积分的对称性

1、积分的对称性1,积分的对称性,积分的对称性2,利用对称性计算积分（包括定积分、重积分、曲线积分和曲面积分）利用积分区域的某种对称性和被积函数的某种奇偶性计算和化简积分是积分计算的重要方法和技巧。本课件有关命题及详细证明。,积分的对称性3,利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性计算定积分,积分的对称性4,命题1,证,积分的对称性5,若f(x)是奇函数:f(-x)=-f(x),若f(x)是偶函数:f(-x)=f(x),积分的对称性6,利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分,积分的对称性7,命题2若区域D关于y轴(x=0)对称，则,当f(x,y)关于x为奇函数,当f(x,y)关于x为偶函

2、数,f(x,y)关于x为奇函数：,f(x,y)关于x为偶函数：,积分的对称性8,证不妨假定D的右半部分D1为X型区域：,由D关于y轴的对称性，D的左半部分D2为：,积分的对称性9,积分的对称性10,积分的对称性11,命题2若区域D关于x轴(y=0)对称，则,当f(x,y)关于y为奇函数,当f(x,y)关于y为偶函数,f(x,y)关于y为奇函数：,f(x,y)关于y为偶函数：,积分的对称性12,推论1若D关于x轴和y轴都对称,且f(x,y)关于x和y均为偶函数,则,积分的对称性13,命题3若D1是区域D关于直线y=x对称的区域，则,积分的对称性14,证不妨假定D为X型区域：,则D1为Y型区域：,

3、积分的对称性15,推论1若D关于直线y=x对称，则,证设D1是D关于直线y=x对称的区域，则D1=D。用命题3即得。,积分的对称性16,推论2若区域D关于直线y=x对称,且f(x,y)关于x和y对称：,则,积分的对称性17,证设,则D2与D1关于直线y=x对称，且,由命题3,积分的对称性18,利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算三重积分,积分的对称性19,当f(x,y,z)关于z为奇函数,当f(x,y,z)关于z为偶函数,f(x,y,z)关于z为奇函数：,f(x,y,z)关于z为偶函数：,命题4若空间区域关于xOy面(z=0)对称，则,高等数学学习手册255页第一行,积分的对称性20,证

4、不妨假定的上半部分1为XY型区域：,由关于xOy坐标面的对称性，的下半部分2为：,积分的对称性21,积分的对称性22,积分的对称性23,积分的对称性24,利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性计算对弧长的曲线积分,积分的对称性25,命题5若曲线L关于y轴(x=0)对称，则,当f(x,y)关于x为奇函数,当f(x,y)关于x为偶函数,f(x,y)关于x为奇函数：,f(x,y)关于x为偶函数：,积分的对称性26,证设L的右半部分L1由以下参数方程给出：,由L关于y轴的对称性，L的左半部分L2的参数方程为：,积分的对称性27,积分的对称性28,积分的对称性29,命题5若曲线L关于x轴(y=0)对称，

5、则,当f(x,y)关于y为奇函数,当f(x,y)关于y为偶函数,f(x,y)关于y为奇函数：,f(x,y)关于y为偶函数：,积分的对称性30,当f(x,y,z)关于z为奇函数,当f(x,y,z)关于z为偶函数,f(x,y,z)关于z为奇函数：,f(x,y,z)关于z为偶函数：,命题6若空间曲线关于xOy面(z=0)对称，则,积分的对称性31,证设的上半部分1由以下参数方程给出：,由关于xOy面的对称性，的左半部分2的参数方程为：,积分的对称性32,积分的对称性33,积分的对称性34,利用积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性计算对面积的曲面积分,积分的对称性35,当f(x,y,z)关于z为奇函数,当f(x,y,z)关于z为偶函数,f(x,y,z)关于z为奇函数：,f(x,y,z)关于z为偶函数：,命题7若曲面关