概率论课件1.1(11.2)

1、概 率 论 与 数 理 统 计,主讲：赵敏,第一章 事件与概率,本章是概率论部分的基本概念和基本知识，是学习以后各章所必不可少的,一、教学目的与要求,二、教学重点与难点,一、教学目的与要求,理解事件的概念，熟练掌握事件的运算法则，事件间的各种关系.,掌握概率的几种定义，熟悉并会用概率性质进行概率的有关计算.,掌握条件概率的定义，并能应用有关条件概率的公式（乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式）计算概率.,掌握几种概型（古典概型、几何概型、贝努里概型）概率的计算.,理解事件独立性的概念，并会用独立性的性质进行概率的计算 .,二、教学重点与难点,重点: 各种类型概率的计算,难点: 有关事件概率的计算,

2、1.1 随机事件和样本空间,一、随机事件和样本空间的概念,1、基本事件和样本空间,定义：一个试验如果满足下述条件：,（1）试验可以在相同的情形下重复进行；,（2）试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个；,（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在 一,就称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也简称为试验,（明确可知性）,（不确定性）,次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.,（可重复性）,常用 表示随机试验.,定义：随机试验的每一个可能的结果, 称为基本事件（样 本点）一般用 表示,因为随机试验的所有结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的则基本事件的全体所组成的集

3、合，称为样本空间常用 来表示,即 ,注：,（1）定义中的每个可能的结果是指每个不能再分或不必再细分的可能结果.,（2）对于一个具体的随机试验，我们可以根据试验的条件和观察的目的来确定样本空间,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,=取得白球， =取得黑球， 则样本空间为,=取得球的标号为i， 则样本空间为,i=收到的呼唤次数为i，,t=测得的水温为 ，,例1,例2,例3,例4,例5,抛掷一枚均匀的硬币，观察它可能出现的结果 =出现正面， =出现反面， 则样本空间为 正，反,例6,若掷两枚硬币，或一枚硬币掷两次,=（正，正），,=（正，反），,=（反，正），,=（反，反）,则样本空间为,(正

4、，正),(正，反),(反，正),(反,反) ,若关心两枚硬币中正面出现的枚数，则,=“出现i枚正面”,其样本空间,从这个例子我们可以看到对同一个随机试验，当目的和要求不同时，则样本空间所含的样本点是不一样的,共有10个样本点,现在改变它的试验条件：从中依次不放回地任取2件，即每次取1件，取后不放回，一共取两次，这时，样本点不仅与取出的产品有关，而且与抽取产品的先后次序有关如,是不同的样本点，不难看出这一试验共有20个样本点,与,例8,向某一目标射击一发子弹，观察弹着点的位置。其结果可以用某一平面区域内的点（x，y）来表示，其样本空间为,从上面的例子可以看出，样本空间可以是有限的，也可以是无限的

5、；可以是一维点集，也可以是二维点集而且一个随机试验往往与一个样本空间相联系；反过来一个样本空间又是许多同类试验模的抽象化 例如：只包含两个样本点的样本空间, 既可以用来描述掷硬币出现正面和反面的试验，又可以描述产品抽样检验中出现正品和次品的试验，还可以描述射击中是中还是不中的试验等等尽管问题的实际内容不同，但却能归结为相同的概率模型,2随机事件,在随机试验中，有时关心的是带有某些特征的基本事件是否发生，如在例2中，A=球的标号=5， B=球的标号是偶数， C=球的标号5 其中A是基本事件，而B和C是由多个基本事件所组成的，相对于基本事件，称为复杂事件 无论是基本事件还是复杂事件，它们在试验中发

6、生与否，都带有随机性，所以都叫做随机事件或简称为事件，习惯上用A、B、C、来表示,2,1,9,6,8,0,7,5,4,3,定义,一般地，我们称样本空间的某个子集为随机事件，简称为事件.,基本事件与随机事件是两个不同的概念，基本事件是一个随机事件，而随机事件不一定是基本事件，如例2.,从上述事件的构成来看，在一次试验中，一个事件“发生”, 当且仅当它所含的一个基本事件发生；一个事件“不发生”，当且仅当它所含的所有基本事件都不发生.,一个事件是否称为基本事件是相对于试验的目的来说的例如：一射手击靶，如果考察命中的环数，那么“命中0环”，“命中1环”，“命中10环” 都是基本事件，共有11个；如果考

7、察的是命中还是不命中，那么只有两个基本事件，即“命中”，“不命中”,两个特殊的事件：,必,件,然,事,即在试验中必定发生的事件，常用 表示;,不,件,可,事,能,即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示 .,例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;,而“掷出点数8”则是不可能事件.,例9抛掷一枚硬币 落下后它的正面朝上，这是一个随机事件,记作A=“正面朝上”；落下后它的正面朝下，这是一个随机事件,记作B=“正面朝下”,例10抛掷两枚硬币 A=“两个都是正面朝上”；B=“两个都是正面朝下”； C=“一个正面朝上，一个正面朝下”都是随机事件 不难看出D=“至少有一个正面朝上”也是一个

8、随机事件,例11掷一个匀称的骰子 A=“出现1点”，B=“出现2点”，F=“出现6点”； G=“出现奇数点”，H=“出现偶数点” 都是随机事件； I=“点数大于6”是不可能事件；J=“点数不大于6”是必然事件,例12在10个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任取3个 A=“三个都是正品”，B=“至少有一个是次品”为随机事件；C=“三个都是次品” 是不可能事件； D=“至少有一个是正品” 是必然事件,例13在一副扑克牌中任摸14张 A=“其中有两张花色是不同的” 是必然事件； B=“其中没有两张花色是不同的” 是不可能事件,不可能事件和必然事件是否发生都是确定的，显然不符合随机事件的定义（因

9、随机事件具有不确定性即试验前不能确定哪个结果会出现），所以不是随机事件但为了便于讨论问题起见，我们也把它们算作随机事件,二、事件的关系与运算,1事件的关系与运算,文氏图 ( Venn diagram ),A,以下设,等都是同一样本空间,中的事件., A 包含于B,事件 A 发生必导致事件 B 发生,A,B,(1). 事件的包含,定义：若,，则,（若事件A发生必然导,致事件B发生），这时称事件B包含事件A，记作,或,，即A是B的子集,(2). 事件的相等,定义：若,且,则称事件A与B相等，记作,或 即,事件 发生 A发生或B发生 A、B中至少有一个发生,类似的可以推广到n个事件：,中至少有一个发

10、生”,这样的一个事件称作事件,定义：“事件A、B中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件A与B的并（或和）记作 (或A+B),（3）. 事件的并(和),的并（或和），记作,或,或,定义：“事件A与B同时发生”, 这样的一个事件称作事件A与B的交（或积）记作 （或AB）,发生 A发生且B发生 A、B同时发生,类似的“ 同时发生”称为 的交 （ 或 （简记为 或 ）,（4）. 事件的交(积),发生,（5）. 事件的差,不发生,发生而,定义：“事件,发生而,不发生”，这样一个,与,的差记为,事件称作事件,（6）. 事件的互不相容(互斥),（7）事件的对立（逆）,A,对立事件与互不相容事件的关系：,

11、对立事件一定是互不相容的，但互不相容事件不一定是对立的,定义：若,，则称事件A与事件,B互不相容（互斥）。,即互不相容的两事件不会同时发生。,定义：若A是一个事件，令,称为事件A的对立事件或逆事件,例14：设A、B、C是样本空间 的三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来,（1）A发生，但B、C都不发生,（2）A、B发生，而C不发生,（3）三个事件都发生,（4）三个事件中至少一个发生,（5）三个事件都不发生,（A 或A-B-C或A- ）,（AB 或AB-C或AB-ABC）,（ABC）,（ 或 ）,（ 或 ）,（6）不多于一个事件发生,（7）不多于两个事件发生,（8）三个事件中至少两个发生

12、,（9）恰有一个事件发生,（10）恰有两个事件发生,（ 或 ）,（ 或 ）,（ ）,（ 或AB+BC+CA-ABC）,例15 在图书馆中随意抽取一本书，,表示数学书，,表示中文书，,表示平装书., 抽取的是精装中文版数学书, 精装书都是中文书, 非数学书都是中文版的，且,中文版的书都是非数学书,则,事件,2事件运算的基本性质,定义：事件式 用运算符号把事件联结起来的算式叫做事件式,在事件式中，运算的顺序为：第一逆，第二交，第三并或差，但如有括号则优先执行括号里的运算,事件运算有如下的基本性质：,（1）否定律,（2）幂等律,（3）交换律,（4）结合律,（5）分配律,（6）德摩根（De Morga

13、n）公式（对偶原则或反演律）,更一般地有,B,C,A,B,A,C,分配律 图 示,A,A,下面我们来证（5）：,证,因此 ,假设 发生，,那么A发生且 发生，,发生意味着B、C中至少有一个发生，,若B发生，则AB发生，从而有 发生；,若C发生，则AC发生，从而有 发生,综上所述,则 发生,那么AB发生或AC发生，,假设 发生，,若AB发生，即A、B都发生，从而A与 都发生，,则 发生；,若AC发生，即A、C都发生，从而A与 都发生，,因此,下面我们来证（5）：,证,假设 发生，那么A发生或BC发生，,若A发生，那么 与 都发生， 从而可以知道 发生；,若BC发生，那么B与C都发生， 从而 也发

14、生,因此,假设 发生，那么A可能发生也可能不发生，,若A发生，则 当然发生；,若A不发生，那么由于 发生，则B必发生，,从而 发生,因此,综上所述,再来证（6）,证,（1）,（2）,综合 （1）（2）,证,（1）,（2）,综合 （1）（2）,例16 设一架飞机有一名驾驶员，两个发动机 和 今向这架飞机射击，假设当击中驾驶员或同时击中两个发动机时，飞机才被击落，若记A=“击中驾驶员”，B=“击中发动机 ”，C=“击中发动机 ” 则D=“飞机被击落”=A+BC,（1） ； （2） ；（3） ，,解,（1）,（2）,（3）,解,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,A,B,B,红色 区域,黄色 区域,例 19 用图示法简化,A,A,例20 化简事件,解 原式,三事件域,前面我们曾经指出，事件是样本空间 的某个子集，但一般并不把 的一切子集都作为事件，因为这将会给进一步的讨论带来困难另一方面，由讨论问题的需要，又必须把问题中感兴趣的事件都包括进来例如，若A是事件，则应要求 也是事件，若A、B是事件，则 以及 等也应是事件为此，我们通常总是根据具体问题的需要，适当选取 的一些子集组成集类F ，要求F 对集合的逆、交、并等运算封闭，而把 中属于F 的那些子集叫做事件，把 F 称作事件域,定义：设 是一给定的样本空间，F 是由 的一些子集构成的集合类，如果F 满足下列条