Laplace变换的概念

1、第二章 Laplace变换,1 Laplace变换的概念,2 Laplace变换的性质,3 Laplace逆变换,4 卷积,5 Laplace变换的应用,2.1 Laplace变换的概念,1 问题的提出,2 Laplace变换的存在定理,2.1 Laplace变换的概念,1. 问题的提出,在第一章讲过，一个函数当它除了满足 Dirichlet 条件以外，还在(，+)内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的 Fourier 变换。但绝对可积的条件是比较强的，许多函数即使是很简单的函数(如单位阶跃函数、正弦、余弦函数以及线性函数等)都不满足这个条件；其次，可以进行 Fourier 变换的函数

2、必须在整个数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间 t 作为自变量的函数往往在 t 0 时是无意义的或者是不需要考虑的，像这样,像这样的函数都不能取 Fourier变换。由此可见，Fourier 变换的应用范围受到相当大的限制。,对于一个函数 j (t), 有可能因为不满足 Fourier变换的条件, 因而不存在 Fourier 变换. 因此, 首先将 j (t) 乘上u(t), 这样t小于零的部分的函数值就都等于0了. 而大家知道在各种函数中, 指数函数 ebt (b0)的上升速度是最快的了, 因而 e-bt 下降的速度也是最快的。因此, 几乎所有的实用函数j (t)乘上u

3、(t) 再乘上e-bt后得到的j (t)u (t) e-bt ，Fourier 变换都存在，此时取Fourier 变换的运算，就产生了 Laplace 变换。,t,f (t),O,t,f (t)u(t)e-bt,O,对函数 j (t) u(t) e-b t (b 0)取Fourier变换, 可得,其中,若再设,则得,由此式所确定的函数 F (s)，实际上是由 f (t) 通过一种的变换得来的，这种变换我们称为 Laplace 变换。,定义 设函数 f (t) 当t 0 时有定义, 而且积分,在 s 的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写为,f (t)称为F(s)的Laplace逆变换(或

4、象原函数)记为,(s是一个复参量),称此式为函数 f (t)的Laplace变换式, 记为,F(s)称为 f (t) 的Laplace变换(或称为象函数)。而,实际上就是 的Fourier变换。,则由上式可以看出， f (t) 的 Laplace 变换，,也可记为 f (t)F(s)。,例1 求单位阶跃函数,解 根据 Laplace 变换的定义, 有,这个积分在 Re(s)0时收敛, 而且有,所以,的Laplace 变换。,例2 求指数函数 f (t)=ekt的Laplace变换(k为实数)。,这个积分在Re(s) k时收敛, 而且有,其实当k为复数时，上式也是成立的，只是收敛区间为Re(s)

5、 Re(k)。,解 根据Laplace变换的定义，有,所以,例 求函数 f (t)=e-2t的Laplace变换。,这个积分在Re(s) -2时收敛, 而且有,其实当k为复数时，上式也是成立的，只是收敛区间为Re(s) Re(k)。,解 根据Laplace变换的定义，有,所以,2. Laplace变换的存在定理,从上面的例题可以看出，Laplace变换存在的条件要比 Fourier 变换存在的条件弱得多，但是对一个函数作 Laplace 也还是要具备一些条件的。那么，一个函数究竟满足什么条件时，它的 Laplace 变换一定存在呢？下面的定理将解决这个问题。,若函数 f (t)满足下列条件：1

6、. 在 t 0 的任一有限区间上分段连续2. 当 t 时, f (t) 的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M 0及 c 0, 使得 | f (t) | Mect, 0 t ,Laplace变换的存在定理,成立(满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数,则 f (t)的Laplace变换,级的，c 为它的增长指数) 。,Laplace变换的存在定理,在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在Re(s) c的半平面内，F (s)为解析函数。,则 f (t)的Laplace变换,M,Mect,f(t),t,O,对于 t m，由于,这

7、个定理的条件是充分的，物理学和工程技术中,常见的函数大都能满足这两个条件：一个函数的增大,是不超过指数级的和函数要绝对可积这两个条件相比，,前者的条件弱得多。u(t)、cos kt、tm 等函数都不满足,Fourier积分定理中绝对可积的条件，但它们都能满足,Laplace变换存在定理中的条件 2：,| u (t) | 1e0t，此处M=1，c=0；,| cos kt | 1e0t，此处M=1，c=0；,，所以t 充分大以后，有,(故t m是M=1，c =1 的指数级增长函数)，即,除了上面介绍的单位阶跃函数和指数函数的,Laplace变换外，下面再求一些常用函数的Laplace,即,这里M=

8、1，c=1。由此可见，对于某些问题(如在线性,系统分析中)，Laplace变换的应用就更为广泛。,变换。,例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的Laplace变换,解 由公式，有,同理可得余弦函数的 Laplace 变换,解 由公式，有,例 求 f (t)=cos2t 的Laplace变换。,解 由公式，有,例 求 f (t)=cos2t 的Laplace变换。,例5 求周期性三角波,且 f (t +2b) = f (t) 的Laplace 变换。,解 根据 Laplace 变换，可得,例5 求周期性三角波,且 f (t +2b) = f (t) 的Laplace 变换。,解 根据

9、 Laplace 变换，可得,，则,而,所以有,由于当 Re(s) 0 时，,所以,从而,下面继续指出，满足 Laplace 变换存在定理条件的函数 f (t) 在 t=0处有界时, 积分,一般地，以 T 为周期的函数 f (t)，即 f (t+T)=f (t),( Re( s ) 0 ),成立。这就是求周期函数的 Laplace 变换公式。,，当 f (t) 在一个周期上是分段连续时，则有,中的下限取0+ 或 0- 不会影响其结果。但当 f (t)在t=0处包含脉冲函数时，则 Laplace 变换的积分下限必须,则 Laplace 变换的积分下限必须明确指出是0+ 还是 0-,因为,当 f

10、(t)在t=0附近有界时，,当 f (t)在t=0处包含了脉冲函数时，,为了考虑这一情况，需将进行 Laplace 变换的函数 f(t)。当 t 0 时有定义扩大为当 t 0及t = 0 的任意一个邻域内有定义。这样，原来的Laplace 变换的定义,应为,但为了书写方便起见，我们仍用原来的形式。,例 设,解 根据周期函数的Laplace变换公式，有,是以,为周期的函数，且在一个周期,内的表达式为,，求,例6 求单位脉冲函数d (t)的Laplace变换。,由上面讨论和公式及性质：,解,有,例7 求函数 f (t)=e-bt d(t) -be-bt u(t)(b0)的Laplace变换。,解,由定义公式有,在今后的实际工作中, 我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏变换, 有现成的拉氏变换表可查, 就如同使用三角函数表, 对数表及积分表一样. 本书已将工程实际中常遇到的一些函数及其拉氏变换列于附录II中, 以备查询。,下面再举一些通过查表求Laplace变换的例子。,例8 求sin 2t sin 3t的 Laplace 变换,解,根据附录公式(20)，在a=2，b=3时，可得,下面再按定义验算，得,例8 求sin 2t sin 3t的 Laplace 变换,解,例9 求,解,这个函数可