本科经济计量学第2章(第3版)

1、第一部分概率论和统计学基础第二章概率和概率分布，2.1一些符号，2.2测试样本空间中的样本点和事件，2.3随机变量，2.4概率，2.5随机变量及其概率分布，2.6多元随机变量的概率密度函数，2.7摘要，2.1一些符号，或，和符号：和符号的性质：1。如果k是常数，有：2。如果k是常数，有：3。4。如果a和b是常数，则在测试样本空间中有：2.2个样本点事件。1.随机实验指的是至少有两种可能结果的过程，但不确定哪一种会出现。扔一枚硬币和一个骰子，从一副牌中抽出一张牌。你还有其他例子吗？扔硬币100次，面朝上70次。你认为硬币是平的吗？2。总体或样本空间：随机实验所有可能结果的集合。2.2:投掷两个相

2、同的偶数硬币。h代表面朝上，t代表面朝下。有四个结果：HH，HT，TH，TT。样本空间(HH，HT，TH，TT)，示例2.3:在两轮游戏中，O1表示两轮都赢了；O2意味着赢得第一轮，输掉第二轮；O3意味着第一轮失败了，但是第二轮赢了；O4意味着两轮都失败了。样本空间(O1，O2，O3，O4)，3。采样点采样空间的每个元素，即每个结果。4。事件：随机实验的可能结果的集合。它是样本空间的子集。例2.4:在例2.2中，如果事件a表示硬币朝上，硬币朝下。事件a由两个采样点组成：高温和高温。也就是说，A=(HT，TH)。如果事件B被调查：两个硬币中至少有一个朝上，事件B由三个样本点组成，即B=(HH，H

3、T，th)。嘿！如果两个事件不能同时发生，这两个事件被称为互斥。嘿！如果一个事件的发生与另一个事件的发生相同，那么两个事件被称为同等可能。嘿！如果实验的所有可能结果都被用尽了，这个事件就被统称为穷举。2.3随机变量，例2.5:让我们再看一遍例2.2，如果变量x表示抬头投掷的硬币数量。有以下几种情况：第一枚硬币和第二枚硬币朝上的次数，T T 0 T H 1 H T 1 H H 2，随机变量：其值由随机测试结果决定的变量称为随机变量。x的值可以是0、1或2。x的值与随机实验的结果有关，x是一个随机变量。返回，随机变量可分为：离散随机变量(随机变量的值是离散的，并且只能取有限的数或列出一个数)；一个

4、连续的随机变量(一个随机变量的值在一个连续的区间内，可以取某个区间内的任何值)，它的分布函数F(x)是一个绝对连续的函数。比如身高、体重和某个年龄的其他随机变量。2.4概率，这个定义有两个特点：*测试结果是有限的，必须是互斥的*每个测试结果都可能发生，1。事件概率的经典定义：如果随机测试的n个可能结果是互斥的，并且每个结果都可能发生，并且事件A包含m个基本结果，那么事件A发生的概率是P(A):例2。这些结果是相互排斥的，可能会发生(为什么)？因此，根据概率的经典定义，任何数字上升的概率是1/6。这里，m=1，n=6。在一副52张牌中，抽一张K的概率是多少？回来。在这个定义中是否要求测试结果是互

5、斥的并且可能发生？2。概率的频率定义(经验定义):如果N次试验(或N次观测)中的m次有利于事件A，假设试验次数N足够，那么事件A的发生频率可以很好地衡量事件A发生的概率P(A)也就是说，例2.7下表显示了200名学生的微观经济学考试分数的分布(频率分布)200名学生的分数分布在微观经济学考试分数区间平均点频0-9 500 10-19 15 00 20-29 20 00 30-39 35 10 0 0.050 40-49 45 20 0 0.100 50-59 535 0.175 60-69 65 50.250 70事件A的概率满足：0P(A)1 2。如果事件A，B，C，是互斥事件，那么p (a

6、，B，c )=p(。是一个互斥的事件和一个完整的事件组，那么p (a b c.)=p (a) p (b) p (c).=1，例2.8在例2.6中，1，2，3，4，5，6构成一个完整的事件组。那么p(123456)=p(1)p(2)p(3)p(4)p(5)p(6)=1/61/61/61/61/6=1，3。概率的性质，常用的性质1。事件A和B被称为p (a b)=p (a) p (b)-p (ab)。3.对应于任何事件A，有一个补充事件A，和、例2.9:在例2.5中，两个正面朝上的概率是多少？让A表示第一个面朝上，B表示第二个面朝上，所以现在需要概率p (ab)，p (ab)=p (a) p (b

7、)=1/21/2=1/4。如果事件a和b互斥，P(AB)=0？(2.10)一副扑克牌中的一张牌成为红心牌或皇后牌的概率是多少？显然，画红心和画皇后并不是相互排斥的事件(为什么？因此，有：P(红心或皇后)=P(红心)P(皇后)-P(红心和皇后)=13/52 4/52- 1/52=4/13，4。事件a的条件概率：在事件b发生的条件下，事件a发生的概率。符号为P(A | B)。会计入门班有500名学生，包括300名男生和200名女生。在这些学生中，100名男生和60名女生计划主修会计。现在，随机选择一个人，发现这个学生计划主修会计。那么，学生是男孩的概率是多少？如果A表示学生是男生，B表示学生主修会

8、计，则要求概率为P(A|B)。可以看出，P(AB)=100/500，P(B)=160/500，然后P(A|B)=P(AB)/P(B)=5/8。一般来说，利润等于利润吗？他们什么时候平等？2.5随机变量及其概率分布，2.5.1离散随机变量的概率分布使得随机变量x取离散值函数f定义为，称为概率质量函数，PMF)或概率函数，简称PF)。PMF有以下特性：例2.13随机变量x表示硬币面朝上被投掷两次的次数。x取三个不同的值：0，1，2x012pf1，1/21/4，图2-2中“抛两个硬币正面朝上”的PMF，0.12，测量连续随机变量概率分布的函数是概率密度函数。概率密度函数衡量特定范围或区间内连续随机变

9、量的概率。如果x代表：高度的连续随机变量，我们需要“人的高度”在某个区间内的概率(例如60 68英寸)，图2-3中的阴影部分是这个区间的概率。连续随机变量的概率分布。连续随机变量的概率密度函数也记录为f (x)。有：概率分布函数有以下性质：取连续随机变量的单个点值的概率为0。2.5.3累积分布函数f (x)定义如下：F(x)=P(Xx)，其中P(Xx)表示随机变量X小于或等于X的概率.具有以下性质：例2.15扔4次均匀硬币，找出随机变量x的PMF和CDF(面朝上的次数)。，PMF CDF X值f() X值f()001/160X 11/16114/161X 25/16226/162X 3 11/

10、163 34/163X 4 15/164 41/164右图为例2.15中随机变量X的累积分布函数。x的值是f(0x 11/161x 25/162x 3 11/163x 4 15/164x 1，2.6多元概率密度函数。许多随机变量被用来描述一个实验结果，并且所获得的概率密度被称为如果X1，X2，X3，Xn都是随机变量，(X1，X2，X3，Xn)构成一个n维随机向量，它也被称为一个n元随机变量。二维随机向量是常见的。一家电脑零售店出售个人电脑和打印机。每天销售的电脑和打印机数量不同，店主记录了过去200天的每日销售情况，如表2-2所示。表2-3提供了一个二元(或联合)概率密度函数，通常用f(X，Y

11、)表示。表中的每个值都是一个联合概率。一般来说，假设X和Y是两个离散的随机变量，那么函数：f(X，Y)=P(X=x，Y=y)，独立性，2.6.1边际概率密度函数边际概率密度函数：当X取一个给定值时，不管Y的值是多少，这个概率叫做X的边际概率，它的概率密度叫做X的边际概率密度函数。下表显示了示例2.14中随机变量x和y的边缘分布。0 0.08 0.11 1 0.12 1 0.16 2 0.24 2 0.23 3 0.24 3 0.27 4 0.32 4 0.23总计1.00总计1.00，X f(X) Y f(Y)，表2-4电脑销售X和打印机销售Y的边缘分布，2.6在示例2.17中，找到P(Y=4|X=4)=？同样，条件概率密度函数X给出如下：2.6.3统计独立性：两个变量X和Y称为统计独立性，当且仅当它们的联合分布密度函数可以表示为它们的边密度函数的乘积。也就是说，在实施例2.18中，袋中分别填充有1、2和3的球。现在，从袋子中随机选择两个球。x代表第一次球提取的