第2章平面体系的几何组成分析

1、结构力学,欢迎使用,工程力学系多媒体教学课件系列,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,第2章,平面体系的几何组成分析,2.1几何组成分析的目的,2.2基本概念,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,2.4几何组成分析的步骤和举例,2.5体系的几何组成和静力特性之间的关系,水利土木工程学院结构力学课程组,2.6空间杆件体系的几何构造分析,水利土木工程学院结构力学课程组,理解、掌握几何不变体系、几何可变体系的概念和平面体系几何组成分析的目的。,理解、掌握自由度、约束、多余约束的概念，理解常见约束对自由度的作用，掌握平面体系计算自由度的计算公式，会计算常见平面体系的计算自

2、由度。,理解、掌握无多余约束几何不变体系的组成规则及其适用条件，掌握复杂平面体系几何组成分析的方法。,理解平面体系的几何组成和静力特性之间的关系，了解空间杆系的几何构造分析。,教学基本要求：,第2章,平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,重点：,难点：,平面杆系几何组成的两种类型及分析目的。,自由度的概念及平面杆系结构计算自由度的计算。,无多余约束几何不变体系的组成规则及其适用条件。平面杆系几何组成分析的方法。,单铰、复铰、实铰、虚铰、瞬铰、无穷铰的区别。,如何准确计算平面杆系结构的计算自由度，计算自由度和实际自由度的关系。,如何正确分析平面杆系结构的几何属性。,第2章,平面

3、体系的几何组成分析,2.1几何组成分析的目的,2.2基本概念,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,2.4几何组成分析的步骤和举例,2.5体系的几何组成和静力特性之间的关系,水利土木工程学院结构力学课程组,2.6空间杆件体系的几何构造分析,第2章,平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,一、几何不变体系与几何可变体系,在任意荷载作用下，体系的几何形状和位置都不会改变。,在任意荷载作用下，无论荷载多么小，体系的几何位置都有可能改变。,在任意荷载作用下，无论荷载多么小，体系的几何形状都有可能改变。,2.1几何组成分析的目的,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课

4、程组,一、几何不变体系与几何可变体系,几何可变体系：不考虑材料的弹性变形，尽管结构受到很小的作用力，其几何形状或位置都可能改变。,几何不变体系：不考虑材料的弹性变形，结构在任意荷载作用下，其几何形状和位置都不能改变。,几何可变体系不能作为建筑结构,结构必须是几何不变体系,2.1几何组成分析的目的,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,2.1几何组成分析的目的,第2章平面体系的几何组成分析,二、几何组成分析的目的,区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。,判断已知体系是否为几何不变体系，确定能否作为结构。,如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。,一个结构的几何属

5、性只与结构的几何组成有关，而与结构所受荷载无关。,三、几何组成分析时的注意点,由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚体。,2.1几何组成分析的目的,2.2基本概念,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,2.4几何组成分析的步骤和举例,2.5体系的几何组成和静力特性之间的关系,水利土木工程学院结构力学课程组,2.6空间杆件体系的几何构造分析,第2章,平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,刚片是指可以看成是几何形状不变体系(刚体)的物体，可以是一根杆、由若干根杆组成的结构或支撑整体的基础。,一、刚片,二、自由度的概念,大

6、家知道，人身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由度顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内一点的自由程度、一刚体的自由程度,杆系结构是由结点和杆件构成的，可以抽象为点和线。分析一个体系的运动，必须先研究点和线的运动。,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,二、自由度的概念,自由度：确定体系位置所需的独立坐标个数。,在平面内运动完全不受限制的一个点有个自由度。,在平面内运动完全不受限制的一个刚片有个自由度。,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,体系有自由度，就不能承受荷载，因此就应想办法减少其自由度。当对

7、体系添加了某些装置后，限制了体系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少，就说这些装置是加在体系上的约束。约束，是能减少体系自由度数的装置。能减少几个自由度就称为几个约束。,三、约束概念,自由度：2,自由度：1,自由度：0,一个刚片有3个自由度，加上相应约束后，其自由度可为：,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,四、几种常见约束及其作用,1、链杆,2、单铰,一个单铰相当于两个约束，可以减少二个自由度。,两个不共线的链杆相当于一个单铰。,链杆是指两端用铰与其它物体相连的刚片，可以是直杆、折杆、曲杆。,一个链杆相当于一个约束，可以减少一个自由度。,单铰是

8、指连接两个刚片的铰。,=,自由度：2,自由度：1,四、几种常见约束及其作用,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,四、几种常见约束及其作用,2、单铰,A、B、C,O1、O2,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,四、几种常见约束及其作用,2、单铰,虚铰与瞬铰的关系？,P,O,瞬铰与无穷铰的关系？,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,I,III,II,O是虚铰吗？,不是,图示结构有几个单铰？,2个,四、几种常见约束及其作用,2、单铰,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分

9、析,水利土木工程学院结构力学课程组,3、复铰,连接n个刚片的复铰，相当于(n-1)个单铰，能减少2(n-1)个自由度。,连接的刚片数n减少的自由度数m,22,34,46,58,m=(n-1)2,四、几种常见约束及其作用,复铰是指连接三个或三个以上刚片的铰。,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,固定端相当于三个约束，可以减少三个自由度。一个单刚结点相当于三个约束，能减少三个自由度。,5、定向支座,同理：连接n个刚片的复刚结点，相当于(n-1)个单刚结点，能减少3(n-1)个自由度。,四、几种常见约束及其作用,4、固定端,定向支座，也称作平行支链杆。可以减

10、少二个自由度。,自由度：1,自由度：0,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,五、多余约束,材料力学中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束的概念。,在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因此而减少或增加，则该约束称为多余约束。,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,六、体系的计算自由度,对于简单结构可以直观的看出其自由度是多少，但对于比较复杂的结构，其自由度是很难直观判断出的，需经过计算才能确定。计算自由度的计算公式为：,w=各刚片的自

11、由度总和-全部约束数,如果用m表示体系中的刚片数(基础不计入，因刚片的自由度是相对于基础定义的)，则各刚片的自由度总数为3m。g为单刚结点数，h为单铰数，r为支座链杆数(注意：固定铰支座相当于两根链杆，固定端支座相当于三根链杆)，全部约束数为(3g+2h+r)，由此得到平面体系的计算自由度的计算公式为：,w=3m-3g-2h-r,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,w=31=3,w=3221=4,w=3322=5,w=34(24)3=,w37(29)3,1,1,1,1,1,2,2,m=4,h=4,r=3,m=7,h=9,r=3,六、体系的计算自由度,2

12、.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,六、体系的计算自由度,当体系完全是由二力杆组成时(如桁架结构)，若用j表示铰结点数，则结点的自由度总和为2j。b为二力杆件数，r为支座链杆数，二力杆和支座链杆的总数为b+r，因此体系的计算自由度为：,w=2j-b-r,w=2443=,j=4,b=4,j=8,b=12,w=28124=0,r=3,r=4,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-1】计算图示体系的自由度。,3,2,3,1,1,有几个刚片？,w=38-(210+4)=0,有几个单铰？,【解】,有几个复铰？,有几个

13、半铰？,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-2】计算图示体系的自由度。,【解】,3,3,2,1,1,2,w=26-12=0,按铰结计算,6个铰结点,12根单链杆,方法一,方法二,w=39-(212+3)=0,按刚片计算,9根杆，9个刚片,几个单铰？,3根单链杆,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-3】计算图示体系的自由度。,【解】,注意,能否用桁架公式？,刚片数？,单铰数？,不能,8或4,4,w=3m-3g-2h-r=38-34-24-6=-2,w=3m-3g-2h-r=34-24-6=-2,一

14、般不用,常用,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-4】计算图示体系的计算自由度并作几何组成分析。,有三个多余约束的几何不变体系。,【解】,w=133=0,w=43433=-3,错,w=33333=-3,w=23233=-3,当杆系结构中有封闭圈时，一定要用!,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,w=0，有一个多余约束的几何可变体系,w=0，无多余约束的几何不变体系,w=-1，有一个多余约束的几何不变体系,w=-1，有2个多余约束的几何可变体系,w=1，几何可变体系,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组

15、成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,从以上的分析可以看出以下两点：,第一点：计算自由度和体系几何属性的关系,w0，表明体系有多余约束，但不能保证体系一定是几何不变体系。,w0，表明体系缺少足够的约束，体系是几何可变的。,w=0，表明体系具有保证几何不变所需的最少约束数。若无多余约束，则为几何不变体系，否则为几何可变体系。,重要结论：,w0是保证体系几何不变的必要条件，而不是充分条件。,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,从以上的分析可以看出以下两点：,第二点：计算自由度w和体系实际自由度s的关系：,sws-w=nn-w,体系的计算自由度w只能表明体

16、系在维持几何不变方面所必须的约束数与实际的约束数之间的关系，并不一定代表体系的实际自由度。体系的实际自由度s为：,s=各刚片的自由度总和非多余约束数,由于体系的实际自由度s、多余约束数n都不是负数，即有s0，n0，因此可以得出下列式子：,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,2.2基本概念,第2章平面体系的几何组成分析,w=0，有一个多余约束的几何可变体系,w=0，无多余约束的几何不变体系,w=-1，有一个多余约束的几何不变体系,w=-1，有2个多余约束的几何可变体系,w=1，几何可变体系,s=1,s=0,s=1,s=0,s=1,2.1几何组成分析的目的

17、,2.2基本概念,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,2.4几何组成分析的步骤和举例,2.5体系的几何组成和静力特性之间的关系,水利土木工程学院结构力学课程组,2.6空间杆件体系的几何构造分析,第2章,平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,从以上分析可知，当体系的自由度w0时，体系的几何属性还与约束的布置形式有关，约束应如何布置构成的体系为几何不变体系，这就是平面几何不变体系的组成规则。,两刚片规则三刚片规则二元体规则,主要有以下三个规则：,两个本身无多余约束的刚片，用一个铰和一个不通过铰心的支链杆相连，则组成的体系是几何不变体系且无多余约束。,规则一：两刚片规则,第2章

18、平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,水利土木工程学院结构力学课程组,规则一：两刚片规则,几何不变，且无多余约束,几何可变，支链杆通过铰,几何不变，且有一个多余约束,第2章平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,水利土木工程学院结构力学课程组,几何不变，且无多余约束,几何瞬变，但无多余约束。,瞬变体系：如果一个几何可变体系经微小位移以后，成为几何不变体系，则该体系称为瞬变体系。,第2章平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,水利土木工程学院结构力学课程组,三杆平行且不等长,三杆平行且等长,几何常变体系,即产生微小位移后，

19、三杆不平行，为瞬变体系。,结论：两个本身无多余约束的刚片，用既不相互平行(延长线）又不相交于一点的三根支链杆相连，则组成的体系是几何不变体系且无多余约束。,第2章平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,水利土木工程学院结构力学课程组,规则二：三刚片规则,三个本身无多余约束的刚片，用不在一条直线上的三个铰两两相连，则组成的体系是几何不变体系且无多余约束。,无多余约束的几何不变体系,瞬变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,水利土木工程学院结构力学课程组,规则二：三刚片规则,三个本身无多余约束的刚片，用六根链杆两两相连，则组成的体系是几

20、何不变体系且无多余约束。,无多余约束几何不变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,水利土木工程学院结构力学课程组,规则三：二元体规则,二元体：用两根不共线的链杆固定一个新点的装置。,在一个体系上，增加或去掉二元体，体系几何组成不变。,第2章平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-5】试用二元体规则分析下列各体系的几何组成。,(a),第2章平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-5】试用二元体规则分析下列各体系的几何组成。,(a),

21、【解】,第2章平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-5】试用二元体规则分析下列各体系的几何组成。,【解】,第2章平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,水利土木工程学院结构力学课程组,利用组成规律可以两种方式构造一般的结构：,从基础出发构造,从内部刚片出发构造,第2章平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,水利土木工程学院结构力学课程组,第2章平面体系的几何组成分析,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,这三条规则实际上是相通的，其区别仅仅在于把体系中的哪些部分看作具有自由度的刚

22、片，哪些部分看作限制刚片运动的约束。三条规则的限制条件就是A、B、C三点不能在一条直线上，即A、B、C三点连线应构成一个三角形。,规则一：两刚片规则两个本身无多余约束的刚片，用一个铰和一个不通过铰心的支链杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系。,规则二：三刚片规则三个本身无多余约束的刚片，用不在一条直线上的三个铰两两相连，则组成无多余约束的几何不变体系。,规则三：二元体规则在一个体系上，增加或去掉二元体，体系几何组成不变。,2.1几何组成分析的目的,2.2基本概念,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,2.4几何组成分析的步骤和举例,2.5体系的几何组成和静力特性之间的关系,水利土木工程学院

23、结构力学课程组,2.6空间杆件体系的几何构造分析,第2章,平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,有了体系自由度的计算公式，再加上几何组成分析规则，我们就可以确定任意杆系的几何属性。,简单体系可以直接利用规则进行分析；,利用三个规则进行分析时，可选择一个杆件或几个构件组成的无多余约束部分为刚片，尽量使体系简化；,体系几何组成分析的基本方法和要点如下：,对于复杂体系应先计算自由度，根据自由度的大小，再根据三个规则进行分析；,铰结体系的三角形规律是几何组成分析的核心。,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-6】试分析图

24、示体系的几何组成。,该体系为无多余约束的几何不变体系。,【解】,方法1:若基础与系统三杆相连，去掉基础只分析系统本身。,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-7】试分析图示体系的几何组成。,【解】,方法2:利用规则三将小刚片变成大刚片，扩大刚片范围，减少刚片数。,该体系为无多余约束的几何不变体系。,将小刚片变成大刚片,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-8】试分析图示体系的几何组成。,【解】,方法3:将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。,将体系看作刚片I和刚片

25、II用三根汇交于一点的链杆相连，如图所示。所以该体系为瞬变体系。,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-9】试分析图示体系的几何组成。,【解】,该体系为常变体系。,方法4:去掉暴露在最外边的二元体，使结构简化。,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-10】试分析图示体系的几何组成。,【解】,该体系为无多余约束的几何不变体系。,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-11】试分析图示体系的几何组成。,【解】,

26、瞬变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-12】试分析图示体系的几何组成。,【解】,(a),(b),(c),一个多余约束几何不变体系,无多余约束几何不变体系,无多余约束几何不变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-13】试分析图示体系的几何组成。,【解】,无多余约束几何不变体系,无多余约束几何不变体系,(a),(b),第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,III,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-14】试分析图示体系的几何组成

27、。,【解】,(1,2),(2,3),I,III,II,I,II,(1,2),(2,3),I,II,III,(1,2),(2,3),II,I,III,(1,2),(2,3),I,III,II,(2,3),(1,2),(1,3),几何瞬变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-15】试分析图示体系的几何组成。,【解】,行吗？,应如何选择刚片和虚铰？,I,III,II,II,I,III,O12、O13、O23三铰不共线，组成无多余约束的几何不变体系。,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构

28、力学课程组,【例2-16】试分析图示体系的几何组成。,II,I,III,(1,2),(1,3),(2,3),I,II,III,(1,3),(1,2),(2,3),【解】,几何瞬变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-17】试分析图示体系的几何组成。,【解】,(1,3),(1,2),(2,3),无多余约束几何不变体系,无多余约束几何不变体系,(a),(b),第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-18】试分析图示体系的几何组成。,【解】,I,II,(2,3),(1,

29、3),(1,2),无多余约束几何不变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-19】试分析图示体系的几何组成。,【解】,几何可变体系(缺二个约束),(a),(b),有一个多余约束几何不变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-20】试分析图示体系的几何组成。,【解】,无多余约束几何不变体系,一个多余约束几何不变体系,(a),(b),第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-21】试分析图示体系的几何组成

30、。,【解】,有4个多余约束几何不变体系,有4个多余约束几何不变体系,(a),(b),第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-22】试分析图示体系的几何组成。,【解】,无多余约束几何不变体系,(a),(b),几何瞬变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-23】试分析图示体系的几何组成。,【解】,有1个多余约束几何不变体系,(a),(b),无多余约束几何不变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,【例2-24

31、】试分析图示体系的几何组成。,【解】,几何瞬变体系,几何瞬变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,关于三刚片虚铰在无穷远处的讨论,(a)一铰在无穷远处,几何不变体系,O13O23与1杆不平行,O13,O23,O13O23与1杆平行,几何瞬变体系,1、2杆与III平行且长度相等,几何常变体系,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,关于三刚片虚铰在无穷远处的讨论,(b)两铰在无穷远处,四杆不全平行,四杆全平行不等长,四杆全平行等长,几何不变体系,几何瞬变体系,几何常变体系,第2章平

32、面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,水利土木工程学院结构力学课程组,第2章平面体系的几何组成分析,2.4几何组成分析的步骤和举例,【例2-25】试分析图示体系的几何组成。,【解】,(2,3),(1,3),(1,2),几何不变体系,I,II,III,I,II,III,(2,3),(1,3),(1,2),几何瞬变体系,(a),(b),2.1几何组成分析的目的,2.2基本概念,2.3无多余约束几何不变体系的组成规则,2.4几何组成分析的步骤和举例,2.5体系的几何组成和静力特性之间的关系,水利土木工程学院结构力学课程组,2.6空间杆件体系的几何构造分析,第2章,平面体系的几何组成分析,水利土木工程学院结构力学课程组,第2章平面体系的几何组成分析,2.5体系的几何组成和静力特性之间的关系,体系,有多余联系,无多余联系,可作为结构,不可作结构,静力平衡方程无解,反力和内力无穷大或不确定,全部反力和内力可由