随机变量的函数及其分布问题

1、2.6 随机变量的函数及其分布,问题：已知随机变量 X 的概率特性 分布律或分布密度（密度函数）,Y = g ( X ),求随机因变量Y 的概率特性,方法：将与 Y 有关的事件转化成 X 的事件,设随机变量 X 的分布律为：,由已知函数 g ( x) 可求出随机变量 Y 的所有可能取值，则 Y 的概率分布为：,离散型随机变量函数的分布,例1已知 X 的概率分布为,求：Y 1= 2X 1 与 Y 2= X 2 的分布律,解,Y 1,pi,-3 -1 1 3,例2已知 X 的概率分布为,其中 p + q = 1，0 p 1，,求Y = Sin X 的概率分布,解,故 Y 的概率分布为,已知随机变量

2、 X 的密度函数 f (x) (或分布函数)求 Y = g( X ) 的密度函数或分布函数,方法：,(1) 从分布函数出发 (2) 从密度函数出发,连续性随机变量函数的分布,例3已知X密度函数为,为常数，且 a 0, 求 fY ( y ),解,当a 0 时，,当a 0 时，,故,例如，设 X N ( ,2) , Y = a X +b, 则,Y N ( a +b, a22 ),特别地 ，若 X N ( , 2) ，则：,例4X E (2), Y = 3X + 2，求,解,例5已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y),解法一从分布函数出发,当y 0 时，FY (y) =

3、 0,当y 0 时，,解法二从密度函数出发,即,当 y 0 时,当 y 0 时,故,一般地,特别地，若g(x)为单调函数，则,其中,例6设,求 f Y (y),解,例7设 X 的概率密度函数为,求,的概率密度函数,解由图可知, Y 的取值范围为(0,1)故当 y 0 或 y 1 时 f Y (y) = 0,当0 y 1 时,故,作业 P 147 习题二,30，31，32 ，41 ，42,问题：已知二维随机变量( X ，Y )的概率特性g(x，y)为已知的二元函数，Z = g( X ，Y ),求：Z 的概率特性,方法：转化为( X ，Y )的事件,当( X ，Y )为离散型随机变量时，Z 也为离

4、散型，,当( X ，Y )为连续型随机变量时，,其中,的几何意义：,例1设二维离散型随机变量( X，Y )的概率分布为：,X,Y,pij,-1 1 2,-1 0,求,的概率分布,离散型二维随机变量的函数,解根据( X，Y )的联合概率分布可得如下表格：,故得,设 X B(n1，p)，Y B(n2，p)，且X，Y 相互独立，则 X + Y B(n1+n2，p)；,关于离散型随机变量的两个重要结论：,设 X P (1)，Y P (2)，且X，Y 相互独立，则 X + Y P(1+ 2) ,X B(n1， p)， Y B(n2， p)，则Z = X + Y 的可能取值为 0，1，2， ， n1+ n

5、2,设n1 n2 ，当k n1时，,关于二项分布的和的分布的说明：,其中,当 n1 k n2 时,当 n2 k n1+ n2 时,故 X + Y B (n1+ n2 ， p),事实上，从二项分布的背景，若每次试验事件A 发生的概率为 p ，则X + Y 表示做了n1+ n2 次 独立试验事件A 发生的次数,关于Poisson 分布的和的分布的说明,X P(1)， Y P(2)，则Z = X + Y 的可能取值为 0，1，2， ,问题：已知二维随机变量( X ，Y )的密度函数，g(x，y)为已知的二元函数，Z=g( X ，Y ),求：Z 的密度函数,方法： 从求Z 的分布函数出发，将Z 的分布

6、函数转化为( X ，Y )的事件； 建立一个新的二维随机变量(Z ，X )或(Z， Y )， 求其边缘分布得Z 的密度函数,二维连续型随机变量函数的分布,(1) 和的分布：Z = X + Y,设( X ，Y )为连续型随机变量，联合密度函数为 f (x，y)，则,或,特别地，若X ，Y 相互独立，则,或,或,称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积 ,例2已知( X ，Y ) 的联合概率密度为,Z = X + Y ，求 f Z (z),解显然X ，Y 相互独立，且,正态随机变量的情形,若X，Y 相互独立，,则,若(X ，Y ),则,若,相互独立，,则,推广：已知 ( X ，Y

7、)的联合密度 f (x，y)求 Z = aX +bY + c 的密度函数，其中 a，b，c为常数，a，b 0,利用此种方法也可以求某些其他的函数的密度,已知(X，Y )的联合概率密度 f (x，y)，令：Z = X / Y，求 f Z(z),(2)商的分布：Z = X / Y,例3已知( X， Y ) 的联合分布函数为,求Z = X / Y 的概率密度函数,解,若,相互独立，且,则,所服从的分布称为自,由度为n 的 分布,它的概率密度函数为,其中, 称为函数,自由度分别为1，2，5，8，10的分布的密度函数图形,另外，若 X ，Y 相互独立，,X N(0，1)，,所服从的分布称为,自由度为n的,X 2(n)， Y ，则,所服从,的分布称为第一自由度为n，第二自由度为m的 F 分布，记为 F (n，m),则,t 分布，记为 t (n),(3)极值分布：即极大值，极小值的分布,设X FX (x)，Y FY (y)，且相互独立，M=maxX ，Y ，N = minX ，Y ，求 M ，N 的分布函数,推广至相互独立