李雅普诺夫方法

1、第三章动态系统的稳定性和李雅夫诺夫分析方法，1稳定性基本概念，1，外部稳定性和内部稳定性，1外部稳定性，线性因果系统考虑，0初始条件下，如果所有边界输入都有对应的输出边界，则称为外部稳定性。系统的外部稳定性也称为边界输入边界输出(BIBO)稳定性。对于线性常数连续系统，外部稳定的充电条件是系统传递函数的所有极点都有负实值。非零初始状态引起的系统自由运动是有限的，即2表示内部稳定性，考虑输入量为零时的线性系统，满足渐近属性表示外部扰动消失后系统从初始偏差状态返回到原始平衡状态的能力。它进一步揭示了系统稳定性的本质特征。这两种解释都反映了在一定条件下完全等效稳定的系统结构属性。内部稳定性理论主要由

2、李亚普诺夫(A.M.Lyapunov)建立，分析系统稳定性的李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法，2，李亚普诺夫稳定性基本概念，(1)系统运动和平衡状态，1自治系统，自治系统：线性系统系统的零输入响应。通常用表示。对于非线性系统，通常存在多个平衡状态。3。平衡状态，如果有的话，对所有T成立，称为状态上系统的平衡状态。如果A不特殊，唯一的平衡状态是A奇怪，平衡状态不是唯一的，那么通常自治系统的平衡状态不是唯一的。线性常数连续系统的平衡状态如下：如果平衡状态在状态空间中徐璐分离，则为孤立平衡状态。所有孤立的平衡状态都可以通过坐标系移动转换为零平衡状态，因此讨论零平衡状态的稳定性是很常见的。可以在状态

3、空间中将下食看作球体的中心，半径的超球体。球体显示为：以常识为中心，以思考半径的秒球，记录球场。要查看的字段取决于给定的实数和初始时间。(b)定义稳定性，1。稳定性，设置为系统的平衡状态，如果存在与给定的错误之一相对应的另一个错误，则均衡状态称为稳定，以便在满足表达式的初始状态下开始的扰动运动都能得到满足。从球内任何地点出发的运动对一切都不超过球。、平衡状态是稳定的几何解释。也就是说，在2D状态空间中，零平衡状态是稳定的几何分析，如右图所示。上述稳定性保证了系统扰动运动的界限，通常在李雅普诺夫的意义上被称为稳定，与工程意义上的稳定有区别。、在Lyapunov的意义上不仅是稳定的，而且平衡状态被

4、称为渐近稳定。从区内任何一个点出发的运动，对一切都不超越区，在那个时候，最终收敛到平衡状态。2 .渐近稳定性，渐近性，几何分析：二维状态空间中零平衡状态渐近稳定的几何分析与右图所示相同。满足渐近稳定的求球只是状态空间的有限部分，均衡状态局部称为渐近稳定，渐近稳定吸引区，意味着只有从该地区出发的扰动运动才能被“吸引”到均衡状态。、非线性系统通常只能是小范围的渐近稳定性。不相关的，一致的渐近稳定性。正常系统一致渐近稳定。如果为，则全局渐近稳定性。无论初始值偏离平衡点的大小如何(状态空间中的所有点)，都具有渐近稳定性特性。状态空间中只能有一个平衡曹征点。满足上述两点的全局一致性渐近稳定性。渐近稳定性

5、等于工程稳定性的概念。边界，渐近性，3 .不稳定、2D状态空间中零平衡状态不稳定的几何图形解释如下。对于非线性系统，可能倾向于偏离特定平衡点或极限环。钟摆是Lyapunov意义上稳定或越来越近的稳定性的例子。线性常数离散系统平衡状态渐近稳定的充电条件是系统矩阵中所有特征值的强度小于1。2利亚夫诺夫稳定性分析方法，1，利亚夫诺夫第一法，也称为间接法，通过系统状态方程的解释分析系统的稳定性，更适合于线性系统和可线性化的非线性系统。1线性系统情况，线性常数连续系统平衡状态渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征值都有负的实际部分。符合经典控制理论的各种标准，2非线性系统情况，对于非本质非线性系统，可

6、以在特定条件下使用近似线性化模型研究平衡点的稳定性。非线性自治系统：N维非线性矢量函数，对于每个状态变量是连续的。是系统的平衡点。高阶导数的和，3) A的特征值的实际部分是0，其他部分都有负的实际部分，非线性系统的稳定性无法得出明确的结论。取决于的高阶导数。一般而言，您可以使用其他方法(例如寻找适当的Lyapunov函数)来决定稳定性。2)A的特征值至少有一个具有正实性，非线性系统不稳定。1)当A的所有特征值都有负实体时，非线性系统变得越来越稳定。根据邻居研究平衡点的稳定性。也就是说，李雅普诺夫第一法需要求出系统的整体特征值，这在高维系统中存在一定的困难，在经典控制理论中，提出了线性常数系统的

7、有效工程方法。该方法可视为线性常数系统的工程应用。(约翰f肯尼迪，Northern Exposure(美国电视剧)，设置为N维矢量的标量函数；对于所有非零矢量，如，函数riyaf nof通常与状态和时间相关，如果没有时间，则表示为。第二，李雅普诺夫第二法，又称直接法。它受到了“一个自治系统在运动过程中伴随能量变化”的物理事实的启发。不求解系统的运动方程，不需要直接分析和判断系统的稳定性能。具有很大的普遍性。为了说明系统的能量关系，在任何系统中都找不到能量函数。因此，李雅普诺夫引入了能量函数的基本属性正标量函数，并提供了随系统运动而变化的信息。这种“光义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更加普遍。(

8、a)初步知识，1标量函数的正态，如果为负，则为正韩鼎祥；如果，正半集；如果正数可以变成负数，则不确定。如果，负的反正；2 .二次函数，将x设置为N维向量，标量函数，x的二次函数，其正则性与加权矩阵P的正则性匹配。加权矩阵p是实际对称矩阵，p是正半程。如果，p为负数；p的额定值由Sylvester准则确定。p为正数；，(2)否定；(1)是正数。系统的平衡状态渐近稳定，称为系统的李雅普诺夫函数。此外，如果满意的话，系统的状态方程是，平衡状态是，满足条件时：(1)是正态。(2)为负半程，但在非零解运动轨迹中始终不为零。系统的平衡状态渐近稳定。同样，如果(3)满足，则平衡状态是广义渐近稳定。条件(2)

9、表示在某个地方发生但不固定的情况。在这种情况下，系统在向“能量”逐渐变小的方向移动的过程中与相同的“能量”面相切，但通过接触点后不停留，而是通向最小“能量”的平衡点，因此平衡状态仍然渐近稳定。3在李雅普诺夫的意义上，稳定的判定定理：如果条件满足：(1)是修正。(2)是负半程。系统的平衡状态在李雅普诺夫的意义上是稳定的。条件(2)不强调非恒定的0。也就是说，在系统以较小的“能量”方向移动的同时，可以形成与相同“能量”面相切但不再离开相应“能量”面的边界但不渐近的运动状态。4不稳定判断定理：条件满足时：(1)为正。(2)正韩鼎祥；系统的平衡状态不稳定。条件(2)表示随着系统的移动，“能量”函数增大

10、。也就是说，运动沿着逐渐远离平衡点的大“能量”方向进行。以上定理的条件(2)为正半小时的情况下，可以推断出，(1)总是非零的情况下，平衡点不稳定的两种情况。(2)诗有一定的0，此时这个平衡点在李雅普诺夫的意义上是稳定的。(3)对李雅普诺夫第二法的讨论，(1)上述结论适用于任何性质的系统，但针对上述系统，李雅普诺夫函数一般不包含时间变量。(2)上述结论的条件只是充分的条件，如果找不到满足定理条件的李雅普诺夫函数，就不能对系统的相应稳定性作出否定的结论。(3)对于给定系统，李雅普诺夫函数通常不是唯一的，但不会影响结论的一致性。(4)在上述结论中，除了明确指出稳定性的广泛特性外，系统还在平衡状态附近

11、的一个邻居内表现出稳定的性能，即局部稳定的性能。为了不确定，根据李雅普诺夫第二法的相关定理，不能对平衡点稳定性能做出判断。负半定，根据上面的定理，必须调查是否始终为零。，还有：所以为了一致的大范围渐近稳定。系统是固定的系统，选择，(3)二次函数，具有相同的原理，以保持一致的大范围渐近稳定。李雅普诺夫函数不唯一，结构没有一般规律。3线性系统的Lyapunov稳定性分析方法，对于线性系统，经常选择二次函数作为李雅普诺夫函数，得出更有效的判别定理。1，常数连续系统，二次标量函数，(P为正，实对称)，线性常数连续系统渐近稳定性确定定理，要注意的一点：(1)系统在平衡点逐渐稳定的时候，A的特征值都有负实

12、值，(2)定理中任意取正实对称矩阵Q，但为了简化矩阵方程的求解，经常取正对角矩阵或单位矩阵。(3) q理想的情况下为正的反正。(4)正实对称矩阵P是系统的李雅夫诺夫函数。、P、二次函数取二次标量函数，匹配朱正廷和匹配边界的实际对称矩阵，显然是朱正廷函数，时变连续系统在平衡点上匹配，大范围渐近稳定的必要条件是满足任意给定匹配朱正廷和匹配边界的实际对称时变矩阵的矩阵方程：线性时变连续系统渐近稳定判定定理：线性时变，Q(t)是均匀限定的实际对称时变矩阵线性常数离散系统是平衡点大范围渐近稳定性的充分条件，给定的正定对称矩阵Q、正定对称矩阵p、矩阵方程满足：3、常数离散系统、系统的唯一平衡状态、二阶标量

13、函数：类似地，线性常数离散系统的渐近稳定性确定定理：Q是实际对称矩阵，(和非零常数)，Selvester准则规定，要使P成为正定矩阵，需要，和，解：G是常数矩阵，是唯一的平衡状态。这时有二次函数，系统的李雅普诺夫函数，然后是，所以平衡状态是大范围的一致渐近稳定。这与采样控制系统经典控制理论的稳定性标准(特征值在单位圆内)一致。4，时变离散系统，设置为系统的唯一平衡状态，二阶标量函数，P(k)为常数正实对称时变矩阵，函数的增量函数为，Q(k)为实际对称时变矩阵，线性时变矩阵(2)非线性系统的渐近稳定平衡状态往往是局部的。(3)构建满足李雅普诺夫第二法稳定性判定的李雅普诺夫函数更加困难，很多时候找不到合适的李雅普诺夫函数，无法做出判断。针对非线性系统的稳定性提出的一些分析方法大部分适用于特定系统。本部分介绍了基于李雅普诺夫第二种方法的两种相对简单实用的非线性系统稳定性分析方法。因