刚体的简单运动

1、1,第1节 刚体的平行移动,1.定义,刚体在运动过程中，体内任意一直线始终与其原来位置保持平行，则称刚体作平行移动，简称平动。,直线平动平动刚体内各点的轨迹为直线 曲线平动平动刚体内各点的轨迹为曲线,2,2.定理,刚体平动时，体内各点的运动轨迹形状均相同，且在同一瞬时体内各点的速度和加速度均相同。,刚体平动的问题可归结为点的运动问题来处理。,结论:,3,荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为l，长度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中 t 为时间，单位为s；转角0的单位为rad，试求当t=0和t=2 s时，荡木的中点M的速度和加速度。,4,由于两条钢索O1A和O2B的长度相

2、等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。,为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为,将上式对时间求导，得A点的速度,解：,5,再求一次导，得A点的切向加速度,代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：,A点的法向加速度,6,第2节 刚体绕定轴的转动,1.定义,刚体运动时，体内有一条直线保持不动，而整个刚体绕此直线旋转，则称刚体作定轴转动。,不动直线称为转轴（轴线、

3、轴） 不在转轴上的点作圆周运动,7,2.运动方程(转动方程),转角的正负由右手螺旋法则确定。即从Oz轴正端俯视，自固定平面N0至动平面N，若是逆时针转动，则角为正值，反之，则角为负值。, =f（t）,单位：弧度（rad）,3.角速度,定义：刚体转动的角速度等于转角对时间的一次导数。,物理意义：刚体转动的角速度表示刚体转动的快慢和方向。,单位：弧度/秒（rad/s）,与转速的关系：=n /30 转速n的单位: r/min,8,4.角加速度,物理意义：说明了角速度变化的快慢 如 、 同号 刚体作加速转动 如 、 异号 刚体作减速转动 单位：弧度/秒2（rad/s2）,定义：刚体转动的角加速度等于角

4、速度对时间的一次导数，转角对时间的二次导数, = k = k,角速度矢量,9,5. 几种特殊运动,匀速转动,匀变速转动,10,导杆机构如图所示。已知曲柄OA以匀角速度绕O轴转动，其转动方程=t，通过滑块带动摇杆O1B绕O1轴摆动。设OA=r，OO1=l=2r ，求摇杆O1B的转动方程。,假设任意时刻，机构处于图示位置，由几何关系可知：,解：,11,第3节 转动刚体内各点的速度和加速度,1. 运动方程,S=R ,2. 点的速度,大小: v=R 转动半径与刚体角速度的乘积 方向：沿着轨迹的切线方向 (即与转动半径R垂直) ，指向与一致,12,3. 点的加速度,切向加速度 大小：at=R 转动半径与

5、刚体转动的角加速度的乘积 方向：沿着轨迹的切线方向，指向与 一致 法向加速度 大小：an= R 2 方向：指向转轴(即圆心),点M全加速度的大小,点M全加速度的方向,13,4. 结论：,在每一瞬时,转动刚体上各点的速度和加速度的大小与到转轴的距离成正比; 在每一瞬时,转动刚体上各点的加速度与半径间的夹角相同。,14,已知如图所示的摆绕固定水平轴O的转动方程是 ，式中 表示摆对铅直线的偏角， 0为最大偏角；T 表示摆的周期。已知摆的重心C到轴O的距离为l，试求在初瞬时和经过平衡位置(=0)时重心的速度和加速度。,15,将转动方程对时间求导，得摆的角速度和角加速度,以t = 0代入上式，得摆在初瞬

6、时的角速度和角加速度,此时重心C0的速度和加速度分别为,此瞬时C0点的总加速度a0等于切向加速度，方向指向角减小的一边。,解：,16,此时重心C1的速度和加速度分别为,此瞬时C0点的总加速度a1等于法向加速度方向指向转轴O。,得摆在初瞬时的角速度和角加速度,每次经过平衡位置=0的瞬时，,即,或,a,因而,代入,17,s,B,A,O,M,v,R,半径R=20 cm的滑轮可绕水平轴O转动，轮缘上绕有不能伸长的细绳，绳的另一端与滑轮固连，另一端则系有重物A，设物体A从位置B出发，以匀加速度a =4.9 m/s2向下降落，初速v0=4 m/s，求当物体落下距离s =2 m时轮缘上一点 M 的速度和加速

7、度。,18,根据 v2 v02 = 2as，得M点的速度,M点的法向加速度,M点的切向加速度,M点的总加速度,解:,s,B,A,O,M,v,R,19,如图a，b分别表示一对外啮合和内啮合的圆柱齿轮。已知齿轮的角速度是1 ，角加速度是1，试求齿轮的角速度2和角加速度2 ，齿轮和的节圆半径分别是R1和R2，齿数分别是z1和z2。,O1,O2,O1,O2,（a）,（b）,20,（b）,设A，B是齿轮，节圆上相啮合的点。,但,O1,O2,（a）,故得,在这两啮合点间无相对滑动，因而它们具有相等的速度大小，同样也具有相等的切向加速度。于是有,解：,转向分别如图所示。,O1,O2,传动比,21,滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴O的转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。,A,O,M,2