D12-2数项级数及审敛法

1、二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数 .,单调递增,收敛 ,也收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,都有,定理2 (比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,证:,设对一切,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有,是两个正项级数,(常数 k 0

2、 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2) 若弱级数,因此,这说明强级数,也发散 .,也收敛 .,发散,收敛,弱级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .,时,2) 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 判别下列级

3、数的敛散性:,解,发散,故原级数发散,收敛,故原级数收敛.,定理3. (比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 判别级数,的敛散性 .,解:,的敛散性.,例4. 判别级数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 判别级数的敛散性:,解

4、:,发散 ,故原级数发散 .,发散 ,故原级数发散 .,解:,收敛 ,故原级数收敛 .,定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,达朗贝尔是法国著名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了大量课题完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有八卷巨著数学手册、力学专著动力学、23卷的文集、百科全书的序言等等。他的很多研究成果记载于宇宙体系的几个要点研究中。,达朗贝尔是十八世纪少数几个把收敛级

5、数和发散级数分开的数学家之一，并且他还提出了一种判别级数绝对收敛的方法达朗贝尔判别法，即现在还使用的比值判别法；他同时是三角级数理论的奠基人；达朗贝尔为偏微分方程的出现也做出了巨大的贡献.另外，达朗贝尔在复数的性质、概率论等方面也都有所研究，而且他还很早就证明了代数基本定理。,例5. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,解:,级数收敛.,例6.判别级数的敛散性:,级数发散.,级数收敛.,例6.判别级数的敛散性:,解.,级数收敛.,收敛,故原级数收敛.,收敛,故原级数收敛.,而,定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,数, 且,机

6、动 目录 上页 下页 返回 结束,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,说明 :,例如 , p 级数,柯西1789年8月2l日出生生于巴黎，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式.在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，据说，法国科学院会刊创刊的时候，由於柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院後来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到

7、其它地方,例7. 判别级数的敛散性:,解.,级数收敛.,收敛.,原级数收敛.,如级数,n 为奇数,n 为偶数,但因为,级数收敛,说明:,比值判别法成立,根值判别法成立,二 、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,戈特弗里德威廉凡莱布尼茨，德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的

8、创建人。他的研究成果还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口。,1661年，15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，1663年5月获学士学位。1664年1月获哲学硕士学位。1667年2月获法学博士学位。,他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。然而，由于他创建了微积分，并精心设计了非常巧妙简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。,1. 判别下列级数的敛散性:,由Leibnitz 判别法知，原级数收敛,所以原级数

9、发散,注意,Leibnitz 判别法的条件只是充分条件，而不是必要条件。不能由交错级数不满足Leibnitz 判别法的条件而推断出级数发散。,收敛,收敛,2.用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、绝对收敛与条件收敛,定义:,若,收敛 ,绝对收敛 ；,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,发散 ,条件收敛 ；,则称,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,定理7.,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,收敛 ,绝对收敛 ；,则,1).逆命题不成立.,即收敛的级数未必绝对收敛.,则可以断定,发散.,注意,定理8,设任意项级数,例3. 判定级数的敛散性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?,解,故原级数绝对收敛.,收敛,故原级数绝对收敛.,（3）,解,原级数发散.,（4）,解,原级数发散.,原级数绝对收敛.,(7),解,可见 ，,条件收敛,发散.,内容小结,1. 利用部分和数列的极限