高等数学教案(极限部分)2 函数极限的概念

1、应用数理学院应用数学学科部,高等数学,（第二版）,2,1.2 函数极限的概念,无穷小与无穷大,3,无限！,再没有其它的问题, 希尔伯特,如此深刻地打动过人类的心灵.,4,时函数的极限,一、自变量,试比较函数极限与数列极限：,与,例 看图识别下两个极限的区别和联系:,5,例 再观察下两个极限的区别和联系,稍后将证明这两个极限，其极限值为,e =2.718281828459045 .,7,这两个极限的直观共性是:,(或 n),沿 x 轴正向无限变大时,就无限地接近 e ;,函数值 y,当自变量 x,换句话说,就越来越小;,与 e 差的绝对值,数学上总希望用恰当的语言，通过量,化的方式, 准确地刻画

2、因 “ x 越变越大”,即当自变量x 越变越大时,而,8,定义1(自变量 时函数的极限),若对任意给定的,则称数 为函数 当 时的极限,并记,总存在,都有,9,的 定义可简洁地写为:,使得只要,恒有,定义1几何意义:,无论正数 多么小,总存在这样的 X , 当,函数图像全部,落在带形区域 内.,10,的量化分析表,任正数,11,例,用定义验证:,分析,要使,亦只要,只要,12,于是只要取,证,因,使得只要,恒有,故,13,例,证明:,证,要使对,只要,两边取对数只要,成立即可,(因 可取,任意小于1的正数,保证,则当,恒有,这便证明了,因此只要取,14,使得只要,的 -X 精确定义,恒有,的

3、-X 精确定义,使得只要,恒有,15, 你会仿此给出数列极限 的,数量化 -N 精确定义吗？,以下请再观察几例函数当自变量,时的极限.,16,17,18,这种情况下,有极限A (有穷数),分三种 情况:,(1),由于讨论是类似的, 故以下着重讨论(1).,(2)右极限,(3)左极限,19,定义2(自变量 时函数的极限),则称数 为函数 当 时的极限,并记,设 在 的某去心邻域内有定义,总存在,使得对于适合,的一切 x,都有,若对任意给定的,20,值得关注的是: 为什么定义2中如下写,而不是写作,或是 呢?见例图,f (x)在 无定义,却可取到极限 1/ 2 .,21,f (x)在 有定义,也有

4、极限值 1/ 2 .,f (x)在 有定义,但无极限.,22,恒有,定义2的几何意义,的几何意义.,使得只要,请同学们根据图形 ,自己叙述,23,例,分析,证,使得只要,就有,时,越来越小,如, 可有:,(正数),于是 ,24,这就证明了,分析,注意到函数在点 x = 1 处没有定义.,例 证明,要使,只要,25,注意到当,于是 ,所以要使,只要,无妨设某时刻后有,亦即只要 即可.,证,26,(注意此例中 f (x) 在 x = 1无定义!),恒有,问题: 在用 - 定义的证明中, 如何理解, 的取法有什么特点, 它取法唯一吗?, 任意, 但一旦给出又固定?,即证得, 依 而定,它与 有关系吗

5、?,使得只要,27,仿定义2请给出以下左右极限：,的 - 定义., 观察极限与单侧极限,28,定理,当且仅当 ,(都存在),证明留作思考题.,29,例 讨论符号函数 在x = 0,1点的,故 不存在.,分析 因,极限.,但是,30, 另观察极限,31,问题: 因自变量 x 变化而引出的函数 y 的变化趋势一般有多少种形式呢？,32,定理 (海涅定理),当,均有,(收敛数列与其子数列的关系),对于 的每个子列,均有,下面给出一个数列极限与函数极限之间,存在关系的定理。,33,这个定理不作证明. 容易看出其必要性条,件好用, 即,但以下的推论却好用. 只写相应的推论.,或由,反之却不便用.,推论,

6、不存在,若,则 不存在;,34,都存在, 但,则 不存在.,推论,若 与,例 证明:,不存在.,证 因为存在,35,再取,故根据定理的,不存在.,推论 ,36,在自变量x的某变化过程中,限的变量 是无穷小量,即当 或,y是无穷小量.,三、无穷小量与无穷大量,定义3 (无穷小量的定义),以零为极,时,则称变量,简称无穷小.,37,的 “ - ” 数量化定义为:,使得只要,恒有,例,当 时,当 时,都是,无穷小量;,当 时,均是,无穷小;,也都,是无穷小.,38,定理1,的充分必要条件是,的一个无穷小,即,证,必要性,设 , 则,记,即有,根据定 义 ,是当 时的无穷小;,39,充分性,因 是当,

7、时的无穷小量，故,设,40,定理 (无穷小量的性质), 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量;, 有限个无穷小量的积仍是无穷小量；, 无穷小量与有界变量的积仍是无穷小量.,(此定理的证明留给读者作为练习题),如,41,则称 y (x)为在该变化过程中的,无穷大量.,记为,使得当,恒有,无限变大,定义4 (无穷大量的定义),在变量 x 的某变化过程中,42,定理 (无穷大量的性质),(1) 无穷大量的倒数是无穷小量, 反之亦然;,即在某极限过程中,则,反 之, 若,且,则,(2) 有限个无穷大量的积仍是无穷大量；,无穷大量与有界变量的和仍是无穷大量.,若,43,(4) 若,又,则 是无穷大量. (证明略),