高中数学 矩阵与变换同步导学苏教版 选修4-2（通用）

1、第一课二阶矩阵和平面向量检查点扫描1.了解矩阵的相关知识在数学中，数字(或字母)的矩形阵列，如，被称为矩阵。通常，我们用大写粗体的拉丁字母A、B、或(aij)来表示矩阵，其中I和J表示元素所在的行和列。在同一水平行中按原始顺序排列的行数(或字母)称为矩阵的行数，在同一垂直行中按原始顺序排列的列数(或字母)称为矩阵的列数，构成矩阵的每个数(或字母)称为矩阵和元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵。平面上的矢量坐标和平面上的点P(x，y)可以看作是行矩阵或列矩阵。因此，我们也被称为行向量和列向量。在这本书里，我们把平面向量(x，y)的坐标写成。当两个矩阵A和B具有相同的行数和列数，并且相应的元素相等

2、时，则A=B .2.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则行矩阵和列矩阵的乘法规则：=二阶矩阵与列向量的乘法规则：=通常，只有当当前矩阵的列数等于下一个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘3.理解二阶矩阵与平面列向量相乘的几何意义将一个列向量乘以22矩阵M，得到一个新的列向量。如果列向量代表一个点P(x，y)，那么左列向量乘以矩阵M对应于平面上的一个新点。对于平面上的任意点(向量)(x，y)，如果它总是能够根据相应的规则t对应于一个唯一的点(向量)，那么t被称为变换，其缩写为：t:或t:一般来说，对于平面向量变换t，如果变换规则是t:=，那么根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则，可以将其改写为t:=，反之

3、亦然(a，b，c，d r)由矩阵m确定的变换通常被记录为TM。根据变换的定义，它是平面上点集到自身的映射，平面上的一个图形在TM的作用下得到一个新的图形。基础培训1.写出方程中变量x和y的系数矩阵。2.如果A=B，找出A，B，C和d .3.一家公司负责从两个矿区向三个城市输送煤炭：从A矿区向A市、B市和C市输送的煤炭量分别为100万吨、140万吨和160万吨；乙矿区向甲、乙、丙三市输送的煤炭量分别为300万吨、260万吨和540万吨；上述结果分别用23矩阵和32矩阵表示。4.分别计算下列乘法运算的结果5.在矩阵变换下求点A (3，6)的点。6、已知变换=，试着用坐标变换的形式写出来。问题解决指

4、南例1。计算：(1) (2)解决方案：(1)原始公式=(2)原始公式=备注：掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则是解决问题的关键例2:已知平面上正方形ABCD(顺时针)的四个顶点用矩阵表示，得到a、b、c、d的值和正方形ABCD的面积。解：正方形ABCD的四个顶点的坐标依次为A (0，0)，B(a，C)，C(0，4)和D(b，D)，这样a=-2，b=2，c=d=2，|AB|=2，正方形ABCD的面积为8。注释：根据顶点矩阵写出正方形顶点的坐标，然后利用正方形边长、对角线相等和垂直等分等相关的定量关系计算出a、b、c、d的值和正方形的面积。例3。众所周知，如果A=B，求x和y .解：由矩阵的等式定

5、义；解：x=y=-1备注：两个矩阵相等的充要条件是行数和列数相等，对应位置的元素相等。例4:给定转换，试着用矩阵乘法的形式来写。解决方法：根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则备注：一般来说，对于平面向量变换T，如果变换规则是t:=，那么根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则，可以改写为t:=。示例5:如果A=BC，则查找当1 x 2时，1x2上函数的最小值为。当x 0时沿X轴正方向移动，当ky 0时沿X轴负方向移动，当ky=0时静止不动。剪切变换具有以下性质：(1)X轴上的点是不动点；(2)在保持图形面积不变的情况下，可以改变点之间的距离和夹角，点的移动是沿着坐标轴的。剪切变换的本质是成比例地移动(

6、纵坐标)。2.理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，理解恒等式矩阵一般来说，二阶非零矩阵的相应变换是将直线变为直线，从直线到直线的变换称为线性变换。本节研究的六种变换都是线性变换。当研究矩阵变换后平面上的多边形或直线图形时，只需要研究顶点(或端点)的变化结果。3.理解同一性、拉伸和压缩、反射、旋转、投影和剪切变换这六种变换之间的关系例如，恒等式变换可以看作是拉伸、压缩、旋转和剪切变换的特例；关于坐标原点的中心反射变换可以看作是围绕原点的角旋转变换，也可以看作是关于X轴的反射和关于Y轴的反射的组合。绕原点的角度旋转变换可以看作是先绕原点的角度旋转变换，然后绕原点的角度旋转变换等等。基础培训1.已

7、知四边形ABCD的顶点分别是a (-1，0)、b (1，0)、c (1，1)和d (-1，1)，并且四边形ABCD在矩阵变换的作用下变成正方形，然后=()。甲、乙、2 C、3 D、2.如果矩阵M1=，M2=和M3=是已知的，由M1，M2和M3确定的变换分别是()a、恒等式变换、反射变换、投影变换b、恒等式变换、投影变换和反射变换投影变换、反射变换、恒等式变换、反射变换、恒等式变换和投影变换ABCD1-1Oxy1-13.通过对应于矩阵的直线x y=5的变换获得的图是()直线x y=5 B，直线y=5 C，直线x=5 D，点(0，5)4.围绕原点逆时针旋转矢量，得到矢量，矢量的坐标为=_ _ _

8、_ _ _ _ _ _ _ _ _。5.由矩阵确定的变换后的平方ABCD的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _。6.i注释：解决这类问题的关键是通过变换矩阵来建立曲线上各点坐标之间的关系。例2:如果在矩阵m对应的反射变换下，曲线y=x2(x0)为y=x2(x0)，则求矩阵m .解决方法：从两条曲线的关系来看：对应于矩阵m的反射变换是以y轴为轴的反射变换，因此m=备注：在解决这类问题时，首先要确定两条曲线之间的反射变换是中心对称反射变换还是轴对称变换。如果是轴对称变换，我们可以进一步确定对称轴，然后写出变换矩阵。例3:如果ABC在对应于矩阵m的旋转变换下得到ABC，其中A(0，0)，B(1)

9、，C(-0，2)，A(0，0)，C(-，1)，试着求出矩阵m和B的坐标。解，以问题的旋转中心为原点，设置反旋转角度为，那么旋转变换矩阵是m=所以 m=让b(x，y)，然后=备注：当逆时针旋转角度为0时，旋转矩阵为0。如果顺时针旋转角度为0，则将矩阵更改为-。例4:已知在矩阵m的作用下，点A(11 1，2)变成点A(11，5)，点B(5 3，1)变成点B(5，1)，点C(y x，0)变成点C(y，2)。获取(2)x和y值。解：(1)让矩阵M=，解，M=(2)获得备注：待定系数法通常用于求变换矩阵。例5，给定二阶矩阵m，对于任何向量，证明：证据：假设，获取证书评论：更一般地说，可以证明：这里是任何

10、实数。本课总结1.基础知识：用矩阵表示平面上常见的几何变换，掌握矩阵的表示和几何意义的恒等式、延拓和压缩、反射、旋转、投影和剪切变换2.基本功：根据各种变换矩阵，确定已知图形对应变换下的图形，根据两个图形之间的关系，得到变换矩阵3.基本思想或方法：等效变换的灵活应用、函数和方程的思想、待定系数法和代换法求解曲线方程能力测试1.如果拉伸-压缩变换矩阵下的点(-1，k)的对应点的坐标是(-2，-4)，那么m和k的值分别是()a、2，4B、-2，4 C、2、-4 D、-2、-42.假设t是以ox轴为轴的反射变换，那么变换t的矩阵是()甲、乙、丙、丁、3.假设A是对ox轴的正交变换，A将点P(x，y)变为点P(x，0)，B是对oy轴的正交变换，B将点P(x，y)变为点P(0，y)，那么变换矩阵A和B是()。甲、乙、丙、丁、4.在一定的旋转变换中，顺时针旋转对应的变换矩阵是_ _ _ _ _。5.在矩阵作用下对曲线进行变换得到的图形对应的曲线方程是_ _ _ _ _ _ _ _。6.当曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90后，曲线方程为_ _ _ _ _，对应于变换