方程的解为3，故答案为 33（3分）（2013上海

9、）抛物线y2=8x的准线方程是x=2【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程【解答】解：抛物线的方程为y2=8x抛物线以原点为顶点，开口向右由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=2故答案为：x=24（3分）（2013上海）函数y=2sinx的最小正周期是2【分析】根据函数y=2sinx的最小正周期是 ，运算可得结果【解答】解：函数y=2sinx的最小正周期是 =2，故答案为 25（3分）（2013上海）已知向量，若，则实数k=【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可【解答】解：

10、由，得1（k6）9k=0，解得k=，故答案为：6（3分）（2013上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值【解答】解：函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+），（其中，cos=，sin=） 故函数的最大值为5，故答案为57（3分）（2013上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模是【分析】利用模长公式|z|=，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）的模【解答】解：复数2+3i，2+3i的模 =故答案为：8（3分）（2013上海）在ABC中，角A，B

11、，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60，则b=7【分析】根据余弦定理b2=a2+c22accosB，代入题中的数据得b2=25+64258cos60=49，解之即可得到b=7【解答】解：在ABC中，a=5，c=8，B=60，根据余弦定理，得b2=a2+c22accosB=25+64258cos60=49解之得b=7（舍负）故答案为：79（3分）（2013上海）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可

12、得到异面直线A1B与B1C所成的角【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1DB1C，则BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故BA1D=60故答案为：6010（3分）（2013上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）【分析】先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案【解答】解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：=，则选出的3人中男女同学都有的概率为：1=故答案为：11（3分）（2013上海）若等差数列

13、的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=【分析】设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和Sn的解析式【解答】解：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得 ，故数列的前n项和Sn=，故答案为 12（3分）（2013上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2232，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+23+232）+（22+223+2232）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，

14、参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=2453，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=2453，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836可求得2000的所有正约数之和为 4836故答案为：4836二选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分

15、13（3分）（2013上海）展开式为adbc的行列式是（）ABCD【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，再根据所给的式子即可得出答案【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，由题意得，=adbc故选B14（3分）（2013上海）设f1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）Af1（2）=2Bf1（2）=4Cf1（4）=2Df1（4）=4【分析】本题的关键是求函数f（x）=的反函数，欲求原函数的反函数，即从原函数式f（x）=中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式【解答】解：f1（x）为函数f（x）=的反函数，f1（x）=x2，（x0），f1（2）=

16、4，f1（4）=16，故选B15（3分）（2013上海）直线2x3y+1=0的一个方向向量是（）A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（3，2）【分析】题意可得首先求出直线的斜率为：k=，即可得到它的一个方向向量（1，k），再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案【解答】解：由题意可得：直线2x3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x3y+1=0的一个方向向量 =（1，），或（3，2）故选D16（3分）（2013上海）函数f（x）=的大致图象是（）ABCD【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案【解答】解：因为0，所以f（x）在（0，+）上单调递减，排除选项B、

17、C；又f（x）的定义域为（0，+），故排除选项D，故选A17（3分）（2013上海）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D【分析】由于ab0，不妨令a=2，b=1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论【解答】解：由于ab0，不妨令a=2，b=1，可得=1，故A不正确可得ab=2，b2=1，abb2，故B不正确可得ab=2，a2=4，aba2，故C不正确故选D18（3分）（2013上海）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线y=x对称【分析】由题意可得z1，z2的实部相等，虚部互

18、为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称【解答】解：若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称，故选A19（3分）（2013上海）（1+x）10的二项展开式中的一项是（）A45xB90x2C120x3D252x4【分析】根据（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=xr，即可得出结论【解答】解：（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=xr，故当r=3时，此项为120x3，故选C20（3分）（2013上海）既是偶函数又在区间（0，）上单调递减的函数是（）Ay=sinxBy=c

19、osxCy=sin2xDy=cos2x【分析】根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B中的函数满足条件，从而得出结论【解答】解：由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数，故排除A、C由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2，且在（0，）上是减函数，故满足条件由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于，在（0，）上是减函数，在（，）上是增函数，故不满足条件故选B21（3分）（2013上海）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A1：2B1：4C1：8D1：16【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=

20、，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4两个球的表面积之比为1：4，=，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为=（）3=即两个球的体积之比为1：8故选：C22（3分）（2013上海）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）AZUNBNUNCU（u）DU0【分析】根据题目中条件“全集U=R”，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案【解答】解：全集U=R，ZUN=R，NUN=，U（u）=，U0=xR|x0故选A23（3分）（2013上海）已知a，b，cR，“b24ac0”是“函

21、数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】根据充要条件的定义可知，只要看“b24ac0”与“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可【解答】解：若a0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a0且=b24ac0但是，若a=0时，如果b=0，c0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到=b24ac0；反之，“b24ac0”并不能得到“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a0时从而，“

22、b24ac0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件故选D24（3分）（2013上海）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N若=，其中为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（a，0）、B（a，0）；因为=，所以y2=（x+a）（ax），即x2+y2=a2，当=1时，轨迹是圆当0且1时，是椭圆的轨迹方程；当0时，是双曲线的轨迹方程当=0

23、时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程故选D三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤25（7分）（2013上海）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积【分析】因为 CC1AA1根据异面直线所成角的定义得BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，从而BC1C=在RtBC1C中，求得BC，从而求出SABC，最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积【解答】解：因为 CC1AA1所以BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即BC1C=在RtBC1C中，BC=CC1tanBC1C=6=

24、2，从而SABC=3，因此该三棱柱的体积为V=SABCAA1=36=1826（7分）（2013上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积【分析】设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可【解答】解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0x40，健身房占地面积为y平方米因为CFPCBA，以，求得BF=50，从而y=BFFP=（50）x=500当且仅当x=20时，等号成立答：该健身房的最大占地面积为

25、500平方米27（8分）（2013上海）已知数列an的前n项和为S，数列bn满足b，求【分析】先由Sn求出an，进而得到bn，由bn的表达式可判断数列bn是无穷等比数列，从而可得答案【解答】解：当n2时，=2n+2，且a1=S1=0，所以an=2n+2因为=，所以数列bn是首项为1、公比为的无穷等比数列故=28（13分）（2013上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程【分析】（1）由F1B1B2为等边三

26、角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求【解答】解：（1）设椭圆C的方程为根据题意知，解得，故椭圆C的方程为（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x1）由，得（2k2+1）x24k

27、2x+2（k21）=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即=，解得，即k=故直线l的方程为或29（12分）（2013上海）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1）点A，P满足当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间

28、的关系，再由点Q在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则，因为F的坐标为（1，0），所以，由，得（xxA，yyA）=2（xA1，yA）即，解得代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=84x（2）设点Q的坐标为（t，0）点Q关于直线y=2x的对称点为Q（x，y），则，解得若Q在C上，将Q的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（）30（13分）（2013上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且xn 是首

29、项为1、公比为2的等比数列，记PnAPn+1=n，nN*（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求n的最大值及相应n的值【分析】（1）利用xn 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；（2）表示出tann=tan（OAPn+1OAPn），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论【解答】解：（1）设A（0，t）（t0），根据题意，xn=2n1由，知，而tan3=tan（OAP4OAP3）=，所以，解得t=4或t=8故点A的坐标为（0，4）或（0，8）（2）由题意，点Pn的坐标为（2n1，0），tanOAPn=tann=tan（OAPn+1OAPn）=因为，所以tann=，当且仅当，即n=4时等号成立0n，y=tanx在（0，）上为增函数，当n=4时，n最大，其最大值为31（18分）（2013上海）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）b 是奇函数