数学文科第1部分 集合与逻辑用语(系统复习 共9部分)

1、集合与常用逻辑用语必修1 第一章 集合【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.（4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：|具有的性质，其中为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1

2、.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)若且，则(4)若且，则或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不属于A（1）（A为非空子集）(2)若且，则集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3） 并集或（1）（2）（3） 补集1 2 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的

3、解法不等式解集或把看成一个整体，化成，型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根（其中无实根的解集或的解集选修1-1 第一章 常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.3、原命题：“若，则” 逆命题： “若，则” 否命题：“若，则” 逆否命题：“若，则”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系5、若，则是的充分条件，是的必要条件若，

4、则是的充要条件（充分必要条件）利用集合间的包含关系： 例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；6、逻辑联结词：且(and) ：命题形式；或（or）：命题形式；非（not）：命题形式.真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真7、全称量词“所有的”、“任意一个”等，用“”表示； 全称命题p：； 全称命题p的否定p：。存在量词“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示； 特称命题p：； 特称命题p的否定p：；集合例1 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来；(2)设集合A(x，y)|xy6，xN，yN，试用列举法表示集合A；分析 (

5、1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10； (2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)解 (1)0，2，4，6，8，10；用描述法表示为不超过10的非负偶数，或|x|x2n，nN，n6(2)A(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)说明：注意(2)中集合A的元素是点的坐标例2 试用适当的方式表示：被3整除余1的自然数集合分析 被3整除余1的自然数可以表示为3n1(n为自然数)解 集合可以表示为x|x3n1，nN说明：虽然这一集合是无限集，但也可以用列举法来表示：1，4，7，3n1，

6、A2个元素B3个元素C4个元素D5个元素分析 当x等于零时只有一个元素，当x不等于零时有两个元素答 A说明：问题转化为对具有相同结果的不同表达式的识别例4 下列四个集合中，表示空集的是 A0B(x，y)|y2x2，xR，yRDx|2x23x20，xN分析 0是含有元素0蹬集合(x，y)|y2x2，xR，y程2x23x20的解是0.5和2，但都不是自然数答 选D说明：注意集合元素的限制条件可能取的值组成的集合是 A3B3，2，1C3，1，1D3，1分析 根据两个字母的符号分类讨论答 选D说明：本题考查的是实数的符号运算、绝对值等子集、全集、补集_分析 A中必含有元素a，b，又A是a，b，c，d真

7、子集，所以满足条件的A有：a，b，a，b，ca，b，d答 共3个说明：必须考虑A中元素受到的所有约束 分析 作出4图形答 选C说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便 例5 设集合Ax|x54aa2，aR，By|y4b24b2，bR，则下列关系式中正确的是 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x54aa2(2a)211，y4b24b2(2b1)211，所以它们的值域是相同的，因此AB答 选AM与P的关系是 AMUPBMP分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：MUNU(UP)P；三是利用画图的方法答 选B说明：一题多解可以锻炼发散思维例7

8、 下列命题中正确的是 AU(UA)A分析 D选择项中AB似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素AB答 选D说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意例8 已知集合A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C分析 逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7答 C4或7或4，7说明：逆向思维能力在解题中起重要作用例9 设S

9、1，2，3，4，且MxS|x25xp0，若SM1，4，则p_分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于SM1，4，M2，3则由韦达定理可解答 p236说明：集合问题常常与方程问题相结合例10 已知集合S2，3，a22a3，A|a1|，2，SAa3，求a的值S这个集合是集合A与集合SA的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用解 由补集概念及集合中元素互异性知a应满足在(1)中，由得a0依次代入检验，不合，故舍去在(2)中，由得a3，a2，分别代入检验，a3不合，故舍去，a2能满足故a2符合题意说明：分类要做到不重不漏 AMNDM与N没有

10、相同元素分析 分别令k，1，0，1，2，3，得答 选C说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性交集、并集例1 已知My|yx21，xR，Ny|yx21，xR则MN是 A0，1B(0，1)C1D以上均不对分析 先考虑相关函数的值域解 My|y1，Ny|y1，在数轴上易得MN1选C取值范围是 Am4Bm4C0m4D0m4可得0m4答 选D例3 设集合Ax|5x1，Bx|x2，则AB Ax|5x1Bx|5x2Cx|x1Dx|x2分析 画数轴表示B)答 选D说明：集合运算借助数轴是常用技巧例4 集合A(x，y)|xy0，B(x，y)|xy2，则AB_分析 AB即为两条直线xy0与xy

11、2的交点集合所以AB(1，1)说明：做题之前要搞清楚集合的元素是什么B)；为 A1B2C3D4分析 根据交集、并集的定义，是错误的推理答 选C例6 已知全集UR，Ax|4x2，Bx|1x_号的值解 观察数轴得，ABx|1x2，AB(UP)x|0x2例7 设 AxR|f(x)0，BxR|g(x)0， ACA(UR)BCA(UB)CCABDC(UA)B分析 依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归xR|f(x)0且g(x)0xR|f(x)0xR|g(x)0A(UB)答 选B说明：本题把分式的意义与集合相结合例8 集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合AB含有3个元素，则集合AB有_个元素分

12、析 一种方法，由集合AB含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合AB的元素个数为108315另一种方法，画图110观察可得答 填15例9 已知全集Ux|x取不大于30的质数，A，B是U的两个子集，且A(UB)5，13，23，(UA)B11，19，29，(UA)(UB)3，7求A，B分析 由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图111直观地求解解 U2，3，5，7，11，13，17，19，23，29用图形表示出A(UB)，(UA)B及(UA)(UB)得U(AB)3，7，AB2，17，所以A2，5，13，17，23，B2，11，17，19，29说明：对于比较复杂的集

13、合运算，可借助图形例10 设Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，若ABB，求a的值需要对A的子集进行分类讨论设0B，则a210，a1，当a1时，B0符合题意；当a1时，B0，4也符合题意设4B，则a1或a7，当a7时，B4，12不符合题意1综上所述，a的取值范围是a1或a1含绝对值的不等式解法例1 不等式|83x|0的解集是 答 选C例2 已知集合Ax|2|62x|5，xN，求A分析 转化为解绝对值不等式解 2|62x|5可化为2|2x6|5因为xN，所以A0，1，5说明：注意元素的限制条件例3 实数a，b满足ab0，那么 A|ab|a|b|B|ab|ab|C|ab|ab|D|a

14、b|a|b|分析 根据符号法则及绝对值的意义解 a、b异号， |ab|ab|答 选C例4 设不等式|xa|b的解集为x|1x2，则a，b的值为 Aa1，b3Ba1，b3Ca1，b3分析 解不等式后比较区间的端点解 由题意知，b0，原不等式的解集为x|abxab，由于解集又为x|1x2所以比较可得答 选D说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组例5 解关于x的不等式|2x1|2m1(mR)分析 分类讨论xmx|1mxm说明：分类讨论时要预先确定分类的标准例6 解不等式|2x1|2x3|分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝之，则更显得流畅，简捷解 原不等式同解于(2

15、x1)2(2x3)2，即4x24x14x212x9，即8x8，得x1所以原不等式的解集为x|x1说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x1|2x3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x2即x1例7 解不等式|x5|2x3|1分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分(x5)(2x3)1，得x7，所以x7；(x5)(2x3)1，当x5时，原不等式可化为x5(2x3)1，解之得x9，所以x5说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母解 注意到分母|x|20，

16、所以原不等式转化为2(3|x|)|x|2，整理得说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便例9 解不等式|x1|2x分析一 对2x的取值分类讨论解之解法一 原不等式等价于：由得x2分析二 利用绝对值的定义对|x1|进行分类讨论解之解法二 因为原不等式等价于： 一元二次不等式解法 例2 (2001年全国高考题)不等式|x23x|4的解集是_分析 可转化为(1)x23x4或(2)x23x4两个一元二次不等式答 填x|x1或x4例3 若ax2bx10的解集为x|1x2，则a_，b_分析 根据一元二次不等式的解公式可知，1和2是方程ax2bx10的两个根，考虑韦达定理解 根据题意

17、，1，2应为方程ax2bx10的两根，则由韦达定理知例4 若不等式ax2bxc0的解集为x|x(0)，求cx2bxa0的解集分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知a0，根据韦达定理知：a0，b0，c0 Ax|x0Bx|x1Cx|x1Dx|x1或x0分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分x20，x10，即x1选C说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解 A(x3)(2x)0B0x21D(x3)(2x)0故排除A、C、D，选B两边同减

18、去2得0x21选B说明：注意“零” (a1)x1(x1)0，根据其解集为x|x1或x2答 选C说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧例8 已知集合Ax|x25x40与Bx|x22axa2分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解 易得Ax|1x4设yx22axa2(*)4a24(a2)0，解得1a2说明：二次函数问题可以借助它的图像求解例9 解关于x的不等式(x2)(ax2)0分析 不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论解 1 当a0时，原不等式化为x20其解集为x|x2；4 当a1时，原不等式化为(x2)20，其解集是x|x2；从而可以写出不等式的解集为：a0时，x|

19、x2；a1时，x|x2；说明：讨论时分类要合理，不添不漏四种命题 分析 条件及结论同时否定，位置不变答 选D例2 “若Px|x|1，则0P”的等价命题是_分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题x|x|1”例3 有下列四个命题：“若xy1，则x、y互为倒数”的逆命题；“相似三角形的周长相等”的否命题；“若b1，则方程x22bxb2b0有实根”的逆否命题； ABCD分析 应用相应知识分别验证解 写出相应命题并判定真假“若x，y互为倒数，则xy1”为真命题；“不相似三角形周长不相等”为假命题；“若方程x22bxb2b0没有实根，则b1”为真命题；选C 例4 已知下列三个方程：x24a

20、x4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围分析 如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a范围比较简单说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性分析 如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用反证法解 设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，则有abc0，而(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)2(3) abc0这与abc0矛盾因此a、b、c中至少有一个大于0说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定充分条件与必要条件例1 p是q的充要条件的是 Ap：

21、3x25，q：2x35Bp：a2，b2，q：abCp：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形Dp：a0，q：关于x的方程ax1有惟一解分析 逐个验证命题是否等价解 对Ap：x1，q：x1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对Bpq但qp，p是q的充分非必要条件；对Cpq且qp，p是q的必要非充分条件；说明：当a0时，ax0有无数个解例2 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析 通过B、C作为桥梁联系A、D解 A是B的充分条件，ABD是C成立的必要条件，CD由得AC由得ADD是A成

22、立的必要条件选B说明：要注意利用推出符号的传递性例3 已知真命题“abcd”和“abef”，则“cd”是“ef”的_条件分析 abcd(原命题)，cdab(逆否命题)而abef，cdef即cd是ef的充分条件答 填写“充分”说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法例4 ax22x10至少有一个负实根的充要条件是 A0a1Ba1Ca1D0a1或a0分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之当a1时，方程有负根x1，当a0时，x当a0时综上所述a1即ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法例5 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？分析 画出关系图121，观察求解解 s是q的充要条件；(srq，qs)r是q的充要条件；(rq，qsr)p是q的必要条件；(qsrp)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系