《概率论与数理统计教学课件》6第六章

1、第二部分数理统计，从史书中不难发现许多关于货币、户籍、地震、洪水等的记载，这说明人们很早就开始了统计工作。然而，当时的统计数据只是对相关事实的简单记录和整理，并没有在某些理论的指导下做出超出这些数据范围的推论。随着现代数学和概率论的发展，数理统计学科诞生了。同时，随着计算机的诞生和发展，它为数据处理提供了强有力的技术支持，这导致了数理统计与计算机结合的必然发展趋势。目前，国内外著名的统计软件包有：R、SAS、SPSS、STAT等。都为数据处理和分析提供了快速简单的方法和工具。数理统计是一门应用性很强的学科，它研究如何有效地收集、整理和分析有限的数据，从而对所调查的问题做出尽可能准确、可靠的推断

2、和预测，并为做出一定的决策和行动提供依据和建议。数理统计研究的对象具有随机性的数据、数理统计的任务、数理统计的特点数理统计方法具有“部分推断整体”的特点。在数理统计中，不是观察所有被研究的对象(称为整体)，而是观察其中的一些对象(称为样本)以获得数据(采样)，并通过这些数据对，在数理统计中，整个对象(整体)是从少数样本的观察值中推断出来的，也就是说，整体是从部分中推断出来的，所以这里使用的推理方法是“归纳推理”。概率论中研究和讨论的随机变量的分布是已知的，并在此前提下进一步研究其性质、特征和规律性。然而，在数理统计中研究和讨论的随机变量的分布是未知的或不完全已知的。因此，许多观察值(数据)必须

3、通过对所研究和讨论的随机变量的重复独立观察和实验来获得，并且在分析这些数据之后可以对它们的分布做出各种判断。获取这些数据最常用的方法是随机抽样。随机抽样方法，为了更好地反映随机变量的整体特征进行了研究和探讨，我们必须研究：(1)如何抽样，抽取多少和如何抽取，如何合理地分析抽样结果，并做出科学的判断。统计推断，抽样方法，未来讨论的统计问题主要属于以下类型：从所研究的某一组随机变量中提取一些元素，测试和观察这些元素的一些定量指标，并根据测试和观察获得的数据推断该组中所有元素的定量指标的分布或数值特征。数理统计，抽样分布，统计推断，常用统计学，四个重要分布，参数估计，假设检验，正态总体样本均值和方差

4、分布(重要统计分布)，矩估计，点估计，区间估计，最大似然估计，均值区间估计，方差区间估计，均值检验，方差检验，单个总体和两个总体人口中的每一个元素被称为一个个体。1.当研究某一地区雇员的平均收入水平时，该地区所有雇员的月收入构成人口；每个工人的月收入是个人的。(1)、(2)研究一批灯泡的质量，那么该批灯泡的整个寿命就构成了整体；每个灯泡的寿命都是独立的。总体，第6.1节随机抽样，(3)在研究家用汽车每公里平均油耗时，家用汽车每公里的总油耗是整体；家用汽车每公里的油耗是个人的。因此，注意：x的所有可能值的分布是总体x的分布，它被表示为F(x)，并被称为总体x的分布函数。x是研究对象的一个量化指标

5、，是一个随机变量；这是因为每个个体的出现都是随机的，所以相应的定量指标的出现也是随机的。因此，这个定量指标可以看作是一个随机变量，所以随机变量的分布就是这个定量指标在整个人口中的分布。人口可以用随机变量及其分布来描述。在研究一批灯泡的寿命时，所关心的定量指标是寿命，所以人口可以用一维随机变量x或其分布函数F(x)来表示。一批灯泡的寿命、数量和寿命x可以用一般分布来描述。有鉴于此，随机变量或其分布函数的符号常被用来表示总体，如总体x或总体F(x)。在研究某一地区中学生的营养状况时，如果有关的定量指标是身高和体重，用X和Y分别表示身高和体重，那么整个人群可以用二维随机变量(X，Y)或它们的联合分布

6、函数F(x，Y)来表示。根据它所包含的个体总数，人口可以分为有限人口(个体数是有限的)和无限人口(个体数是无限的)。然而，当有限种群中的个体数量很大时，它也可以被视为无限种群。在数理统计中，人口概念的本质是：人口是一种概率分布。取样和取样。为了推断种群分布和各种特征，根据一定的规则从种群中选择一些个体进行观察实验以获得关于种群的信息。这种提取过程称为“取样”，提取的一些个体称为样本。从一批家用汽车中选择5辆汽车进行油耗测试。这个过程被称为“取样”。这五辆车是样本量为5的样本。采样，例如，定义1。从群体中提取一些个体进行观察，提取的个体称为群体样本。为了了解种群的分布，我们从种群中随机选择了N个

7、个体，其指数值称为种群样本。因为从每次观测中获得的观测值是随机的。因此，从另一个角度来看，样本是一个随机变量。注：即样本具有两重性：(1)它是一个n维随机变量；(2)是n个特定的观察值。对于有限和无限总体，简单随机样本可以通过反向抽样获得。当个体总数n远大于要获得的样本量n时，非返回抽样可以近似地视为返回抽样。简单随机样本，定义2，假设x是一个具有分布函数f的随机变量，如果它是一个具有相同分布函数f且相互独立的随机变量，那么它被称为一个具有容量n的简单随机样本，它是从总体x(或从总体f或从分布函数f)获得的，它的观测值和样本是随机变量，但它具有双重性。注：如果是总体X的样本，X的分布函数为F(

8、x)，概率密度为f (x)，那么：联合概率密度为：可见样本为随机向量，所以此时对应的样本值可以记录为：联合分布函数为：所以容量为N的样本可以视为N维。如前所述，样本是统计推断的基础。然而，在实际应用中，样本本身并不直接使用，而是为不同的问题构造适当的样本函数，这些样本函数用于统计推断。在第二节，抽样分布中，提出了问题，即为了推断总体情况，样本需要被“处理”，这就有必要构造一些适当的样本函数，从而收集样本中包含的信息。这种没有任何未知参数的函数叫做统计学。这是一个完全由样品决定的数量。1。定义，假设，是一个样本从人口x，是一个函数。如果g是一个连续函数，并且不包含任何未知参数，则称之为统计量。1

9、.统计定义，注释：统计数据是完全由样本决定的数量。统计是样本的函数，所以它们是一个(1)当样本是随机变量时，统计量也是随机变量；(2)当样本是观察值时，统计量是特定值。统计学的构建总是有目的的。K=1，2。几种常用的统计量，样本均值：样本方差：反映了总体均值的信息，它反映了总体方差的信息，(1)。(2)。(3)。样本标准偏差：(4)。样本k阶原点矩：(5)。它们的观测值是具体的实值，仍称为样本均值、样本方差、样本K阶原点距离和样本K阶中心距离。如果种群X的K阶原点距离存在，那么存在：这个结论表明样本的K阶距离在概率上收敛于总体的K阶距离。这也是参数估计中矩估计方法的理论基础。让我们假设总体X的

10、平均值和方差是2，X1，X2，Xn是从总体X得到的样本，然后是3。抽样分布，统计作为随机变量，所以有一定的分布，这就是所谓的统计的“抽样分布”。因此，统计分布称为抽样分布。2.几个重要的分布，如果它们是正态分布N(0，1)的样本，就叫做统计：自由度为N的分布，定义，分布，1。注为：注：自由度N指包含在其中的独立变量的个数，分布的密度函数为：其中：函数通过积分相互独立：其图形如下：n=2，n=1，n=4，n=6，n=11(参见教科书P163，图61)，然后分布的上分位数：分布的可加性一般来说，例如：Fisher R.AFisher证明，或：假设XN (0，1)，Y，X和Y相互独立，那么它就叫做随

11、机变量：t分布，2。定义。注，t分布最早是由英国统计学家G0sset发现的，他的研究成果是以学生的笔名发表在英国英国医学杂志上的一篇文章中提出的，所以t分布也叫学生分布。t分布的概率密度函数为：这与正态分布图非常相似。它关于Y轴对称，n=2，n=25，n=，(见教科书P140图68)。它的图形如下：t分布的上分位数3360被认为满足给定的条件：当它足够大时，如果t，面积=，对于不同的和，有表要查(见教科书P392的附录7)，一般是3360，(近似正态分布)，例如：是从上分位数和h(t)对称性的定义中得到的，F分布，如果X和Y彼此独立，它被称为统计：这是服从度的F分布n2)，如果F F (n1，

12、N2)，那么F的概率密度是：注：3。定义。及其图形如下：(参见教学材料P141的图610)，如果，如果：当，当，对于不同的和，有表格要查(见课本P387附录6)，如：正态分布，分布的上百分位的性质：4。(请查看其图形和属性等。)，3 .正态分布的样本均值和样本方差的分布，定理1(样本均值和样本方差的分布)是它的样本均值和样本方差，那么对于(2)和(3)的证明，见教科书P145P147，证明：那么有：从已知，那么：也就是说，定理2，分别是样本均值和样本方差，那么有，彼此独立。当n取不同值时样本均值的分布，推论。注：让它成为整体的一个样本，那么，对于一般来说，有：通过推论，定理2。分别是样本均值和样本方差，则有：证明：由定理1的结论和推论。，y是相互独立的