有限个矩阵多项式的恒等式及应用毕业论文

1、本 科 生 毕 业 论 文 有限个矩阵多项式的恒等式及应用陈巧文院 系： 数 学 系 专 业： 数学与应用数学 班 级： 072 学 号： 710401204 指导教师： 杨忠鹏 职称（或学位）： 教授 2011年5月原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文（设计），是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学生签名： 年 月 日 指导声明本人指导的 同学的毕业论文（设计）题目大小

2、、难度适当，且符合该同学所学专业的培养目标的要求。本人在指导过程中，通过网上文献搜索及文献比对等方式，对其毕业论文（设计）内容进行了检查，未发现抄袭现象，特此声明。指导教师签名： 年 月 日目录0引言20.1符号说明20.2研究背景20.2.1多项式矩阵秩的典型结果20.2.2多项式变换上的典型结果41引理52例题63主要定理64应用124.1矩阵多项式在秩上的应用124.2矩阵多项式在变换上的应用155结论17致谢17参考文献18有限个矩阵多项式的恒等式及应用陈巧文（数学与应用数学（师范） 指导教师：杨忠鹏）摘要：本文得到任意有限个矩阵多项式，两两有相同的公因式时,秩的恒等式。不但概括大部分

3、已有文献，而且推广了已有的结果。关键词：矩阵乘积；矩阵多项式；秩的恒等式Abstract: This paper has any limited matrix polynomial ,when Pairwise have the same common factor and d(A) reversible (A belong to Square matrix),we got Matrix polynomials rank identities .this results not only summary most existing literature results but also gen

4、eralize the known results Keywords: Matrix product；Matrix polynomial；Rank identities 0引言0.1符号说明设分别为数学P上阶矩阵和一元多项式矩阵的集合，E为单位矩阵，r（A）表示矩阵A的秩，的最小公倍式记为。0.2研究背景矩阵乘积的秩是一个历史悠久的课题。1884年与1991年由Sylvester与Frobenius分别给出矩阵乘积秩的不等式被称为基本不等式见1-2。Sylvester不等式 Frobenius不等式 一个世纪多以来很多数学家研究了Sylvester不等式和Frobenius不等式成立的条件，其

5、中影响最大的是1952年Roth3、1974年Marsaglia和Styan1给出等式成立的充要条件。2002年Y Tian和Styan应用Frobenius4不等式成立的充要条件，得到幂等矩阵的很多秩等式。此后，不少学者继续研究矩阵秩的问题。一些学者将矩阵秩与多项式结合在一起，其中，李书超，蒋君，向世斌，徐树立在2004年提出的猜想5：设当满足适当的条件。激起人们研究这一问题的热情，此后，得到不少好的结果6-20。矩阵多项式秩的恒等式，大大方便人们解决矩阵秩的问题。因为之前的学者们大多数是经过初等变换的方法得到矩阵秩的问题。若根据矩阵多项式秩的恒等式，则无需经过繁琐的计算过程就可得到相应的结

6、果6-10。下面给出一些典型的结果。0.2.1多项式矩阵秩的典型结果 命题1.1（见6的，见8的推论2）设则命题1.2（见6的，见8的推论2 ，推论8，10的推论4，11的推论1）设则命题1.3(见7推论2）设两两互素，则命题1.4（见6的，8的推论1）命题1.5（见8的定理1，10的推论3）设命题1.5（见9）设则命题1.6（见Error! Reference source not found.定理1、定理2,14推论1、推论2）设命题1.7（11定理1）（i）（ii）0.2.2多项式变换上的典型结果命题2.1（见12定理1）：，且两两互素是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，则1）2）

7、命题2.2（见12推论1）：，且两两互素。令，是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，则1）2）命题2.3(见12推论2)：，且两两互素。令，是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，则1）2）命题2.4（见Error! Reference source not found.引理1）设是数域P上维线性空间V上的一个线性变换，则命题2.5见7定理1）设是数域P上n维线性空间V上的一个线性变换，则的充要条件是，这里表示V上的恒等变换。命题2.6（见7定理2）设是数域P上维线性空间V上的一个线性变换，则，命题2.7（见7定理3）设两两互素，则1引理下面给出本文需用到的一些定理引理1：（见文献10的

8、引理1.1,13的引理1.2，14）四分快矩阵经过有限次分块矩阵的初等变换而的，则。引理2：，若存在则证明: 因为，则存在使得，又因为，即，从而，又因为，所以，证毕。引理3内12：设引理4内12：设引理5：（见Error! Reference source not found.的引理1）：2例题例1：例2：设因此但3主要定理定理1：证明（方法一）证明（方法二）由引理1得两个矩阵多项式的最大公因可逆，不一定是互素（由例一可知）。因此，定理2的条件比命题1.1的条件宽松。定理2：证明：由于，则由引理2知，对由引理5可得又因为，所以 从而由例一可知定理2的条件比命题1.5的条件要宽松，从而应用的范围

9、也较广泛。定理3：证明：由于，则，因此，对任意的正整数有。由命题1得因为，所以定理3是定理2的推广。定理4：设对任意的多项式 满足下列两个条件1） 2） 则证明：因为所以由定理2得 （1） （2）（1）+（2）式得设由于则的最大公因可逆。所以有定理2知 即即从而 定理4的结论在形式上与定理2的结论一样。定理4把一组多项式分成两组，每组两两具有相同的公因式，该条件比定理2 的条件宽松。因为由已知条件和引理2可知（注：不一定互素）。当把再看成一组多项式时，对，因此，定理4是定理2的进一步推广。定理5：设对任意的多项式满足下列两个条件：1） 2）则对任意正整数有证明：:因为所以由定理3得 （1） （

10、2）（1）+（2）式得设由于则的最大公因可逆。所以有定理2知 即即从而定理5是定理4的推广，同时定理5进一步推广了定理3。定理:6设对任意的多项式 满足下列两个条件：1）2）对任意的则对任意正整数有证明：1） 所以由定理3得 （1） （2） （n）（1）+（2）+ +(n)得设则，由定理2知 即从而定理6是定理5的推广。4应用4.1矩阵多项式在秩上的应用。推论4.1.1：证明：令及定理1可得。推论1,1,1推广了命题1.2的结果。推论4.1.2：设，且两两具有相同的公因式，则 证明：因为两两互素，则有定理2得（1）（2）（1）-（2）得即 推论4.1.2是命题1.3的推广。推论4.1.3：不完

11、全互异时，且1）2）有证明：令，若则 ，又因为可逆，所以由定理5可得证。对于文献5中的猜想，很多文献给出互异时结论成立。而对于不是互异时没有相关的结果。推论1.1.3不但推广命题1.4，而且补充证明了文献Error! Reference source not found.的猜想。推论4,1.4：证明：由及定理2可得。推论4.1.5：设 则证明：因为，则存在 因此, 根据引理3和引理4得现证不等式的另一部分当t=2时，由定理2可得因为，于是即综上所述：推论4.1.5推广了命题1.5的结果。命题4.1.1：（见）（1），其中，m、k是任意的自然数。（2）， 其中，m、k是任意的自然数。（3）（4）

12、证明：（1)令则由推论4.1.1得，所以的充要条件是,其中，m、k是任意的自然数。（3）若，则.因此，从而。由命题4.1.1的（1）知，其中，m、k是任意的自然数。同理可得（2）与（4）命题4.1.1是命题1.6和命题1.7的推广。命题4.1.2（见Error! Reference source not found.命题3，11命题10）特别k=s=t=2时，有证明：令是任意的自然数。则两两可逆，由推论4.1.2得，即命题4.1.3（见16定理9）设证明：令，则由推论4.1.1得， 4.2矩阵多项式在变换上的应用。推论4.2.1：设是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，A为在某组基下所对应

13、的矩阵。令则1）2）证明： 由于及定理2可得推论4.2.2：设是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，A为在某组基下所对应的矩阵。令则1）2）证明：由及推论4.2.1得。推论4.2.3：设是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，A为在某组基下所对应的矩阵。令则1）2）证明：由和推论4.2.2可得。推论4.2.1到推论4。2.3是命题2.1到命题2.3的推广。推论4.2.4：设是数域P上维线性空间V上的一个线性变换，A为在某组基下所对应的矩阵。则。证明：由推论4.2.3可得。推论4.2.5设是数域P上n维线性空间V上的一个线性变换，A为在某组基下所对应的矩阵。则的充要条件是。证明：由命题4.

14、1.1可得因此的充要条件是推论4.2.6设是数域P上n维线性空间V上的一个线性变换，A为在某组基下所对应的矩阵。则 证明：由推论4.1.1可得,因此，推论4.2.7设是数域P上n维线性空间V上的一个线性变换，A为在某组基下所对应的矩阵。则证明：根据推论4.1.2知，从而推论4.2.4到推论4.2.7是命题2.4到命题2.7的推广。命题4.2.1 (见10的命题1) 设线性变换的特征多项式为它可以分解成一次因式的乘积：，则V可以分解成不变子空间的直和：证明：令因此，两两互素，再依据推论4.2.3可证。5结论本文探讨任意有限个多项式矩阵两两具有相同的公因式（d（A），且d（A）可逆的条件下，得到的

15、结果与两两互素时的一样，并把改结果应用到矩阵秩和变换的有关问题当中。概括了近几年有关矩阵多项式的研究结果（见1-20） 致谢：感谢我的导师杨忠鹏教授，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；他循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。感谢杨教授，这篇论文的每个结论，都离不开您细心指导。您宽容的态度，帮助我能够很快的完成这篇论文。杨教授不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀。在我生病期间经常询问我的近况，始终关心着我的身体。在此向杨教授致以诚挚的谢意和崇高的敬意。我还要感谢在一起愉快的度过大学四年的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一

16、个的困难和疑惑。特别感谢我的舍友们，是你们和我共同维系着彼此之间姊妹般的感情，维系着寝室那份家的融洽。四年了，仿佛就在昨天。四年了，感谢你们对我学习、生活的关心和帮助。感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。 在论文完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！ 参考文献：1 MARSAGLIAG,STYAN G P H.Equaliies and inequalities foe ranks of matricesJ.Linear and Multiline

17、ar Algebra, 1974( 2):269 2922 FROBENIUS G Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie de Wissenschaften zu Berlin，1911: 20 29，128 1293 ROTH RE.The equations AX-YB=C and AX-XB=C in matrices J.Proc.Amer.Math.Soc.A,1952,3:392-3964TIAN Y，STYAN G PH.When does rank( ABC) = rank( AB) +rank ( BC) r

18、ank ( B) hold J.Internat.J. Math Ed Sci Technol，2002，33: 127 1375 李书超，蒋君，向世斌徐树立一类矩阵秩的恒等式及其推广武汉科技大学学报（自然科学学报）2004年27（3）976 胡付高,曾玉娥,一类矩阵多项式秩的恒等式与应用J;山东大学学报（理学版）2008年,43（8）;52.7 刘琼,吕登峰互素多项式在线性变换下的维数特征 西安文理学院学报（自然科学版）2007年10（2）58-618 徐国进,胡付高,李发来,一类矩阵多项式秩的恒等式J;大学数学, ,2010年,26（2）;127.9 将永泉.互素多项式在矩阵秩中的应用J;徐州师范大学学报（自然科学报,2004年,22（3）;72.10杨忠鹏，林国钦，陈梅香，矩阵多项式秩的和的恒等式及其应用J大学数学，2010,2，26