多元函数求导法则

1、理论和实验课教案主页第17回授课时间2016年12月23日第35回授课方案完成时间2016年12月16日课程名称高等数学教师职务名副教授专业水平药学四年制本科学年2016授课方式理论学时3课程主题(章、节)第七章多元函数及其微分法3 .全微分4 .多元复合函数和隐藏函数的偏微分基本教材，主要参考书相关网站。基本教材： 高等数学，区作林主编，人民卫生出版社，2011年，第5版主要参考书： 医科高等数学，张选群主编，高教出版社，2009年，第二版教育的目标和要求：理解：全微分存在的必要条件和充分条件一次全微分形式的不变性全微分的概念掌握：全微分的求方法复合函数、隐藏函数的偏导数的求方法教育内容和时

2、间分配：复习五分钟的全微分概念五分钟可微分和可微分的关系5分钟全微分的算法和应用25分钟复合函数求导规律(推进和特例的4种) 40分钟一次全微分形式的不变性15分隐函数求导法20分钟总结是五分钟教育重点和难点：要点：全微分的概念复合函数的导出规则隐函数求导法难点：全微分的概念全微分存在的充分条件链法则的理解函数结构图的解析教育方法和手段：教育方法：以讲义式为主，启发式与讨论式相结合，利用形象和实例分析，加深对抽象概念的理解。教育手段：传统的教育手段(板书)和现代的教育手段(多媒体)相结合，提高运算导出过程和每单位时间的授课信息量。教育领袖的审查意见：签名：年月日教室主任审查意见：签名：年月日理

3、论和实验课的后续基本内容教育方法的手段和时间分配复习回顾：一元复合函数求规律第三节全微分及其应用一元函数：可以用点导出二元函数：点中存在的全增量(1)其中有不依赖于(只与点有关)的常数全微分的定义、存在的满足条件如下所示。一、全微分概念定义：式(1)成立时，可以在点进行微分，被称为该点的全微分(total differential )，如下记载(2)二、微可与可导的关系p22定理1 (必要条件)点上全微分的存在(连续)(1)式成立) P223定理2 (充分条件)PS公司一些说明：1)P222定理1是全微分存在的必要条件定理，(1)式成立存在于点上2 )相反地不成立。 相反的例子，请参见分段函数

4、(即，非高阶无限小)3 )相反，什么时候成立这是P223定理2 (充分条件)(偏导连续)4 )在定理2的证明中使用拉格朗日中值定理(P80，(3-1- 2)5 )将自变量的增量称为自变量的微分，通过记作(3)6 )可展开为多变量函数(二项)三、算法/求全微分。(1)(2)(3)求在点四、全微分应用1 .近似计算在例子(P224例4 )中求出的近似值。例如(P224例3 )求出两端封闭已知的金属制桶的底面半径为30厘米，高度为120厘米。 要涂0.02厘米厚的油漆，需要多少油漆？2 .误差估计(自学)上课练习：1 .求下列函数的全微分。(1) (2)。2 .长方形边的长度分别是米、米。 增加5厘

5、米的同时减少10厘米的话，就求出这个矩形对角线的近似变化。第四节多元复合函数和隐函数的求法一、多元复合函数的求导规律(1)复合函数的偏导数定理(P229 )如果存在于1 )点2 )在对应点上，连续地在点上(1)(2)例1、求。例2、求。推进和特殊情况：(1)自变量多于两个，(2)中间变量有两个以上，例3，求。(3)中间变量只有一个，例4、求。(4)自变量只有一个(全导数，total derivative )，(5)一个中间变量，一个参数(4)中)，例5、求。(2)一阶全微分形式的不变性一元函数：二元函数：在这一点上微不足道1 )(参数) (全微分式)2 )如果是的话，就成立。证明书：因为要画函

6、数结构图(请参见。)对应加法(1)(2)注意：1)这里的不变性是指形式不变。2 )多变量函数全微分四则运算式与同一元时在形式上相同(参照P207四条式)。3 )利用一次全微分形式不变性来计算全微分和偏微分，是与在全微分定义中求全微分相反的路径。例6、求。求，求。练习：练习题27(1) 28(2) 31(1)二、隐函数微分法(1)求一元隐函数的公式方法1 :双方求爱解(不足：不能用通式表达)。方法2 :由例8设定，求出。(2)二项隐函数求公式例9设定，求出。例10设定，求出。练习：练习题- 35(1) 36(3)中间总结五难点五五重点难点讨论式两个偏微分之和十普及：三元是三个偏微分之和启发式的互动板书五板书十通过练习加深对方法的理解十“锁定律”注意两点：1 )明确函数的复合关系2 )必须偏移某个参数，经过所有的中间变量归结为该参数。十板书二十借用上图和上式被视为：的函数、固定、求爱被视为：的函数、固定和求爱。作为一元函数被引入的十五注意体会利用一次全微分形式的不变性来求全微分和偏微分，与定义求全微分不同十公式公式先做个结构十五理论和实验课教案的最后一页很小打结1 .掌握全微分公式和应用2 .多元复合函数的求导规律3 .一次全微分形式的不变性4 .隐函数求导法。思念参加考试问题以及创作作品职业问题工作：练习题七十