函数概念与图像ppt.ppt

1、a,1,函数概念与图像,a,2,知识结构,概念,三要素,图象,性质,指数函数,应用,大小比较,方程解的个数,不等式的解,实际应用,对数函数,a,3,一个物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y=4.9X。若一物体下落2s，你能求出它下落的距离么？,此问题中含有两个变量x和y，当一个变量x的取值确定后，另一个变量y的值随之唯一确定。根据初中知识，每一个问题都涉及一个确定的函数，这就是他们的共同特点。,a,4,定 义,给定两个非空数集A和B,如果按,照某个对应法则f ,对于A中的任何一,个数x, 在集合B中都存在唯一确定的,数 y 与之对应, 那么就把对应关系

2、,f叫做定义在A的函数.,记作: f:AB,其中,x叫做自变量,y 叫做函数值,集合A叫做定义域,y的集合叫做值域.,或 y= f (x) xA.,a,5,所有输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域。 对A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域。,函数的三要素：定义域值域对应法则（解析式）,判断是否为函数的方法：是否有共同的对应法则 A中是否有剩余元素,a,6,给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。,a,7,例3 下列函数中哪个与 函数是同一个函

3、数?,解：,（1） 这个函数与函数 虽然对应关系相同，但是定义域不相同.所以这两个函数不是同一个函数.,（2） 这个函数与函数 不仅对应关系相同，而且定义域也相同.所以这两个函数是同一个函数.,（3） 这个函数与函数 的定义域都是实数R，但当时它的对应关系与函数不相同，所以这两个函数不是同一个函数.,a,8,映射概念： 一般地，设A,B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f:AB,a,9,例1、在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？ 1.设A=1,2,3,4，B=3,5,

4、7,9，对应关系是f(x)=2x+1,x属于A 2.设A=1,4,9,B+-1,1,-2,2,-3,3对应关系是A中的元素开平方 3.设A=R，B=R,对应关系是f(x)=x的3次方，x属于A 4.设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x的2次方+1，x属于A 解析：1、是一一映射，且是函数 2、不是映射（象是有且唯一） 3、是一一映射，且是函数 4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应。,a,10,练习3,判断下列各组函数是否同一函数？,答案：,（1）定义域相同且对应关系相同，是同一函数,（2）定义域不同，不是同一函数,（3）对应关系不同，不是同一函数,判断两函数是否为同一

5、函数只要判断它们的定义域和对应关系是否相同即可.,a,11,函数的定义域：,使函数有意义的x的取值范围。,求定义域的主要依据,1、分式的分母不为零. 2、偶次方根的被开方数不小于零. 3、零次幂的底数不为零. 4、对数函数的真数大于零. 5、指、对数函数的底数大于零且不为1.,6、实际问题中函数的定义域,a,12,1. 求自变量的取值范围：,a,13,a,14,例5 画出函数y=|x|的图象.,解：由绝对值的概念，我们有,y=,x, x0, -x, x0.,图象如下：,a,15,画出函数y=|x-4|的图象.,a,16,小结（平移变换）：,1. 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|

6、个单位（k0时向左，k0向右）得y=f(x+k)的图象。,2. 将函数y=f(x)的图象向下（或向上）平移|k|个单位（k0时向下，k0向上）得y +k =f(x) 的图象。,函数图象的变换,总结：k0,向负方向平移；k0，向正方向平移。,a,17,画出下列函数的图象, 并,基础练习,说明它们的关系:,(1) y=x2x,(2) y=,a,18,y=x2x,a,19,y=x2x ( x0或x1),a,20,y=,a,21,a,22,小结 (翻折变换） ： 1.将函数y=f(x)图像保留x轴上方的部分并且把x轴下方的部分关于x轴作对称就得到函数y=|f(x)|的图像 2.将函数y=f(x)图像去

7、掉y轴左方的部分，保留y轴右方的部分并且把它关于y轴作对称就得到函数y=f(|x|)的图像,函数图象的变换,a,23,画出下列函数的图象:,(1) y=x2+2 +1,(2) y=,a,24,求函数解析式的方法：,待定系数法、换元法、配凑法,1, 已知 求f(x).,2, 已知f(x)是一次函数，且ff(x)=4x+3求f(x).,a,25,函数的表示方法 列表法：用列表来表示两个变量之间函数的关系的方法。 解析法：用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法。这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式。 图像法：用图像表示两个变量之间函数关系的方法。,a,26,例题 购买某种饮料x听，所需钱数

8、为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x（x1,2,3,4）的函数，并指出该函数的值域。,a,27,例题1 画出f(x)=丨x丨的图像，并求f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值,例题2某是出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费。试写出收费额关于路程的函数解析式,由上述例题中观察 函数具有相同特点：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。像这样的函数通常叫做分段函数,a,28,标题,函数的简单性质,a,29,继 续,前 屏,跳 转,前面我们学习了函数，你能作出下列函数的图象吗？,观察图象变化趋

9、势,在(-,)上y 随x的增大而增大,在(-,0上，y 随x的增大而减少,在0,)上，y 随x的增大而增大,在区间(-,0)上及(0,)上y 随x的增大而减少,复习引入,a,30,继 续,前 屏,跳 转,一般地,设函数y=f(x)的定义域为A:,如果对于区间内的任意两个值x1,x2,当x1x2时, 都有f(x1) f(x2) ,那么就说y=f(x)在区间上是单调增函数 称为y=f(x)的单调增区间.,(1)定义域,(2)区间,(3)任意,(4)自变量的大小与函数值大小的关系,单调性概念,如果对于区间内的任意两个值x1,x2,当x1 f(x2) ,那么就说y=f(x)在区间上是单调减函数 称为y

10、=f(x)的单调减区间.,a,31,继 续,前 屏,跳 转,如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说该函数 y = f (x) 在这一区间上具有单调性 增函数和减函数统称为单调函数。单调增区间和单调减区间统称为单调区间,有关的概念,一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I A 如果对于区间I内的任意两个值X1，X2，当X1X2时，都有f(X1)f(X2），那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间。 如果对于区间I内的任意两个值X1，X2，当X1X2时，都有f(X1)f(X2），那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)

11、的单调减区间。,a,32,一般地，设y=f(x)的定义域为A 如果存在x。A，使得对于任意的xA，都有 f(x)f（x。), 那么称f（x。）为f(x)的最大值，记为ymax=f(x。)； 如果存在x。A，使得对于任意的xA，都有 f(x)f（x。), 那么称f（x。）为f(x)的最小值，记为ymin=f(x。)；,a,33,继 续,前 屏,跳 转,例1.下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象写出函数y=f(x)的单调区间并指出哪些是增区间哪些是减区间,函数y=f(x)的单调区间有：-5,-2,-2,1,1,3,3,5,增区间有：-2,1,3,5,减区间有：-5,-2,1

12、,3,单调区间的判断,a,34,继 续,前 屏,跳 转,单调区间的判断,练习： 已知函数y=f(x)及y=g(x)的图象(包括端点），根据图象写出函数的单调区间，并指出在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数,a,35,继 续,前 屏,跳 转,单调区间的判断,增区间 减区间,a,36,继 续,前 屏,跳 转,单调区间的判断,思考： 怎样判断函数的单调性？,a,37,继 续,前 屏,跳 转,单调性的证明,例3.证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数,证明：设x1,x2是R上的任意两个实数, 且x1x2，,则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2),=3(x1-x2),因为x1x2

13、，所以x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2),所以，f(x)=3x+2在R上是增函数,(1)设数,(2)作差,(3)因式分解,(4)判断符号,(5)对比定义,(6)得出结论,a,38,证明：设x1,x2是(0,+ )上的任意两个实数, 且x1x2，,因为00且x1x20,所以f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2),(1)设数,(2)作差,(3)因式分解,(4)判断符号,(5)对比定义,(6)得出结论,例4.证明函数f(x)= 在（0，+）上是减函数,单调性的证明,例：证明f（x）=x在（-，+）上是增函数,a,39,继 续,前 屏,跳 转,单调性的证明,练习,

14、1 判断函数f(x)= - x2+1在（0，）是增函数还是减 函数，并证明你的结论,思考：怎样证明函数的增减性？,a,40,3. 若函数f (x) 在区间a, b单调,且 f(a) f(b)0, 则方程f(x)=0在区,.,间a, b上( ).,A.至少有一实根;,B.至多有一实根;,C.没有一实根;,D.必有唯一实根.,D,a,41,4. 函数f (x)=,2x+1, (x1),5 x, (x1),则f (x)的递减区间为( ),A. 1, ),B. (, 1),C. (0, ),D. (, 1,B,a,42,继 续,前 屏,跳 转,特点：,图象关于 y轴 对称 自变量相反，函数值相等,图象

15、关于原点对称 自变量相反，函数值相反,结论：,偶函数,奇函数,图象,函数的奇偶性,a,43,继 续,前 屏,跳 转,一般地： 如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x , 都有 f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数,如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x ，都有 f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数,（1）定义域,（2）任意,（3）f(x)与f(-x)的关系,奇、偶函数的定义,a,44,一般地： 奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数 的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数,偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数 的图象关于y轴对称

16、，那么这个函数是偶函数,如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们说f(x)具有奇偶性。,奇偶图象的性质,a,45,继 续,前 屏,跳 转,例5.判断下列函数是否具有奇偶性,奇函数,偶函数,偶函数,非奇非偶函数,非奇非偶函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,奇偶性的判断,a,46,继 续,前 屏,跳 转,奇偶性的判断,练习：,判断下列函数的奇偶性,思考： 怎样判断函数 的奇偶性？,a,47,继 续,前 屏,跳 转,证明：函数f(x)=x3+x为奇函数,证明：,= -x3-x,= -(x3+x),= -f(x),(1)定义域,(2)计算f(-x),(3)f(-x)与f(x)及 -f(x)进行比较,(4)结论,奇偶性的证明,a,48,继 续,前 屏,跳 转,例6.已知函数y=f(x)是定义在R上奇函数，而且在(0，) 是增函数，证明y=f(x)在(- ，0)上也是增函数,证明：任取0-x1-x2,f(-x2)= -f(x2),奇偶性的应用,a,49,继 续,前 屏,跳 转,奇偶性的应用,已知函数y=f(x)在R上偶函数，而且在(-,0)上是增 函数， 判断y=f(x)在(0，)是增函数还是减函数？并加以证明.,证明：任取x1-x20,f(-x2)= f(x2),答：y=f(x)在(0，)是减函数,a,50,继 续,前 屏,跳 转,奇偶性的