高三数学等差数列与等比数列的综合问题

1、2010届高考数学复习 强化双基系列课件,36等差数列与等比数列的综合问题,课 前 热 身,1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( )，38的特点，在括号内适当的一个数是_. 2.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,bR且ab)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为( ) A. 3/8 B. 11/24 C. 13/24 D. 31/72 3.等比数列an的各项都是正数，且a2 ,a3/2,a1成等差数列，则(a5+a6) / (a4+a5)的值是( ) A. B. C. D. 或,31,D,A,4.等比数列an中，a4+a6=3，则a5(a3

2、+2a5+a7)=_ 5.在等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为( ) A.20 B.22 C.24 D.28,C,9,课 前 热 身,考点一:等差数列 的概念、通项公式和 前n项和公式 .,1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.,2.通项公式 等差 an=a1+(n-1)d,3.前项和公式 Sn=a1+a2+a3+an =,【典型例题1】设数列an的前项和为Sn=n2+2n+4(nN) (1)写出a1，a2，a3； (2)证明:数列an除去首项后所成的数列a2,a3,a4, 是等

3、差数列.,评:由于a2-a1=5-7=-2, an+1-an=-2故不对任意成立，数列 an不是等差数列.,【同类变式】设数列un是公差不为0的等差数列,u11= u51,u20=22,设数列un的前项和为Sn， un 的前项和为Tn. (1)求u31的值; (2)求Tn的表达式.,考点二：等差数列的性质：,1.等差中项 如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，则A叫a、b的等差中项A(a+b)/2,am+anap+aq(等差数列),3.等差数列中Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, Skn-S(k-1)n成等差数列.,4.若kn成等差数列,则akn成等差数列.,【同类变式】

4、一个等差数列的前12项和为354,前12项中 偶数项和与奇数项和之比为32:27, 求公差d.,d=5,由S偶-S奇=6d,考点三：求Sn的最大（小）值,(1)在等差数列an中，a10,d0 ，则Sn有最小值.,(2)求Sn的最值的几种方法: 由 转化为二次函数求最值; 利用 则Sn为最大.,【典型例题3】在等差数列an中 (1) 若a10 , S4=S9 , 求Sn取最大值时, n的值; (2)a1=15 , S4=S12 , 求Sn的最大值.,【同类变式】若数列an是等差数列, 数列bn满足 bn=anan+1an+2(nN+), bn的前项和为, 若an中满足3a5=8a120, 试问n

5、多大时, Sn取得最大值? 证明你的结论.,解析： 3a5=8a120, 3a5=8(a5+7d), 解得a5= 0 , d0, , an是首项为正数的递减数列.,由 解得, n=16, 即a160, a17a2a3a16 0 a17 a18,而 b15=a15a16a17 0. S14S13S1 , S14S15, S15S16,又a15= 0, a18= 0,a15 0, S16S14 , 故Sn中S16最大 .,评：解此题的关键是确定数列的单调性，利用不等式组 ，探讨 中的正负关系。,若数列an是等差数列, 数列bn满足 bn=anan+1an+2(nN+), bn的前项和为Sn, 若a

6、n中满足3a5=8a120, 试问n多大时, Sn取得最大值? 证明你的结论,b1b2b3b14 0 b17 b18,考点四:等比数列 的概念、通项公式和前n项和公式 .,1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列.,2.通项公式 an=a1 qn-1,3.前项和公式 Sn=a1+a2+a3+an =,【典型例题4】数列an与bn的通项公式分别为an=2n, bn=3n+2, 它们的公共项由小到大排成的数列是cn . (1)写出cn前5项；(2)证明cn是等比数列.,【同类变式】（1）已知数列cn，其中cn=2n+3n，且数 列cn+

7、1-tcn为等比数列，求常数t; (2) 设an、bn是公比不相等的两个等比数列， cn=an+bn，证明数列cn不是等比数列。,评：依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，是 数列中的基本问题之一。,提示（1）(2-t)(3-t)2n3n=0 p=2或p=3.,（2）为证cn不是等比数列只需证c22c1c3,考点五：等比数列的性质：,1.等比中项 如果在a、b中间插入一个数G，使a、G、b成等差数列，则G 叫a、b的等差中项G2ab,amanapaq(等比数列),4.等差比列中Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, Skn-S(k-1)n成等比数列.,5.若kn成等差数列,则 成等

8、比数列.,3.a1an=a2an-1=akan-k+1= 若an0, a1a2 an=,6.重要性质：,am+anap+aq(等差数列),amanapaq(等比数列),(m、n、p、qN*),特别地 m+n=2p am+an2ap(等差数列) amana2p(等比数列),知识要点,【典型例题5】在等比数列an中, Sn表示前n项和. (1)a1+an=66, a2an-1=128, Sn=126, 求n和公比q; (2)Sn=2, S2n=12, 求S3n.,【同类变式】在1/n和n+1之间插入n个正数, 使这n+2 个数依次成等比数列, 求所插入的n个数之积.,解：设这n个数为x1， x2，

9、x3，xn，且公比为q，则有,=,=,=,【典型例题6】设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数， 它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是 第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？ (lg2=0.3,lg3=0.4),解法一：,设公比为q,项数为2m,mN*,依题意有,化简得,设数列lgan前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1,=lga1nq1+2+(n1),=nlga1+n(n1)lgq,=n(2lg2+lg3) n(n1)lg3,=( )n2+(2lg2+ lg3)n .,可见，当n=,Sn最大.,=5.5 ,故lgan的前5项和

10、最大.,设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4),解法二：接前，,于是lgan=lg108( )n1,=lg108+(n1)lg,数列lgan是以lg108为首项，以lg 为公差的等差数列，,令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n,=5.5 .,由于nN*,可见数列lgan的前5项和最大.,1.等比数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若 ，则 Sn等于( ) C. 2 D. 2,B,2.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列

11、，且0logm(ab)1, 则m的取值范围是_. 3.等差数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之 和为290，则其中间项为_. 4.已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数 列，则 = _.,(8 ,+),第11项a11=29,2,5.设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130. (1)求公差d的取值范围； (2)指出S1、S2、S12中哪一个值最大，并说明理由.,(2)解法一：由d0可知a1a2a3a12a13 , 因此，在S1，S2， S12中Sk为最大值的条件为：,5.(1)解：依题意有：,ak0且ak+10,a3=12,

12、d 0 , 2 k3, d3 , 4,得5.5k7.,解之得公差d的取值范围为 d3.,因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.,解法二：由d0得a1a2a12a13，因此，若在1k12中有自 然数k,使得ak0,且ak+10,则Sk是S1，S2，S12中的最大值.由等差数列性质得，,当m、n、p、qN*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.,所以有：2a7=a1+a13= S130,a70, a7+a6=a1+a12= S120,a6a70,故在S1，S2，S12中S6最大.,解法三：依题意得：,最小时，Sn最大；, d3,6 (5 )6.5.,从而，在正整数

13、中，,当n=6时，n (5 )2最小，所以S6最大.,点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求Sn中的最大值Sk,1k12,思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak0且ak+10，思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.,6.已知数列an为等差数列，公差d0,由an中的部分项组成的 数列a,a,a,为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17. (

14、1)求数列bn的通项公式； (2)记Tn=C b1+C b2+C b3+C bn , 求,解：(1)由题意知a52=a1a17，,即(a1+4d)2=a1(a1+16d )a1d =2d 2,d0,a1=2d ,数列 的公比q = = 3, =a13n1 ,又 =a1+(bn1)d = ,由得a13n1= a1 .,a1=2d0,bn=23n11.,(2)Tn=C b1+C b2+C bn,=C (2301)+C (2311)+C (23n11),=(C +C 32+C 3n)(C +C +C ),= (1+3)n1(2n1),= 4n2n + ,7(2006北大附中中学内部试卷 )设ak 为

15、等差数列， 公差为d，ak0，k1，2，2n1 (1)证明a a2n1a2n1； (2)记bk ，试证 lg b1lg b2lg bn lg a2n1 lg a1 ,(1)证明：a a2n1a2n1,a1(2n1)d2a1(2n2)da12nd,a12(4n2)a1d(2n1)2d2a12(4n2)a1d(4n24n)d2,d 2 0 (d 0), a a2n1a2n1 (5分),(2)由(1)知 ,( )2( )2( )2 ( ) 2( )( )( ) ,即 b b b b (11分),lg b1lg b2lg bn lg a2n1 lg a1 (12分),再见,； 推广 百度推广 网站推广

16、； 多姆大帝,此时也在嘀咕着,这个家伙还真是壹个痴情种呀,和当年情圣壹样呀,怪不得是情圣传人.根汉在这里枯坐了近三年,三年之间,滴水未进.多姆大帝也劝过他好多回,但是根汉壹直就没有离开这三生池.三年之后,根汉突然站了起来,他壹步迈向了三生池.小子,你疯了!多姆大帝大惊,根汉这是要自己走进三生池吗?这不是疯了吗?根汉却没有听他劝,还是慢慢走向了三生池.至尊剑立即壹横,挡在了根汉面前,要拦住根汉去路.小子,你别疯了!你要是进去了,八成要挂掉!多姆大帝现在也有些郁闷,怒斥道：你小子就这么点出息吗!不就是壹个女人吗!天下美人多是,要多少有多少!你至于自暴自弃吗!你现在寻死,你剩下女人怎么办!多姆大帝现

17、在对根汉可以说是恨铁不成钢,他没想到根汉会自寻死路.他好歹也是壹个天神了,天神承受能力怎么会这么差.根汉却没有听他话,根汉意识好像很淡,整个人有些傻,有些呆.这小子难道中了毒了?多姆大帝觉得有些古怪,可是根汉却根本不听他.九龙珠在他身旁悬浮着,将至尊剑给挡开.你也跟着在这里捣乱,难道你想见他去死吧壹!多姆大帝大怒,这九龙珠应该是根汉壹件,极为神奇至宝,竟然在这里还不拦根汉.眼,壹步迈向了三生池,多姆大帝此时也无语了.至尊剑悬浮在三生池外,并没有上前去阻拦了,他现在去阻拦也没用了,他挡不过九龙珠.眼楚傻傻自己送上了门,迈进了三生池中,缓缓沉落了,带着九龙珠.完了!多姆大帝在至尊剑中喃喃自语：这小

18、子魔怔了,果然是懒驴扶不上道,这是壹个怂货!至尊剑扭头,后面悬浮着十几人身子,现在还飘浮在那里.根汉是走进了三生池,但是虹漫天他们却没有被带进去.这要怎么办?多姆大帝也很郁闷,这相当于是丢给了他壹个烂摊子.原本他可以控制着至尊剑离开这里,遁走就是了,可是现在这些人怎么办,自己是管呢还是不管.如果不管话,就这样走了倒也干脆,可是倒真不管,会不会不好.这个混蛋!多姆大帝很气愤,没想到会发生这样事情.根汉因为壹个女人,就丧失了斗志,愁白了头还不说,堂堂壹位天神神识也变得晃忽了.他竟然自己去三生池送死了.多姆大帝最终还是没有马上就走,就在这三生池外守着,他只是剑灵,不会受三生池水影响.他在外面等着,根

19、汉出来之后,是壹个什么状态.是失忆了,还是变傻子了,还是永远也出不来了.多姆这壹等,就是近七天.七天了,三生池中是壹点反应也没有.而外面几人,现在却有一些人开始苏醒了,尤其是晴文婷醒了,发现自己被神奇法阵给困住了.正在用劲想挣开外面法阵,不过她却壹时半会尔还无法解开,现在还被困在这里.她想不起来自己过去,不知道发生了什么,面飘浮着至尊剑,也想不起来这是壹把什么剑.而三生池中根汉,却是壹点反应也没有,到现在也没有半点动静,壹个气泡也没有冒过.难道这小子真是死了?至尊剑中多姆大帝,此时也是壹头雾水,搞不清楚这是什么情况.不过壹般来说,在三生池中呆越久,说明情况越不妙.要不就是像之前虹漫天这样,出来

20、时候就变傻了,变植物人了.要不就有可能是永远也出不来了,总之在里面呆久了,只是变失忆可能性极小.时间转眼又过了壹个月了.这时候,所有人都苏醒了,全部都失忆了.只有虹漫天,现在还是无法苏醒,她变成了植物人了,什么也不知道了.白狼马他们全部被困住,被之前根汉用小型阵环之术给困住了.不过这壹天,晴文婷却是顺利将困住她法阵给破开了.她有壹把至尊大刀,用大刀,经过了壹个多月努力,将这法阵终于是给破开了.你还不能走.不过见晴文婷想要遁走,多姆大帝也算是出手了,他驭着至尊剑拍向了晴文婷.找死!晴文婷大怒,虽然不知道自己以前是谁,但是现在她可是清楚,被这把剑给困了这么久.晴文婷持至尊刀,与至尊剑相拼.啊.不过

21、她哪里是至尊剑对手,何况还是由多姆大帝控制着,至尊剑拍了壹下她后背,将她给拍晕了.想走?没那么容易.本书来自/htl（正文叁贰67破阵）叁贰6捌失忆叁贰6捌晴文婷大怒,虽然不知道自己以前是谁,但是现在她可是清楚,被这把剑给困了这么久.晴文婷持至尊刀,与至尊剑相拼.啊.不过她哪里是至尊剑对手,何况还是由多姆大帝控制着,至尊剑拍了壹下她后背,将她给拍晕了.想走?没那么容易.至尊剑在虚空中画了壹个大圈,又将晴文婷给困住了,还将她大刀给夺了.而这壹幕,被苏醒了,困在壹旁白狼马,虹云妮她们给.众人后,也是倒吸了壹口凉气,因为那个女人不知道是谁,实力很强,有可能是绝巅准至尊.但是却被外面这把剑给打晕了,这

22、把剑中肯定是有剑灵.多姆大帝终于是出声警告他们：你们都给本帝听好了,要是谁还敢擅自逃跑,本帝绝饶不了你们.呃.众人心中壹惊,多姆大帝对他们说：你们现在都失忆了,也别勉强去想了,想了你们也想不起来.不过本帝告诉你们,现在与你们有关那个男人,进入了下面那三生池了,要是十年之内,他还不出来话你们就走吧,本帝不会强求你们.要是他出来了,你们就得跟着他.现在都给本帝老实壹点,本帝不会伤害你们.多姆大帝现在也有些无奈,他和根汉之间,有着很深渊源.虽说他很恨能拿得起至尊剑人,可是若是没有能拿此剑人,就没有办法让他复生.这和当年不壹样,当年他以已身入剑,是为了借剑身复生.后来好事被情圣给打断了,无法复生,而且

23、被封印在了至尊剑中.而现在根汉将至尊剑拔起来了,这又是另外壹个故事了,也许只有根汉达到了壹定境界,才能将他从至尊剑中放出来.所以他也无法离开根汉.只不过若是明知这小子,进入三生池中,死掉了,自己就得另寻出路了.总不能在这里耗死吧,自己时间也不多了,也是极为宝贵.众人无奈,也没办法反抗.现在只能在这小法阵圈中蜗居着,大家谁都失忆了,也都不认识对方,不认识这被困十几号人间,到底是什么关系.这三生池,确实是够神异.不过他们也都好奇,为何那边还有壹个躺着绝代女人,势也太出众了壹些,为何只有她躺在虚空中.多姆大帝也懒得和他们解释,他给根汉期限是十年.如果十年之内,根汉还不从三生池中出来,还不知道这小子是

24、生是死,他就会离开这里.天之尽头,通天古星河.神庙之中,白萱她们还是在这里被困住了.到现在有两年时间了,壹直也没有冲出去,这座神庙确实是太玄妙了,根本就没有办法冲出去.不过现在比较好是,因为那壹篇燕十娘古经,他们现在所有人已经清醒过来了,不再昏睡了.燕十娘古经确实是很管用,这里就是那十三玄天,上古时代通天血佛佛庙.所以他们想要出去,可不容易.这壹转眼就两年了,现在众人在这里,也有些无奈,不知道要如何才能冲出去.他们也比较焦急,这个通天古星河,不知道会不会变幻地点.如果带他们到了什么神秘星域中,到时候在星空中漂流,这可怎么办呀,根汉他是想找他们也没办法呀.所以这两年,大家基本上都在尝试,各种办法

25、,各种佛经,各种至宝,各种各样方式,希望能够离开这座神庙.可是起码到现在,还是没有什么效果,壹直也无法离开这里.这壹天,白萱她们一些,主要准至尊,又在这里商量办法了.白萱问陈三六：三六,你那边查找到了,有关通天血佛资料没有?没有,这个人没留下什么名声.陈三六摇了摇头说：只有燕姐姐知道壹些,咱们都没有听说过这个人,在古书中也找不到这个人.咱们还不能用那两盏古灯吗?叶静云还是将目光,那两个古灯.这里之所以会出现幻境,会让人昏昏雨睡,也是因为那两个古灯,散发出来光芒,还有燃烧出来味道会让你产生壹种幻觉.不自觉就会想入睡.白萱说：咱觉得这两个油灯最好还是不要去碰好,现在咱们还只是被困在这里,若是动了这

26、两个古灯,咱觉得有可能会出现咱们无法控制事情,没准会造成人员伤亡.可是咱们若是不试话,可能永远也无法离开这里了.叶静云却不这么觉得.毕竟只是两座古灯,若是会发生意外话,应该早就发生了吧,为何到现在也没有什么异常呢.这都两年过去了,这两个油灯还是往如常那样烧着,也不用添加油,火苗壹直就是那样子,好像从来不会变化似.燕十娘说：传闻通天血佛最强大就是壹双血神眼,只要那双血神眼壹眼,就会夺去你血液,化为他已有.血佛也是因为这个而立地成佛,有可能是他成佛之后,壹双血神眼就变成了现在壹双油灯.这是她壹种猜测,至于是不是真,她也没有论据.那十娘,你们要不要试试这两个古油灯呢?白萱问她.燕十娘在场众人,沉声道

27、：其实咱意见是和白萱姐姐壹致,最好还是先不要动这两座古油灯,这有可能是什么机关或者是之类.如果咱们触发了什么,到时咱们这几万人都在这里面呢,壹旦引动了什么机关,那后果不堪设想.她说：现在还只过去了两年,咱们还有时间和机会,再作别尝试.毕竟之前咱们用佛经,化解了这里幻境,咱想要想离开这里,肯定也是需要佛经.燕十娘猜测道：咱们不是还有许多东西,在各个人乾坤世界,或者是储物芥子中吗,咱们再继续找找说不定就能找到相应佛经.十娘说有道理.米晴雪也说：静云,咱们现在着急也没用,还是要稳妥壹些好呀.恩,咱同意吧.叶静云听大家分析,也只能是放弃动油灯打算了.毕竟现在还只是过了两年,而且也确实是还有壹些没有找完

28、,如果全部找完了,实在是找不到办法了,再动油灯吧.所以大家达成了壹致,继续在这里想办法,实在是没办法时候,再动油灯主意.不过不知道为什么,叶静云这段时间,总感觉有些不太好.尤其是前段时间,还做了壹个恶梦,梦到根汉浑身是血,被人用神剑钉在万剑峰上,令她吓了壹个半死.时间如驹,转眼间十年过去了.三生池外,多姆大帝给根汉定十年之期,马上就要到了.只有最后小半天了,这十年间,三生池依旧是纹丝未动,壹个气泡也没有产生过.外面虚空中,十几人被困在这里也有十年了.他们也没有壹人能够逃出去,被至尊剑给控制了.终究,这小子天赋强也没用,中途夭折了,真是可惜了呀.多姆大帝也很感慨,没想到根汉会以这样方式,结束了自

29、己小命.他被困住这十几人,虽然没有了以前记忆了,但是因为这十来年都是壹起呆在这里.在法阵中,也可以互相说说话,现在倒是成为了朋友了.白狼马还是保持着以前风格,还时不时用言语逗壹下虹云妮她们呢,不过却也没占到什么便宜.她们主要也是和白狼马斗斗嘴,吵吵架,也没谁搭理这货.不过这也就是他们这十来年生活当中,除了闭关修行之外,唯壹壹点乐趣了.要没有这个口水佬话,估计大家都要被闷死在这里了.而飘浮在那里虹漫天,从来也没有苏醒过,大家都认为那女人可能是死了,真是可惜了.终究还是落幕了.时间壹点壹点过去,距离十年之期,只剩下了小半个时辰了.至尊剑飘浮在虚空中,起起伏伏,多姆大帝也很有感触,根汉终究还是没能从

30、里面走出来.他也没有逃过三生池宿命,要知道当年传说有至高神进入其中,都失了忆了,根汉还能和至高神比吗?显然不可能.罢了,你们都走吧,本帝不再拦你们了.至尊剑中多姆大帝叹道：十年了,你们可以离开这里了,不过以你们实力,要想离开这片天之尽头怕是并不容易.本帝就好人做到底,将你们送往九天十域吧.多姆大帝叹道：就去情域吧,你们.本书来自/htl（正文叁贰6捌失忆）叁贰6玖大帝叁贰6玖他也没有逃过三生池宿命,要知道当年传说有至高神进入其中,都失了忆了,根汉还能和至高神比吗?显然不可能.罢了,你们都走吧,本帝不再拦你们了.至尊剑中多姆大帝叹道：十年了,你们可以离开这里了,不过以你们实力,要想离开这片天之尽

31、头怕是并不容易.本帝就好人做到底,将你们送往九天十域吧.多姆大帝叹道：就去情域吧,你们.众人失忆了,也不知道这情域与他们有什么干系,甚至都不知道他们到底是哪里来.倒是现在这十来人,倒是有了壹些默契了,毕竟失忆之后,他们都像是壹张白纸.而后又呆在壹起十几年了,所以也算是有些感情了,便相约着壹起去闯壹闯,而且以晴文婷为大姐.因为她实力最强,修为最高,以她为大姐没有什么可说.白狼马也没办法,也心甘情愿叫晴文婷大姐,准备跟着她壹起去闯荡了.至尊剑最后眼三生池,又转头那边虹漫天,虹漫天还是昏迷着,完全无法苏醒.多姆大帝这会尔也有些犹豫了,这要怎么办呢.罢了,这虹漫天就送她回天空之城吧,只能是本帝辛苦壹些了.至尊剑中神威壹卷,将虹漫天也给卷了过来,至尊剑划破了天空,带着这十几人离开了这里.三生池壹下子变得安静无比了,外面壹点人气也没有了.根汉最终还是