北师大版九下数学《垂径定理》

1、3.3 垂径定理（2）,定理 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,复习回顾,CDAB,AB是O的一条弦, 且AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由.,过点M作直径CD.,下图是轴对称图形吗? 如果是,其对称轴是什么?,小明发现图中有:,由 CD是直径,AM=BM,探究新知,定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧.,思考：平分弧的直径会垂直平分弧所对的弦吗？,CDAB,你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由.,下图是轴对称图形吗? 如果是,其对称轴是什么?,小明发现图中有:

2、,由 CD是直径,AC=BC,AB是O的一条弧,且AC=BC.,AM=BM,定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.,你可以写出相应的命题吗?,如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说. 如果在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和

3、所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧,做一做,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( ),（3）不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.,（7）平分弦的直线，必定过圆心.,（8

4、）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦.,（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径.,（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦.,（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.,例3、1300多年前, 我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m,拱高(弧的中点到弦的距离, 也叫弓形高)为7.23m, 求桥拱的半径(精确到0.1m).,例题探究,解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 由题设,在R

5、tOAD中，由勾股定理，得,解得 R27.3（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.3m.,R,D,37.02,7.23,变型：如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m, E为弧CD上的一点,且OECD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解: 连接OC.设弯路的半径为Rm,船能过拱桥吗,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米, 拱顶高出水面2.4米. 现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里, 此货船能顺利通过这座拱桥吗？,解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理