第二章 力系的简化和平衡.ppt

1、第二章,力系的简化与平衡,退出,目的：求出各种静定结构的约束反力 重点：(1) 利用力的平移法则导出物体(刚体)的平衡条件 (2) 利用各种形式的平衡条件求解物体的约束反力 (注意有些平衡条件的应用限制),力系的简化与平衡,退出,2-1 汇交力系的简化,2-2 力矩和力偶,2-3 力的平移法则,2-5 例题,2-4 空间力系的简化和平衡静不定问题,力系的简化与平衡,退出,2-1 汇交力系的简化,1.平面汇交力系,1)几何法,2)解析法(力的投影是代数值),力系的简化与平衡,end,用解析法求合力，可先求其在 x,y 轴上的投影：,上式称合力投影定理。 由此可求出此汇交力系的合力,设合力和 x

2、轴所夹的锐角为a，则合力及其方向 ：,(2-5),(2-6),x 轴上投影,y 轴上投影,力系的简化与平衡,end,2.空间汇交力系的简化,空间汇交力系的合力及其方向：,力系的简化与平衡,end,2-2 力矩和力偶,1. 力对点的矩,2. 力偶,m=Fh,力矩也是矢量，如图,(1)力偶没有合力。它在坐标轴上的投影为零。 (2)力偶对其作用平面内任一点的力矩都等于其力偶矩本身的大小。 (3)只要不改变力偶的转向和力偶矩的大小, 力偶可在其作用平面内 任意移动和转动,而且也可任意改变其力和力偶臂的大小)。 力偶矩是一个自由矢量。,力系的简化与平衡,end,2-3 力的平移法则,作用在刚体上的力F

3、可以平行移动到任一点, 但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F 对该点之矩 mo(F)。,力系的简化与平衡,end,2-4 空间力系的简化和平衡静不定问题,进一步简化可得一主矢和一主矩。,力系的简化与平衡,设物体受到空间 n 个力的作用，如图(a),每个力按照上节的平移法则，向O点平移。每个力移到 O 点后都会在O点的作用一个力和一个富家力偶。,end,空间力系简化的最后结果可有以下几种:,(1) M0,R=0 时， 力偶,(2) R0, =0 时， 合力 R=Smo(Fi) 作用点在O点;,(3) R0,M 0 时， 力系的简化应分几种情况:, 当RM 时， 合力R=R，只是合力的作

4、用线移到距O点距离为h=M/R 的O 处 (图2-19)。,(2-13),此即空间力系的合力矩定理。,由于力矩为矢量，故如将上式向z 轴投影，可得合力矩投影定理:,(2-14),此式有时也称为合力矩定理：力系的合力对某轴之矩即等于系中各力对该轴的力矩的代数和。,力系的简化与平衡,end, 当 R / M0 时, 力系可简化为一力螺旋。,它不能再简化了。它是力系简化的又一形式，也是力系简化的最一般形式。, 当 R 和 M0 成某一夹角a 时,则可将M0分解为平行于和垂直于的两分量M0 和M0” 。M0” 和R 仍可合成一个距 O点距离为h= M0sina / R 处的一个力R, 而M0平行移动后

5、和力R仍可组成一力螺旋，只是其中的力偶为 M0cosa 。,当 R=0；Mo=0 时，则力系平衡。,力系的简化与平衡,end,按照合力投影定理和合力矩投影定理,上述两矢量式可解析地写成以下的六个式子:,（2-15）,此即空间力系的平衡方程。它有六个方程，可解六个未知数。,对于空间平行力系(如图),故独立的平衡方程就只有三个，即:,(2-16),力系的简化与平衡,图2-21,end,至于具体解题时，空间力在轴上的投影已在前面讲过，空间力对轴之矩下节再讲。 对于在xoy平面内的平面力系其平衡方程为：,( x 轴不能和AB连线垂直),(A,B,C三点不能在一直线上),(2-17),(2-18),(2

6、-19),两投影一力矩式：,两力矩一投影式：,三力矩式：,力系的简化与平衡,end,对于空间汇交力系和平面汇交力系，其平衡方程分别为：,为了使解算过程简单，一般坐标轴尽量选得和未知力垂直，力矩点常选在未知力的交点处。,具有”多余约束”的静不定结构，求解其约束反力，除需要列出其平衡方程外，尚需考虑共变形。,力系的简化与平衡,end,(3) 力对轴之矩,力系的简化与平衡,end,用解析方法表示，可得如下公式(图2-26):,F对x和y轴之矩也可类似地求出，也可按坐标x (X), y (Y) ,z (Z) 轮换的方法直接写出,力系的简化与平衡,end,2-5 例题,例2-1,解：Y=0 T1 sin

7、45o- T2 sin45o = 0 X=0 -Scos30o+2T1 cos45ocos60o=0 Z=0 -W-Ssin30o+2T1cos45osin60o=0,例2-2,解：X=0, Pcos45=0 Y=0, qLPcos45=0 mA(F)=0, qLL/2Pcos45L+m=0,力系的简化与平衡,end,例2-3,解： X=0, XA+ NBcos45=0 Y=0, YA- P+ NBsin45=0 mA(F)=0, NBcos45o1-P1.5=0,XA= -15KN, YA= -5KN, NB=21.2KN,计算结果中的负号，表示所设未知力的方向和实际力的方向相反 。,力系的

8、简化与平衡,(a),end,例2-4 塔式起重机如图。设起重机的重量W 的作用线离右轨B 的距离为c ，轨距为b ，载重P 离右轨B的最远距离为l ,并设平衡物重Q 的作用线离左轨A的距离为a 。今欲使起重机满载，且载重P在最远处和空载时均不倾倒，试求平衡重物的重量的大小。,解: (1) P满载时 ,绕B点翻转,力系的简化与平衡,(a),欲使起重机满载而且载重P在最远处时不致绕B点倾倒，必须 YA 0, 将此条件代入(a)式，可得此时平衡重Q 应为:,(b),由平衡方程可得:,end,(2) 空载时，P=0，绕A点翻转。,(c),力系的简化与平衡,由平衡方程得,欲使起重机空载时不致绕 A 点倾

9、倒，必须YB0,将此条件代入(c)式，可得此时平衡重Q应为:,(d),综上所述可知:为了保证起重机满载和空载时均不倾倒，平衡重Q的大小应为:,(e),end,例2-5 三个铰内有6个未知反力， 如果只取一个平衡对象，只能得到3个独立的平衡方程。必须再取一个平衡对象，这样又可得到3个平衡方程，总共6个方程就可解出此 6个未知数。,取整体平衡有:,力系的简化与平衡,end,再取左半折杆平衡有:,为了校核以上的结果，可以再取右边的折杆为平衡对象，列出它的平衡方程，将求得的结果代入，验算是否满足平衡条件,力系的简化与平衡,end,例2-7 桁架各杆自重不计，其尺寸和受力如图所示。求各杆的内力。,由于结

10、构和荷载对称，易知,由于桁架内各杆均为二力杆, 故可用节点法求解杆的内力,A点: Y=0,X=0,力系的简化与平衡,A,C,D,E,F,G,H,B,1,7,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,13,(b),end,F点: X=0,Y=0,C点: Y=0,X=0,D点: Y=0,如果只需求出桁架中某些杆，如4,5.6 杆的内力，也可采用截面法，将桁架分成两部分。,力系的简化与平衡,(b),end,例2-8 吊装用的起重桅杆如图所示。当起重臂转到和桅杆的对称面成a 角的位置时，求两缆绳内的拉力和支座 A处的反力。,力系的简化与平衡,end,X=0，,Y=0，,Z=0，,因缆绳只能受拉力，

11、即必须T1 0 和T2 0。由此可求得起重臂的旋转范围为 -45 a 45,如超出此范围，起重吊将向缆绳所在的一方倾倒而发生严重的事故。,力系的简化与平衡,end,2-6 物体的重心,重心：物体重力这个平行力系的合力的作用点。,物体的重心相对于物体来说是个固定的点，不论物体如何放置，其合力的作用线必过此点。,当重力平行于z轴时，对y取矩，有,对x取矩，有,力系的简化与平衡,end,设将物体和坐标轴同时转动，使重力和y轴平行，同样由合力矩定理，如对x轴取矩，有,对于均质物体，如物体具有对称面、对称轴和对称中心，则此物体的重心必在其对称面、对称轴和对称中心上。,力系的简化与平衡,end,对于均质物体，如物体具有对称面、对称轴和对称中心，则此物体的重心必在其对称面、对称轴和对称中心上。,故均质物体的重心坐标只和物体的几何形状和尺寸有关，故有时将此种物体的重心坐标值所决定的点也称为此物体的形心。,对平面图的形形心坐标值为:,力系的简化与平衡,end,当物体总重W可分成有限个重力, 且每个重力,的作用点的坐标已知时，有,力系的简化与平衡,对均质物体，由于 W和体积V 成正比，可写成：,end,例2-10 由于半球体有对称轴z，故其形心必在对称轴上。取坐标轴如图所示，则其z坐标处的微体积为:,将它们代入(