第一章4合格撒

1、1.6镜像法与电轴法,ImageMethodandElectricAxisMethod,下页,上页,返回,镜像法与电轴法的基本思想,根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的复杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布电荷电场的问题。是一种间接计算方法。,1.点电荷对平面导体的镜像,场分布特点：,平面导体上产生负感应电荷,电场为两维子午平面场,下页,上页,返回,边值问题,上半空间的电位,导体平面上,方程相同，边界条件相同，解唯一。,感应电荷产生的电位,上半场域的电位和电场,下页,上页,返回,-q是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板上复杂分布的感应电荷的作用；,注意,镜像电荷应

2、放置在所求区域（有效区）以外；,根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可作相应的镜像。,下页,上页,返回,地面上感应电荷的总量为,垂直地面的电场分量,试求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布。,解,下页,上页,返回,例,应用镜像法，地面任意点,地面电荷分布,镜像法小结,镜像法的理论依据是：,镜像法的实质是：,镜像法的关键是：,镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。,用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷，使计算场域为无限大均匀媒质；,静电场唯一性定理；,确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值问题不变；,应用镜像法解题时注意：,下页,上页,返回,2.点电荷对球面导体的镜像,

3、点电荷位于接地导体球外,下页,上页,场分布特点：,球面上产生负感应电荷,电场为两维子午平面场,边值问题,导体球外（除q点）空间：,下页,上页,确定镜像电荷的位置,确定镜像电荷大小,应用镜像法求解,球面电位,将r1,r2代入方程，得,镜像电荷放在求解的场域外。,联立求解得,镜像电荷位置,镜像电荷大小,下页,上页,镜像电荷等于负感应电荷总量。,球外任一点P的电位与电场为,球外的电场分布,球外的电场计算,下页,上页,1.点电荷q对不接地金属球的镜像。,边值问题,思路,下页,上页,讨论,导体球外（除q点）空间：,则,任一点电位,通量为零（大小相等）,球面等位（位于球心）,下页,上页,导体球零电位,球面

4、电位,任一点场强,点电荷位于不接地导体球附近的场图,下页,上页,讨论,2.点电荷q对带有电荷Q的金属球的镜像。,下页,上页,边值问题,思路,导体球外（除q点）空间：,+Q,讨论,下页,上页,3.点电荷q对带有电压U0的金属球的镜像。,边值问题,思路,导体球外（除q点）空间：,+Q,讨论,下页,上页,4.点电荷q在不带电的金属球壳内的镜像。,边值问题,思路,导体球内（除q点）空间：,讨论,下页,上页,5.求图示问题的镜像电荷的位置和大小。,边值问题,思路,上半空间（除q点）：,-q,-q,+q,讨论,下页,上页,6.求图示问题的镜像电荷的位置和大小。,边值问题,思路,上半空间（除q点）：,破坏了

5、边值问题,无限大接地导板,讨论,下页,上页,6.求图示问题的镜像电荷的位置和大小。,边值问题,思路,左半空间（除带电球）：,q,-q,q,q,-q,-q,Q=q+q+q+,3.点电荷对不同介质分界面的镜像,下页,上页,边值问题,上半空间（除q点）：,下半空间：,分界面：,解得,下页,上页,保证方程不变,边界条件：,电场分布图,1中的电场由q与q共同产生，q等效替代极化电荷的影响。,2中的电场由q”决定，q”等效替代自由电荷与极化电荷的作用。,注意,下页,上页,4.电轴法（ElectricAxisMethod）,问题,下页,上页,长直平行双传输线,在传输线系统中，导线之间的静电感应作用使导线表面

6、的电荷分布不均匀，直接求解电场分布很困难。,边值问题,导线以外的空间,下页,上页,应用镜像法求解,镜像电荷,长直带电细导线替代感应电荷的作用,镜像电荷的位置,电轴法,两根细导线产生的电位,下页,上页,细导线产生的电场,以y轴为参考电位,令：常数，等位线方程,下页,上页,返回,圆的方程,K取不同值时，得到一族等电位圆。,圆心坐标,圆半径,下页,上页,返回,右半平面。,左半平面。,a、h、b满足关系,圆心坐标,圆半径,下页,上页,返回,(以y轴为参考电位),例,b)圆柱导线间的电场与电位,解,a)计算电轴位置,下页,上页,返回,试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。,E线方程,下页,上页,返回

7、,讨论,若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？,若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。,下页,上页,返回,小结,电轴法的理论基础是场的唯一性定理；,电轴法的实质是用电轴上的线电荷替代圆柱上的不均匀分布电荷的作用；,电轴法用以解决一系列平行圆柱的电场,注意有效区域及电位的参考点,试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。,下页,上页,返回,例,解,试确定图示偏心电缆的电轴位置。,下页,上页,返回,例,解,已知平行传输线之间电压为U0,试求电位分布。,设电轴线电荷，任一点电位,下页,上页,返回,例,解,计算电轴位置,1.两导体的电容,CapacitanceandDistribu

8、tedCapacitance,1.8电容和部分电容,定义：,单位：,下页,上页,返回,线性系统中，带有等量异号电荷的两导体，其电位差与电荷成正比，这个比值系数定义为两导体的电容。,电力电容,下页,上页,返回,电力电容,下页,上页,返回,2.两导体电容的计算,电容的计算是电场的计算,给出了计算电容的方式：,设,下页,上页,返回,说明,或设,忽略边缘效应,试求平板电容器的电容。,下页,上页,返回,例,解,试求长圆柱形电容器的电容。,例,解,设内导体的电荷密度为，则,设内导体的电荷为q，则,同心球壳间的电压,球形电容器的电容,试求同心球壳电容器的电容。,下页,上页,返回,同心球壳电容器,例,解,1）

9、当时,孤立导体球的电容,下页,上页,返回,讨论,2）当时,平板电容器的电容,设da，电轴与几何轴线重合,试求两线传输线之间的电容。,下页,上页,返回,例,解,注意,电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。,3.部分（分布）电容（DistributedCapacitance),三导体静电独立系统,下页,上页,返回,对于多导体系统，每两个导体上的电压受到所有导体上电荷的影响，这时系统中导体电荷与导体电压的关系不能仅用一个电容来表示而需引入部分电容的概念。,多导体系统,静电独立系统,线性系统,讨论前提,下页,上页,返回,N个导体的系统，各导体的电位,电位系数,电位系数,下页,上页,返回,

10、矩阵形式,ai,i自有电位系数，表明导体i上电荷对自身电位的贡献,ai,j互有电位系数，表示导体j上的电荷对导体i电位的贡献,电位系数的计算,下页,上页,返回,电位系数性质,电位系数均为正数；,电位系数仅于导体的几何形状、相互位置及介质分布有关；,电位系数满足互易性；,自有电位系数大于互有电位系数；,下页,上页,返回,bi,i自有感应系数，表示导体i电位对自身电荷的贡献,bi,j互有感应系数，表示导体j电位对导体i电荷的贡献,感应系数,感应系数,下页,上页,返回,感应系数的计算,自感应系数为正数；因i与qi同号,感应系数仅于导体的几何形状、相互位置及介质分布有关,且满足互易性；,互感应系数总是

11、负值，因+总是在其他导体上产生负电荷；,自有感应系数大于与其相关的互有感应系数绝对值；,感应系数性质,下页,上页,返回,下页,上页,返回,部分电容,矩阵形式,部分电容的性质,静电独立系统中n1个导体有个部分电容,下页,上页,返回,部分电容均为正值；,部分电容的计算,所有导体与i导体等位,除j导体，其余导体电位为零,部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连；,部分电容可将场的概念与电路结合起来。,下页,上页,返回,部分电容与电容网络,结论,试计算考虑大地影响时，两线传输线的部分电容及等效电容。已知da,且ah。,部分电容个数,由对称性，得,下页,上页,返回,例,解,利用镜像法，两导体的电

12、位,下页,上页,返回,两线输电线对大地的镜像,联立解得,两线间的等效电容：,下页,上页,返回,所以,静电屏蔽在工程上有广泛应用。,静电屏蔽,三导体系统的方程为：,4.静电屏蔽,当时，,说明1号与2号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。,下页,上页,返回,1.9静电能量与力,1.静电能量(ElectrostaticEnergy),ElectrostaticEnergyandForce,用场源表示静电能量,下页,上页,返回,电磁场是一种特殊形式的物质，能量是物质的属性之一。电场能量是在建立电场过程中从与各导体相连接的电源中取得的，因此电场储能是外力做功形成的。,讨论前提,线性系统；,电场建立无限缓

13、慢，忽略能量的辐射；,没有动能，只考虑位能。,下页,上页,返回,设,将dq电荷移至电场中外源做功,推广2：若是带电导体系统，静电能量为,推广1：若是连续分布的电荷，,下页,上页,返回,注意,上式建立在静电场是位场的基础上，只适用于静电场。,推广3：若是n个点电荷的系统，静电能量为,下页,上页,返回,只含互有能,固有能和相互作用能,固有能,把某一区域的电荷从无穷远聚拢到给定分布所需的功。,互有能,把各区域的电荷放置到各自给定位置所需的功。,设空间有两个电荷分布区,下页,上页,返回,说明要把一定量的电荷压缩到几何上的一个点需要克服无穷大的斥力，需要作无穷大的功。同理，线电荷的固有能也为无穷大。对点

14、、线电荷只研究互有能。,点电荷q,当,半径为a的球面带电荷Q，球心放一点电荷q，求静电能量。,球面电荷的固有能,下页,上页,返回,例,解,Q在球面产生的电位,Q在球心建立的电位,q在球面产生的电位,把点电荷从移至球面电荷中心所需作的功,下页,上页,返回,用场量表示静电能量,矢量衡等式,若用公式计算,定义能量密度,下页,上页,返回,各向同性均匀媒质,适用于静电场和时变场,因当时，面积分为零，故,半径为a的球面带面电荷Q，球心放一点电荷q，求静电能量。,下页,上页,返回,例,解,点电荷的固有能,下页,上页,返回,试求平板电容器的静电能量。,例,平行板电容器,解,带电导体系统,电容能量的计算式,试求

15、真空中体电荷密度为的介质球产生的静电能量。,由场量求静电能量,下页,上页,返回,例,解一,由场源求静电能量,球内任一点的电位,下页,上页,返回,解二,原子可看成由带正电荷q的原子核被体电荷分布的负电荷云-q包围，试求原子结合能。,前例中当时,下页,上页,返回,原子结构模型,例,解,2.静电力(ElectrostaticForce),下页,上页,返回,1）根据电场定义计算静电力,注意上式使用的条件,只适用于均匀介质,式中的电场E不包括dq本身的贡献,矢量积分,多导体系统(K打开),虚位移法,下页,上页,返回,2）根据电场能量计算静电力,在多导体系统中，导体p发生位移dg后,系统发生的功能过程为：

16、,外源提供能量=静电能量增量+电场力所作功,常电荷系统（K打开）,取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。,下页,上页,返回,表明,常电位系统（K闭合）,多导体系统(K闭合),p,外源提供能量的增量,外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。,下页,上页,返回,表明,注意,dg广义坐标：距离、面积、体积、角度。,广义力广义坐标=功,f广义力：企图改变某一个广义坐标的力。,下页,上页,返回,满足,对应关系：,广义力是代数量，根据f的“”号判断力的方向。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。,常电位系统,试求图示平行板电容器两极板间的电场力。,平行板电容器,取d为广

17、义坐标（相对位置坐标）,负号表示电场力的方向企图使广义坐标d减小，即电容增大。,下页,上页,返回,例,解一,常电荷系统,当满足所设条件，两种计算结果相同,下页,上页,返回,解二,图示一球形薄膜带电表面，半径为a，其上带电荷为q，试求薄膜单位面积所受的电场力。,取体积为广义坐标,f的方向是广义坐标V增加的方向，表现为膨胀力。,N/m2,下页,上页,返回,球形薄膜,例,解,下页,上页,返回,根据库仑定律，点电荷q处的电场,应用虚位移法,图示为半径为R、接电压U0的导体球位于点电荷q的电场中，试求导体球所受的电场力。,应用镜像法,例,解,Q,下页,上页,返回,沿广义坐标增大的方向,设为常电荷系统,设

18、为常电位系统,虚位移法的结果不正确，因为系统不属于常电位系统，也不是常电荷系统。,3）根据法拉第观点计算静电力（Faradesreview）,法拉第认为，在场中沿通量线作一通量管，沿其轴向受到电场的纵张力，垂直于轴线方向受到侧压力，纵张力和侧压力大小相等，为：,下页,上页,返回,电位移管受力情况,物体受力情况,下页,上页,返回,如平板电容器极板受力大小：,极板单位面积受力大小：,应用法拉第对电场清晰和形象化的描述可以定性的分析判断带电系统受力情况,法拉第观点的作用,下页,上页,返回,应用法拉第观点可以对一些电场力问题进行定量的计算。,计算平板电容器中介质分界面上的压强。,图(a),若，则力由指向。,下页,上页,返回,例,解,图(b),分界面受力总是从大的介质指向小的介质。,若，则力由指向。,(b),