第四章 热传导问题的数值解法.ppt

1、第四章热传导问题的数值解法,4-1 导热问题数值求解的基本思想 4-2 内节点离散方程的建立方法 4-3 边界节点离散方程的建立及代 数方程的求解 4-4 非稳态导热问题的数值解法,有限差分法的基本思想：用有限小的差分、差商近似代替无限小的微分、微商，用代数形式的差分方程近似代替微分方程，并通过求解差分方程求取有限时刻物体有限节点上的温度值。,4-1 导热问题数值求解的基本思想,数值计算方法的基本思想,将时间、空间坐标系中连续的物理量场，用有限离散点上数值的集合来代替，并通过求解离散点物理量组成的代数方程来求解，所得的解称为数值解。,1,2,6,3,4,5,数值计算方法的优点： 多维 变物性

2、复杂几何形状 复杂边界,4-1 导热问题数值求解的基本思想,二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题,Step-1: 控制方程及边界条件,4-1 导热问题数值求解的基本思想,二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题,Step-2: 计算域离散化,基本概念： 网格线 节点（内节点、边界节点） 控制容积 界面线 步长 均匀/非均匀网格,4-1 导热问题数值求解的基本思想,二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题,Step-3: 建立节点离散（代数）方程,基本方法： Taylor（泰勒）级数展开法 控制容积平衡法(热平衡法),内节点,边界节点,平直边界节点,边界内节点,边界外节点,4-1

3、 导热问题数值求解的基本思想,Step-4: 设置温度场的迭代初值 代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法，对被求温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。,Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外，其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方程，则构成一个封闭的代数方程组。,Step-6: 解的分析 如何判断数值解的准确性？ 三个检验标准：实验验证、精确分析解验证、特定问题的基准解验证数值计算中偏差 总是存在的，增加节点数目可以减小误差。 计算网格独立性。 通过求解代数方程

4、，获得物体中的温度分布，根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及热变形等。,4-1 导热问题数值求解的基本思想,内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法）,1. 对相邻节点写出温度 t 对内节点(m, n) 的泰勒级数展开式,x : (m,n)的相邻节点为(m+1,n), (m-1,n) y : (m,n)的相邻节点为(m,n+1), (m,n-1),X方向,4-2 内节点离散方程的建立方法,内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法）,2. 整理得到二阶导数的中心差分,截断误差： 级数余项中的x的最低阶数为2 即中心差分格式具有二阶精度。,3. 由控制方程得到内节点(m,n)的离散代数方程,中心差

5、分,4-2 内节点离散方程的建立方法,内节点离散方程的推导（热平衡法）,基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。,从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 控制体内能的增量,稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热量0,4-2 内节点离散方程的建立方法,内节点离散方程的推导（热平衡法）,对控制体每个界面线（图中虚线）应用傅立叶导热定律。,4-2 内节点离散方程的建立方法,4-2 内节点离散方程的建立方法,建立节点离散方程的泰勒级数法与热平衡法的比较：

6、 泰勒级数法属于纯数学方法，而热平衡法基于能量守恒原理，物理概念明确，且推导过程简捷； 泰勒级数法对于建立边界节点的离散方程较困难； 当导热物体物性或内热源不均匀时，泰勒级数法不适用，而热平衡法能够方便处理。,4-2 内节点离散方程的建立方法,节点离散方程的建立基本方法： Taylor（泰勒）级数展开法 控制容积平衡法(热平衡法),内节点,边界节点,平直边界节点,边界内节点,边界外节点,为什么要建立边界节点的离散方程？,一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭,将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。

7、用表示内热源。,4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解,边界节点离散方程的推导（热平衡法）：,二维矩形域内稳态、常物性的导热问题,从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0,平直边界节点,4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解,边界节点离散方程的推导（热平衡法）：,二维矩形域内稳态、常物性的导热问题,从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0,边界外角点,4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解,边界节点离散方程的推导（热平衡法）：,二维矩形域内稳态、常物性的导热问题,从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0,边界内角点,4-3 边界

8、节点离散方程的建立 及代数方程的求解,边界节点离散方程的两个具体问题：,边界热流密度的具体处理方法,绝热边界,第二类边界,第三类边界,不规则边界的处理方法,多段折线模拟不规则边界，网格越密越接近实际,坐标变换：保角变换,4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解,n个未知节点温度，n个代数方程式：,节点离散（代数）方程的求解,直接解法,迭代解法,直接解法：矩阵求逆、高斯消元法等 缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的导热系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）,4-3 边界节点离散方程的建立 及代数

9、方程的求解,迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等 先对要计算的场作出假设（给定初始值）、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。,节点离散（代数）方程的求解,Gauss-Seidel迭代法：每次迭代时总是使用节点温度的最新值,4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解,在计算后面的节点温度时应采用最新值：,根据第 k 次迭代的数值：,节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法,4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解,节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法,判

10、断迭代是否收敛的准则：,or,or, 为允许的偏差，一般取10-310-6,为k次迭代得到的计算域温度最大值,计算域温度存在近于0的值时采用,4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解,节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法,如何判断数值解的准确性？,如何判断数值解的准确性？ 三个检验标准：实验验证、精确分析解验证、特定问题的基准解验证 数值计算中偏差 总是存在的，增加节点数目可以减小误差。 计算网格独立性。,判断迭代能否收敛的准则： 如何避免迭代发散？,必须满足对角占优原则：每个迭代变量的系数总大于/等于该式中其它变量系数 绝对值的代数和 (参考教材例题4-1),S

11、tep-6: 解的分析,4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解,例题,满足对角占优的条件：82+1；51+2；42+1，所以迭代能收敛,取初始迭代值为0，计算中间值如下表所示,例：针肋如右图所示，碳钢=43.2W/(m.K)，求温度分布及换热量。,精确解：,用数值方法求解：,微分方程,节点2：,节点3,节点4,网格划分如右图：,三种情况的计算结果如下温度分布,热量计算： 误差 精确解 =15.06 W 四节点 =11.94 W 21% 三节点 =10.52 W 30% 如取5 节点, 则 的误差为 19%,非稳态项,稳态项（扩散项）,源项,由于非稳态项的存在，除了对空间坐标离散外，还

12、需要对时间坐标进行离散。 稳态扩散项的离散格式：中心差分格式 非稳态项的离散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式,4-4 非稳态导热问题的数值解法,平板加热问题 第三类边界条件,一维非稳态导热微分方程及定解条件：,边界条件,初始条件,4-4 非稳态导热问题的数值解法,向前差分格式,向后差分格式,中心差分格式,非稳态项的离散格式的构造：泰勒级数展开法,x 为空间步长 为时间步长,偏微分方程,离散化代数方程,非稳态项向前差分,扩散项中心差分,点（n,i）,4-4 非稳态导热问题的数值解法,非稳态项的离散格式的构造：热平衡法,从所有方向流入控制体的总热量 控制体内能的增量,内节点 n,4-

13、4 非稳态导热问题的数值解法,非稳态项的离散格式的构造：热平衡法,左边对称绝热边界,4-4 非稳态导热问题的数值解法,非稳态项的离散格式的构造：热平衡法,右边第三类边界,4-4 非稳态导热问题的数值解法,显示格式存在稳定性问题：如果节点 tn(i) 前面的系数小于零，则数值解出现不稳定的震荡结果。,显示格式：格式右边全部为第 i 时间层的温度值，只要 i 时间层温度已 知，即可计算得到 i+1 时间层的温度。,非稳态导热节点离散方程的两种格式：,即：空间步长x和时间步长的选取有限制,显示格式的稳定性条件：,4-4 非稳态导热问题的数值解法,隐式格式,非稳态导热节点离散方程的两种格式：,隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。,4-4 非稳态导热问题的数值解法,导热问题的数值计算上机实践,例题4-6 无限大平板的一维非稳态导热问题数值计算 （1）自主编程，编程语言自定，最后提交源程序 （2）提交电子报告（word格式），包括： （a）给出空间离散示意图（网格划分） （b）节点离散方程（显示、隐式