概率与概率分布

1、第四章 概率及概率分布,第一节 概率基础 第二节 随机变量及其分布 第三节 几种常见的离散型分布 第四节 几种常见的连续型分布,第一节 概率基础,一、随机实验与随机事件 1、确定性现象和随机现象 2、统计规律性：对于随机现象，仅从一次观察来看似乎没有什么规律，但通过大量观察会发现其有明显规律，这种规律性通常被称为统计规律性。 3、随机实验 4、随机事件,二、随机事件的关系 1、包含与相等 2、并（和） 3、交（积） 4、差 5、互不相容（互斥） 6、逆（对立） 7、分配律 8、德摩根律,例：A、B、C是 中的随机事件，则 A与B不发生， C发生 A、B、C恰好发生一个 A、B、C至少发生两个

2、A、B、C至多发生两个 注意：遇到“至少、至多”考虑用对立事件,三、随机事件的概率 1、古典概型：一般运用演绎方法计算得到 2、统计概率（试验概率） 注意：试验概率比较容易理解，但也存在一些问题，例如，重复n+1次试验的频率不一定比重复n次试验的频率更接近真实的概率，而且试验也不可能无限制地进行下去。 3、主观概率： 注意：对同一事件，主观概率因人而异（乐观、悲观）。主观概率并非由个人主观随意猜测，而是依据一定的理论知识、实际经验和对问题的分析作出的判断。,四、概率的性质与运算法则： （一）基本性质： 性质一： 0P（A）1 性质二：P（）=1；P（）=0 性质三：设A、B是两个互不相容的事件

3、，则 P（AUB）=P（A）+P（B） 推广：事件A 1A2 A n 两两互不相容 性质四： 性质五：设事件A包含事件B， P（AB）=P（A） P（B）,（二）概率的运算法则 1、加法定理（公式） 当A、B为任意两个随机事件时： P（A+B）=P（A）P（B）P（AB） 如A、B互斥,则P（AB）=0 即为性质三。 推广：任意三个随机事件A、B、C,2、条件概率与乘法定理 条件概率 乘法定理（公式） 推广：,3、独立性（事件独立性） 对于任意两个随机事件A、B，如果有 则称随机事件A、B相互独立（统计独立），即事件A的发生不影响事件B发生的概率。 例：两个互不发生影响的事件相互独立,（三）全

4、概公式和逆概公式,1、全概率公式（由乘法公式导出） 我们先引入一个定义， 设事件A 1A2 A n 满足如下条件： 两两互不相容 A 1 + A2 + + A n = P（A i） 0 则称事件A 1A2 A n是样本空间的一个划分。 全概率公式：设事件A 1A2 A n是样本空间的一个划分,B是任一事件，则,2、逆概率公式（贝叶斯公式） 与全概公式解决的问题相反，逆概公式用于已知结果发生的条件下，求这一结果是由哪种原因引起的条件概率。 贝叶斯公式：设事件A 1A2 A n是样本空间的一个划分,B是任一具有正概率的事件，则,第二节 随机变量及其分布,一、随机变量的有关概念 1、随机变量：（P6

5、6 ）随机变量就是随机事件的数量表现。 2、随机变量的两个特点： 取值的随机性，即事先不能确定取哪个值； 取值的统计规律性，即完全可以确定取某个值或在某一区间内取值的概率。 3、按取值特点不同分类 离散型随机变量：随机变量的取值可以一一列举； 连续型随机变量：随机变量的取值充满某一区间。,二、概率分布,1、概率分布：由随机变量取值的概率所形成的分布，称为概率分布。它表明随机变量分布的规律，因此又称为理论分布。 分析：我们研究一个随机变量 ，首先要知道它可能取哪些值，其次要知道它取这些值的可能性是多少。 我们知道频率分布是根据实际统计数据整理而形成的分布，它给出了随机变量取值的频率，因此又称为经

6、验分布。 所以，我们通常用频率近似表示概率；用频率分布近似表示概率分布,2、离散型随机变量的概率分布 概念与性质 分布函数 数学期望：随机变量的均值。 方差：随机变量离差平方的均值。 注意：数学期望和方差的性质,3、连续型随机变量的概率分布 概率密度 分布函数 性质： 数学期望和方差,第三节 几种常见的离散型分布,一、二项分布 1、n重贝努里试验 每次试验只有“成功”或“失败”两种可能结果； 每次试验“成功”的概率为p，“失败”的概率为q，且每次试验的p 不变； n次试验是相互独立的，即n次独立重复试验。,2、二项分布： 在n重贝努里试验中，“成功”（我们关注的事件）的次数X是一个离散型随机变

7、量，X的概率分布为 K=0，1，2，n 我们称X服从参数为n，p的二项分布，记为,说明： 样本空间所含样本点数为2n ； p：一次试验成功概率； K：n次试验有K次成功； P越接近0.5或n越大，分布越趋于对称； 随着n的增大，二项分布趋近于正态分布。 推广： P(XK) ，P(XK),3、二项分布最可能“成功”的次数（众数） 4、二项分布的数字特征 ： 5、两点分布（ 01分布）,二、泊松分布 若离散型随机变量X的概率分布为 K=0，1，2，n 其中0（常数）则称X服从参数为的泊松分布，记作 P（ ）。,2、近似计算： 当二项分布中的n大，p小（一般只要n20，P0.05即可）时，可用泊松分

8、布近似计算其概率，其中= np。 泊松分布可作为稀有事件（小概率事件）发生次数X的概率分布模型。,3、泊松分布的最可能值（众数） 4、数字特征 例：P69（4-13） 如何查泊松分布表？ P366,三、超几何分布 若有N个产品，其中有M个次品。从中随机抽取n个，则这个样本中含有次品的个数X是一个离散型随机变量，其概率分布为： K=0，1，2，min（M，n） 则称X服从超几何分布。,2、近似计算 当N很大，n相对N很小（一般只要n/N 0.1即可）时，可以用二项分布近似计算超几何分布。 理由：从抽样角度解释 任取n件如看作是不放回的抽取n次，每次一件，则X服从超几何分布；若放回的抽取n件（ n

9、重贝努里试验 ），则X服从二项分布。 当N很大，n相对较小时，放回地抽取n次，产品被重复抽到的可能性很小，近似于不放回抽样。,第四节 几种常见的连续型分布,一、正态分布（高斯分布） 若连续性随机变量X的概率密度为 则称X服从参数为u、2的正态分布，记为 注意：p72 正态分布是最重要的一种连续性随机变量分布。,2、正态曲线f（x） 3、正态分布的性质 若随机变量X服从正态分布，则对任意常数a（a 0）、b，随机变量Z=aX+b也服从正态分布。 若随机变量X，Y皆服从正态分布，则对任意常数a、b （a，b不全为 0） ，随机变量Z=aX+bY也服从正态分布 推广：n个随机变量,4、正态分布的分布函数和数字特征 5、标准正态分布及查表 6、正态分布的标准化 若随机变量 则随机变量,例1：P74（4-14） 例2： P79（4.11） 7、正态分布的3 准则 8、二项分布的正态近似 二项分布 ，当n很大，p和q都不太小时，不能用泊松分布近似计算。一般当np，nq皆大于5时，就可以对二项分布作正态近似。其中u=np，2 =npq,二、自学指数分布与均匀分布 三、 分布、t 分布和 F 分布 要求：P86-88 掌握三种精确分布的定义和性质； 了解三种精确分布的密度曲线图； 会查表求值。 “大数定律与中心极限定理”,大数定律与中心极限定理,大数定律和中心极限定理