微分方程的经典求解方法

1、稳态响应,正弦输入 多项式输入,第二节 微分方程的经典求法,稳态响应：正弦输入,c(t)ss 的 n 阶微分为,2,3,w为积分的最高阶次,稳态响应,稳态响应：正弦输入,4,当输入为正弦信号时，x=Xsint，则矢量方程为,注意，一个新词，频率传递函数G(j) ，出现了。,稳态响应,稳态响应：正弦输入,5,微分方程的一般形式为,稳态响应,稳态响应：多项式输入,6,稳态响应：多项式输入,系数 b0, b1, , bq 可以通过令方程左右两端具有关于 t 的相同阶次项的相应系数相等而计算得到,方程(*)右端，t 的最高阶数是 k，因此，t k 肯定也出现在方程的左端,方程左端 t 的最高阶数取决于

2、最低阶微分项 D-wc，并等于 q 加上最低阶微分项的阶数。在假设的解中，t 的最高阶项的阶数是,稳态响应,(*),(*),7,阶跃函数输入信号：,稳态响应,稳态响应：阶跃函数输入,8,斜坡函数输入信号：,稳态响应,稳态响应：斜坡函数输入,暂态响应,经典方法 拉普拉斯变换方法,10,微分方程的解,有两种方法求解线性微分方程的解（时间响应） 第一，直接求解微分方程，分别得到方程的特解和通解，然后将两部分解相加，得到方程的全解,另一种方法是利用拉普拉斯变换,暂态响应,11,微分方程的解：经典方法,线性微分方程的一般解（响应）：,特解,解的稳态分量：与输入有同样的形式,解的暂态分量：相应齐次方程的解

3、,暂态响应的形式仅仅取决于特征方程的根,通解,+,暂态响应,12,非线性微分方程的响应形式也取决于初始条件或边界条件、特征方程的根、以及稳态分量的瞬时值,线性微分方程的全解（响应）：,微分方程的解：经典方法,暂态响应,考察一般微分方程所对应的齐次方程：,假设方程的解有如下形式,暂态响应：经典方法,暂态响应,13,C(s)的极点 m 可以画在 S 平面上。如果所有的 mk0，则系统是不稳定的。,对于特征方程,暂态响应：经典方法,暂态响应,14,15,由于暂态解中的系数是必须由初始条件决定，因此为了确定这些系数，必须要求提供v+w 个已知的初始条件,注意，如果特征方程存在复根 mk 、mk+1（复

4、根总是成对出现，称为共轭复根）,那么，响应 ct=?,如果存在 p 重根 mq，则系统暂态响应将相应地包含如下形式的函数,对于特征方程,暂态响应：经典方法,暂态响应,系统暂态响应将相应地包含如下形式的函数,对于共轭复根,暂态响应：经典方法,暂态响应,16,与 是共轭复数,17,这一项函数称为指数衰减正弦曲线，如果 是负数，则函数曲线如右图所示，系统时间响应总是在包络线的两条分支之间变化。,如果特征方程存在共轭复根，则系统暂态响应将包含如下图所示形式的函数,只有当 是负数时，系统才是稳定的；如果 是正数，则系统不稳定，这是我们要避免的情况。,暂态响应,暂态响应：经典方法,阻尼比 和无阻尼振荡频率

5、 n,当系统特征方程的根是一对共轭复根时，方程将具有二次方程式形式,暂态响应,18,19,用 和 n分析欠阻尼 (0 1) 二阶系统,暂态响应,阻尼比 和无阻尼振荡频率 n,20,n 越大，则系统暂态衰减越快,问题： 1) 当 =0 时，暂态响应将是如何的？当 0 或 0 和 0 时，暂态相应有什么区别？,暂态响应,阻尼比 和无阻尼振荡频率 n,21,当 0 1 时，系统特征方程具有共轭复根，系统暂态是如 形式的衰减正弦函数，欠阻尼,当 1 时，系统特征方程具有实根，系统响应是过阻尼,当 0 时，系统暂态随时间衰减，响应曲线 c(t) 将趋向于稳态值，这意味着系统是稳定的,当 0 时，系统暂态

6、将随时间增加，响应是不稳定的，这意味着系统不稳定,无阻尼振荡频率 n 定义为系统暂态持续振荡时的振荡频率，此时阻尼为零(b1=0),暂态响应,阻尼比 和无阻尼振荡频率 n,思考题：给定一个二阶系统，在过阻尼情况下，1）试证明：系统的输出响应函数是单调函数；2）请问：输出曲线是否一定是单调减的？请说明原因。,22,时间常数定义,暂态项具有指数形式Aemt，当 m=-a(a0) 为负实数时，Ae-at 具有如图3.3 所示的曲线形式（假定A=1）,时间常数 T：使e的指数部分等于1的时间值。因此有，,时间常数定义,23,在一个时间常数所对应的时间区间内，指数函数 e-at 的值将从 1 下降至 0.368,从几何上看，Ae-at曲线在 t=0 处的切线与时间轴的相交点的值等于时间常数 T,例：,时间常数定义,时间常数