测量平差---误差椭圆.ppt

1、第 10 章,误差椭圆,本章主要内容 ,退出,第一节 概述第二节 点位误差,授课目的要求：明确点位中误差、位差和位差的极值等概念，掌握其计算方法 。,重 点、难 点: 位差及其极值的计算方法 。,本次课主要内容：,一、点位误差概念及点位误差的计算,二、P点在任意方向上的位差,三、 位差极值方向的确定,四、位差的极大值和极小值的计算,五、用E、F表示的任意方向上的位差,六、应用实例,1. 点位真误差,左图中 P：P点的点位真位置, 其坐标值为 P：P点平差值的点位位置, 其坐标值为 P： P点的点位真误差, x、y：坐标真位差 S：P点真位差在AP方向的投影，称为纵向误差。 u：P点真位差在垂直

2、于,AP方向上的投影，称为横向误差。,如图可得：,无法求得（为什么?）。,一、点位误差概念及点位误差的计算,由方差的定义式可得：,故有,同理有：,记 ，则有：,点位方差计算式,上式说明点位方差的大小与坐标轴的方向无关, 即与坐标系的选择无关。 用点位方差衡量P点精度的缺陷： 不能完善说明P点在任一个方向上的精度情况，不能确定P点在哪一个方向上的精度最好（最差）。,2.点位方差及其计算,由图可得下列关系式:,由协方差传播律得:,或,上式即为求任意方位角方向上点位方差的计算公式。,二、P点在任意方向上的位差,三、 位差极值方向的确定,由位差计算式可以看出, 随着值的变化而改变，具有最大值和最小值。

3、其一阶导数等于零，即,设位差的极值方向为 , 则有,将 代入位差计算式得:,极值方向的判别方法:,0，极大值在第、象限 ，极小值方向在第、象限； 0，极大值在第、象限，极小值方向在第、象限。,四、位差的极大值和极小值的计算,用 表示极大值方向、 表示极小值方向；用E、F分别表示位差的极大值和极小值。则有,把 代入位差计算式得,令,代入上式, 得,与 、 有下面关系:,五、用E、F表示的任意方向上的位差,由图可知,任意方向在两个坐标系中的方位角有如下关系:,把 代入位差计算式得:,整理得:,六、应用实例,例题1 如图，在固定三角形内插入一点P，经过平差后求得P点坐标的协因数阵为:,单位权方差估值

4、为,试求(1) 位差的极值方向 和 , (2) 位差的极大值E与极小值F, (3) P点在PM方向上的点位误差（已知 ）, (4) P点的点位方差。,解: (1) 计算极值方向,2 =3917或21917, =1939或10939,因为 ，故,=1939或19939,=10939或28939,(2) 求位差的极值,P点位差的极大值和极小值分别为：,E=2.78(cm), F=2.34(cm),(3) 求P点在PM方向上的位差,将PM方向的方位角 代入位差计算式,得,也可以利用E、F计算PM方向上的位差。此时，以极大值方向为坐标纵轴，PM的方向角为：,则,(4) 点位方差,也可用下式计算 , 即

5、,例题2 如图, 已知,为确定P点的位置，作如下观测:,试确定P点位差的极大值及其方向。,解法一 由P点的坐标差计算 及E,由图，可列函数式:,求全微分, dx,dy, dS以mm为单位, 得,由上式按协方差传播律得:,由,解得,2 =1490627或3290627,即,=743314或1643314,因为 = -9.080，故极大值方向为:,=1643314,或,解法二: 以AP方向为纵轴x建坐标系xoy,所建坐标系相当于xoy坐标系顺时针旋转 =743314而得到。,在 坐标系中, P点纵坐标的方差 就是P点的纵向方差 , 即,P点横坐标的方差就是P点横向方差, 即,由,解得: 2 =0

6、或 180, 即 =0 或 90,因为 , 故在 坐标系中, P点位差极大值方向 =90。,位差极大值为:,把 化为xoy坐标系中的方位角得,例题3 在例1 中,平差后算得PA的方位角和边长分别为 ， =1827.46m, 试求PA边的边长相对中误差和方位位差。,解: PA边长的中误差, 便是PA方向上的位差, 则有:,边长相对中误差为:,/S=2.54/182746=1/71800,要计算PA边的方位误差, 首先要计算PA边的横向误差, 即垂直于PA边方向上的P点位差, 垂直方向的方位角为 =2481530+90 =3381530,PA边的横向误差为:,由,得,作业：,第十章习题 1，2，3

7、，4，11。,返回,第三节 误差曲线,授课目的要求: 明确误差曲线定义、画法和用途。,重 点、难 点: 误差曲线的画法和用途。,本次课主要内容：,一、有关公式复习,二、误差曲线的定义,三、误差曲线的作图方法与步骤,四、误差曲线的用途,点位方差计算公式：,位差极值方向计算公式：,位差极值计算公式：,任一方向上的位差计算公式：,或,一、有关公式复习,以和 为极坐标的点的轨迹所构成的封闭曲线称为误差曲线, 或称为精度曲线。,二、误差曲线的定义,三、误差曲线的作图方法与步骤 ,1、方法,如图，以O为圆心, E、F为半径画圆弧, 再以 为起始方向, 过原点O作一系列(如=20,40,60,80)角的直线

8、, 直线与圆弧的交点分别投影到 、 轴上, 得到交点 和 。,在方向的直线上，自O点量取线段 , 得a点, 便是误差曲线上的点。将若干个方向上获取的这样的点连接所得的封闭曲线即为误差曲线。,首先，用较小比例尺绘出三角点点位图, 如右图。图中A、B、C为已知点, P为待定点。以待定点为原点, 建立x、y 的坐标轴, 并根据已求出的 值, 确定极值E( 轴)、F( 轴)的方向 。,然后以较大比例尺在 、 轴上取 ,再以 为起始方向, 将不同的值及其相应的向径, 仍按同一较大比较尺逐一展绘上去, 平滑地依次将各点联结起来, 就得到了待定点的误差曲线图。,2、步骤,四、误差曲线的用途,利用误差曲线可求

9、下列各种误差:,(1) 待定点任一方向的位差。例如:,(2) 点位中误差。 按任意两个互相垂直方向上的位 差求其值。例如,(3) 待定点P至任一三角点边长的中误差(即该边的纵向误差)。 例如:PA边边长 中误差为:,(4) 待定点P至任一三角点之方位角的中误差。 例如：PA边的方位角 的中误差为:,式中 为PA边之横向误差, 为P点至A点的距离。,返回,第四节 误差椭圆第五节 相对误差椭圆,授课目的要求:明确误差椭圆、相对误差椭圆的定义、用途、掌握误差椭圆三要素的计算方法。,重 点、难 点:误差椭圆三要素的计算；误差椭圆与误差曲线的关系 。,本次课主要内容：,一、误差椭圆方程,二、误差椭圆与误

10、差曲线的关系,三、相对误差椭圆,四、相对误差椭圆,误差曲线作图不易, 而且作出来的曲线也不是一种典型曲线, 因此, 给使用者带来很大不便, 降低了它的实用价值。然而, 它的形状很近于以E、F为长短半轴的椭圆。在以 、 为坐标轴的坐标系中, 该椭圆的方程为:,误差椭圆的三个参数 、E、F 称为误差椭圆三要素。,一、误差椭圆方程,如图，由椭圆圆心向方向引一射线，垂直于方向上作椭圆的切线, 则垂足与原点的连线长度就是方向上的位差 。（证明略）,二、误差椭圆与误差曲线的关系,设有两个待定点 , 坐标平差值的协因数阵为:,两待定点平差以后的相对位置可通过坐标差来表示, 即,或表示为:,据上式, 按协因数

11、传播定律得:,三、相对误差椭圆,计算 、 点间相对误差椭圆三个参数的公式为:,可用绘制误差椭圆的方法画出相对误差椭圆。相对误差椭圆通常以待定点连线的中点为中心。根据相对误差椭圆, 便可图解出所需要的任意方向上的位差大小。,例题 如图示测角网, 已知坐标:,A(4899.84, 130.81)m； B(12939.70, 2136.89)； C(4172.82, 15542.85),平差以后, P1(6467.745, 4986.847), P2(-3873.003, 5957.482)。 单位权方差估值为:,待定点坐标 的协因数阵为:,试作出P1、P2点误差椭圆及P1、P2点间的相对误差椭圆。,解: (1) 计算P1点的