Ch-2-行列式2017版

1、第二章 行列式,第一节 引言 第二节 排列 第三节 n级行列式 第四节 n级行列式的性质 第五节 行列式的计算 第六节 行列式按一行(列)展开 第七节 克拉默法则 第八节 拉普拉斯定理 行列式的乘法规则,第二章 行列式,2.1 引言,2.1 引言,历史上, 行列式因线性方程组的求解而被发明,第二章 行列式,2.1 引言,一. 二级行列式,(a11a22a12a21)x1 = b1a22a12b2 (a11a22a12a21)x2 = a11b2b1a21,当a11a22a12a21 0时,第二章 行列式,2.1 引言,则当D = a11a22a12a21 0时,a11x1 + a12x2 =

2、b1 a21x1 + a22x2 = b2,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,有唯一确定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,第二章 行列式,2.1 引言,注: 二级行列式的对角线法则,(特殊的) 二元一次 方程组,推广,(特殊的) 三元一次 方程组,推广,第二章 行列式,2.1 引言,= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .,a13 a21 a32,a11 a22 a33,a12 a23 a31,a11 a23 a32,a12 a

3、21 a33,a13 a22 a31,二. 三级行列式,第二章 行列式,2.1 引言,则当D 0时,有唯一确定的解,推广,第二章 行列式,2.1 引言,(特殊的) 二元一次 方程组,推广,(特殊的) 三元一次 方程组,(特殊的) 四元一次 方程组,推广,推广,第二章 行列式,2.1 引言,仿照三级行列式的对角线法则猜想,1212 11(1)1 = 4+1 = 5.,3212 15(1)1 = 12+5 = 17.,但方程组,有唯一解,第二章 行列式,2.2 排列,2.2 排列,一. 全排列 (简称排列),Pn = n个不同元素的所有排列的种数,= 1 2 (n1) n,例如, 1, 2有 个全

4、排列:,1 2 3, 1 3 2, 3 1 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 2 1,1 2, 2 1.,1, 2, 3有 个全排列:,2,6,= n!,第二章 行列式,2.2 排列,二. 逆序数,先规定一个标准次序,偶排列,如自然次序: 1 2 3 4 (n1) n,n = 6时, 1 2 3 4 5 6 标准次序,1 4 2 3 5 6 有 逆序,4 2,4 3,2 个,3 2,3 2 1 4 5 6 有 逆序,2 1,3 1,3 个,奇排列,第二章 行列式,2.2 排列,例1. 求下列排列的逆序数 (1) 32514, (2) (2n)(2n2)4213(2n3)(2n1).,三.

5、对换/邻对换,注: 任一邻对换都改变排列的奇偶性.,任一对换都可通过奇数次邻对换来实现.,1 5 3 4 2 6,3 2 1 4 5 6,1 3 2 4 5 6,1 2 4 3 5 6,第二章 行列式,2.2 排列,定理1.1. 每一个对换都改变排列的奇偶性., 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,推论. n2时, n个元素的所有排列中, 奇、偶 排列各占一半, 即各有n!/2个.,第二章 行列式,2.3 n级行列式,2.3 n级行列式,一. 重新发现二、三级行列式的特点,1. 二级行列式的特点,= a11a22 a12a21.,每一项都是

6、二个元素的乘积. 每一项的二个元素都位于不同的行和列. 行列式的2项恰好对应于1, 2的2种排列.,第二章 行列式,2. 三级行列式的特点,每一项都是三个元素的乘积. 每一项的三个元素都位于不同的行和列. 行列式的6项恰好对应于1, 2, 3的6种排列.,= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .,2.3 n级行列式,第二章 行列式,= a11a22 a12a21.,j1 j2 的逆序数,j1 j2 j3 的逆序数,2.3 n级行列式,第二章 行列式,二. n级行列式的定义,j1

7、 j2 jn 的逆序数,注: 当n = 1时, 一级行列式|a11| = a11,这与绝对值符号的意义是不一样的.,2.3 n级行列式,第二章 行列式,例如, 四级行列式,中,负,a12a23a34a41,a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44,a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44,a14a23a32a41前面带_号,正,a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a

8、41 a42 a43 a44,a31a22a13a44前面带_号.,负,没有 ,a11a22a31a44,前面带_号,a13a22a31a44,2.3 n级行列式,第二章 行列式,三. 几个特殊的行列式,= 12n ,1. 对角行列式,2.3 n级行列式,第二章 行列式,2. 上三角形行列式,= a11 a22ann .,事实上, 只有pi i (i = 1,2,n)时,才有可能不为0.,若有某个pk k, 则必然有若有某个pl 1 + 2 + + n, 矛盾!,2.3 n级行列式,第二章 行列式,3. 下三角形行列式,= a11 a22ann .,2.3 n级行列式,第二章 行列式,例2.

9、确定四级行列式中a a a a 前面的符号.,i4 j4,i3 j3,i2 j2,i1 j1,2.3 n级行列式,第二章 行列式,2.3 n级行列式,例2. 确定四级行列式中a a a a 前面的符号.,i4 j4,i3 j3,i2 j2,i1 j1,经 过 一 次 对 换 后,奇 奇,偶 偶,偶 奇,奇 偶,第二章 行列式,2.3 n级行列式,例2. 确定四级行列式中a a a a 前面的符号.,i4 j4,i3 j3,i2 j2,i1 j1,第二章 行列式,2.3 n级行列式,例2. 确定四级行列式中a a a a 前面的符号.,i4 j4,i3 j3,i2 j2,i1 j1,第二章 行列

10、式,2.3 n级行列式,四. 行列式的另一种定义,i1 i2 in 的逆序数,第二章 行列式,2.3 n级行列式,性质1. DT = D.,记D =,行列式DT称为D的转置., DT =,五. 行列式的转置,= D.,记bij = aji, 则,DT,第二章 行列式,2.4 n级行列式的性质,2.4 n级行列式的性质,第二章 行列式,2.4 n级行列式的性质,性质2. 行列式的某一行(列)的公因子可以 提到行列式记号外.,kn,第二章 行列式,2.4 n级行列式的性质,a11 a1j+b1j a1n a21 a2j+b2j a2n an1 anj+bnj ann,第二章 行列式,2.4 n级行

11、列式的性质,a11 a1j+b1j a1n a21 a2j+b2j a2n an1 anj+bnj ann,+,=,第二章 行列式,2.4 n级行列式的性质,性质3. 行列式可按某一行(列)拆成两个行列 式之和.,提示:,第二章 行列式,2.4 n级行列式的性质,第二章 行列式,2.4 n级行列式的性质,(1)(123)a11a22a33,(1)(321)a13a22a31,+ (1)(132)a11a23a32,+ (1)(231)a12a23a31,+ (1)(213)a12a21a33,+ (1)(312)a13a21a32,+ (1)(231)a12a23a31,+ (1)(312)a

12、13a21a32,+ (1)(321)a32a22a31,+ (1)(132)a11a23a32,+ (1)(213)a12a21a33,+ (1)(123)a11a22a33,第二章 行列式,2.4 n级行列式的性质,性质4. 互换行列式中的两行(列), 值变号.,第二章 行列式,2.4 n级行列式的性质,3 2 1 0 1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0,推论. 若行列式D中有两行(列)完全相同, 则D = 0.,第二章 行列式,2.4 n级行列式的性质,6 4 2 0 1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0,= _.,性质5. 若行列式D中有两行(列)成比例, 则D

13、= 0.,第二章 行列式,2.4 n级行列式的性质,第二章 行列式,2.4 n级行列式的性质,性质6. 将行列式中某一行(列)的k倍加到另 一行(列), 所得的行列式与原行列式 的值相等.,=,a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31+ka11 a32+ka12 a33+ka13,第二章 行列式,2.5 行列式的计算,2.5 行列式的计算,一. 矩阵的初等变换,1. sn矩阵,元素 aij (1 i s, 1 j n),第二章 行列式,2.5 行列式的计算,3. 初等列变换,(1) 对换变换: ci cj, (2) 倍乘变换: ci k, 其中k 0, (3) 倍加变换: ci+

14、kcj.,2. 初等行变换,(1) 对换变换: ri rj, (2) 倍乘变换: ri k, 其中k 0, (3) 倍加变换: ri+krj.,初等行变换和初等列变换统称为初等变换.,第二章 行列式,2.5 行列式的计算,二. 方阵的行列式,n级方阵,A =,方阵A的行列式,|A| =,第二章 行列式,2.5 行列式的计算,三. 初等变换与行列式,A B ri rj ri k ri+krj ci cj ci k ci+kcj,|A|与|B|的关系 |B| = |A| |B| = k|A| |B| = |A| |B| = |A| |B| = k|A| |B| = |A|,注: 若A经初等变换化为

15、B, 则|A| = 0 |B| = 0.,第二章 行列式,例3. (1),1 2 3 4 5 6 7 8 9,= 0.,= 2.,2.5 行列式的计算,第二章 行列式,(3),nn,a 1 1 1 a 1 1 1 a,2.5 行列式的计算,= (a+n1)(a1)n1.,第二章 行列式,(4),3 1 2 5 +2 3 1 0 +1,2.5 行列式的计算,第二章 行列式,= 3.,2.5 行列式的计算,第二章 行列式,注: 有些书上将上述转化过程用 rkrj, ckcj, ri+krj , ci+kcj 等记号表示, 并写在等号的上方或下方. 但这样不够直观. 为了不引起混淆, 每步最好只进行

16、一个 操作. 例如:,2.5 行列式的计算,第二章 行列式,例4. 设D =,证明: D = D1D2.,证明: 对D1施行ri+krj 这类运算, 把D1化为下三 角形行列式:,= p11 pmm ,2.5 行列式的计算,第二章 行列式,对D2施行ci+kcj 这类运算, 把D2化为下三角形行列式:,于是对D的前m行施行上述ri+krj 运算, 再对D的后n列 施行上述施行ci+kcj 运算, 可得:,= p11 pmm q11 qnn = D1D2.,2.5 行列式的计算,第二章 行列式,2.5 行列式的计算,注: 例4的结论可简记为,= |A|B|.,类似地, 可以证明,= |A|B|.

17、,第二章 行列式,(其中a1a2an 0).,1+a1 1 1 1 1+a2 1 1 1 1+an,2.5 行列式的计算,例5.,第二章 行列式,I lve it!,2.5 行列式的计算,第二章 行列式,=,1 1 1 1 1 a1 0 0 1 0 a2 0 1 0 0 an,注意已知条件: a1a2an 0, 否则不能 1/a1, , 1/an!,2.5 行列式的计算,第二章 行列式,例6. 证明n级(n2)范德蒙(Vandermonde),行列式,2.5 行列式的计算,第二章 行列式,2.5 行列式的计算,分析: n = 2时,= x2 x1.,n = 3时,第二章 行列式,2.5 行列式

18、的计算,第二章 行列式,2.5 行列式的计算,= =,x2x1 x2(x2x1),x3x1 x3(x3x1),= (x2x1)(x3x1)(x3x2),第二章 行列式,2.5 行列式的计算,n = 4时,第二章 行列式,2.5 行列式的计算,第二章 行列式,2.5 行列式的计算,= (x2x1)(x3x1)(x4x1)(x3x2)(x4x2)(x4x3),第二章 行列式,2.5 行列式的计算,证明: n = 2时,= x2 x1.,可见该结论对于n = 2成立. 设该结论对于n = k成立, 下面证明该结论对于n = k+1成立.,第二章 行列式,2.5 行列式的计算,Dk+1 =,1 x2

19、x2 x2,k,2,1 xk+1 xk+1 xk+1,k,2, ,依次施行 rk+1 + rk(x1), rk + rk1(x1), , r3 + r2(x1), r2 + r1(x1),第二章 行列式,2.5 行列式的计算,=,x2x1 x2(x2x1) x2 (x2x1),k1,xk+1x1 xk+1(xk+1x1) xk+1 (xk+1x1),k1, ,第二章 行列式,例7. 计算n级行列式Dn = .,解: Dn =,2.5 行列式的计算,= +,第二章 行列式,2.5 行列式的计算,= +,= (xa)Dn1 +,= (xa)Dn1 + a(x+a)n1.,第二章 行列式,2.5 行

20、列式的计算,Dn =,a x a a,a a x a,a a a x, ,= (xa)Dn1 + a(x+a)n1.,= (x+a)Dn1 a(xa)n1.,当a = 0时, 上式依然成立.,a c c c c,第二章 行列式,例8. 计算n阶行列式Dn = ,b b b b a, b b b a c,b b a c c,b a c c c,解: n = 1时, D1 = a,n = 2时, D2 = a2 bc, n 3时,其中b c.,2.5 行列式的计算,ab c c c c,第二章 行列式,Dn =,= (ab)Dn1 + b,0 b b b a, 0 b b a c,0 b a c

21、c,0 a c c c,b b b b a, b b b a c,b b a c c,b a c c c,b c c c c,+,2.5 行列式的计算,1 0 0 0 0,ab c c c c,第二章 行列式,Dn =,= (ab)Dn1 + b(ac)n1.,0 b b b a, 0 b b a c,0 b a c c,0 a c c c,b b b b a, b b b a c,b b a c c,b a c c c,b c c c c,+,1 bc bc bc ac, ,1 bc ac 0 0,1 ac 0 0 0,1 bc bc ac 0,= (ab)Dn1 + b,2.5 行列式的计

22、算,第二章 行列式,Dn = (ab)Dn1 + b(ac)n1. ,另一方面, 对Dn的列进行类似操作可得 Dn = (ac)Dn1 + c(ab)n1. 联立可得,2.5 行列式的计算,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,2.6 行列式按一行(列)展开,一. 回忆两个知识点,性质3. 行列式可按某一行(列)拆成两个 行列式之和.,= |A|B|.,例4.,= a11a22 a12a21,= a11(1)1+1a22 +a12(1)1+2a21,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列

23、)展开,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,拆, 移, 降,按第三行展开,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,一般地, 设n 2, 在n级行列式中, 把元素 aij 所 在的第i 行和第 j 列划去, 留下的n1级行列式 叫做元素aij的余子式, 记作Mij .,中a32的余子式为,代数余子式A32 = (1)3+2M32 = M32.,令Aij = (1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式.,例如, 四级行列式,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,定理2.1. 设n 2, 则n级行列式D等于它的任意 一行 (列)的各元素与其对应的代数余 子式乘积之

24、和. 即,D = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + + a2nA2n = = an1An1 + an2An2 + + annAnn = a11A11 + a21A21 + + an1An1 = a12A12 + a22A22 + + an2An2 = = a1nA1n + a2nA2n + + annAnn .,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,(未写出的元素都是0).,例9. 计算2n阶行列式,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,解: D2n=,= a,+(1)2n+1b,第二章 行列式,2.6 行列式按一

25、行(列)展开,= ad D2(n1) bc D2(n1) = (ad bc) D2(n1) = (ad bc)2D2(n2) = (ad bc)3D2(n3) = = (ad bc)n1 D2 = (ad bc)n.,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,例10. 计算n阶行列式Dn = .,解: n = 1时, D1 = 5,n = 2时, D2 = 55 23 = 19, n 3时, Dn = 5A11 + 3A12 + 0A13 + 0A1n,其中 A11 = (1)1+1M11 = Dn1, A12 = (1)1+2M12 = M12,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列

26、)展开,2 3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 3 0 0 0 2 5 3 0 0 0 2 5, , ,M12 =,n1级,= 2Dn2,Dn = 5A11 + 3A12,= 5Dn1 + 3(M12),= 5Dn1 6Dn2.,令Dn + xDn1 = y(Dn1 + xDn2), 整理后与Dn = 5Dn1 6Dn2比较可得,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,n = Dn 2Dn1 = 3(Dn1 2Dn2) = 3n1 = = 3n22, n = Dn 3Dn1 = 2(Dn1 3Dn2) = 2n1 = = 2n22. 而2 = D2 2D1 = 1910 =

27、 32, 2 = D2 3D1 = 1915 = 22,于是有,故n = 3n, n = 2n, 即,解之得Dn = 3n+1 2n+1.,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,注:,三对角行列式,Dn = aDn1 + bDn2,按第一行展开得,令Dn + xDn1 = y(Dn1 + xDn2), 则,y x = a, xy = b.,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,二. 一个重要的应用,= a11A11 + a12A12 + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + a2nA2n = ,= a11A21 + a12A22 + a1nA2n,= a11

28、A21 + a12A22 + a1nA2n,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,推论. 行列式的某一行(列)元素与另一行(列) 对应的代数余子式乘积之和为零.,定理2.2. 设n 2,则,a1kA1l + a2kA2l + ankAnl,ak1Al1 + ak2Al2 + aknAln,第二章 行列式,2.6 行列式按一行(列)展开,a1kA1l + a2kA2l + ankAnl,ak1Al1 + ak2Al2 + aknAln,注: 克罗内克记号,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,2.7 克拉默法则,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,a11x1 + a12x2 + + a1

29、nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + + annxn = bn,当D 0时有唯一解:,定理2.3. 线性方程组,(i = 1, , n),第二章 行列式,2.7 克拉默法则,当D 0时有唯一解:,定理2.3. 线性方程组,(i = 1, , n),a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + + annxn = bn,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,当D 0时有唯一解:,定理2.3. 线性方程组,(i = 1, , n)

30、,a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + + annxn = bn,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,是,的解.,(2) 该方程组的解只能是,分析: 该定理的结论包括两个方面:,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1.,验证,a11D1 + a12D2 + + a1nDn = b1D?,= b1A11 + b2A21 + + bnAn1,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1.,

31、验证,a11D1 + a12D2 + + a1nDn = b1D?,= b1A12 + b2A22 + + bnAn2,D1 = b1A11 + b2A21 + + bnAn1,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1.,验证,a11D1 + a12D2 + + a1nDn = b1D?,= b1A1n + b2A2n + + bnAnn,D1 = b1A11 + b2A21 + + bnAn1, D2 = b1A12 + b2A22 + + bnAn2, ,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,a11x1 + a12x2 + + a1nxn

32、= b1.,验证,a11D1 + a12D2 + + a1nDn = b1D?,D1 = b1A11 + b2A21 + + bnAn1, D2 = b1A12 + b2A22 + + bnAn2, Dn = b1A1n + b2A2n + + bnAnn,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1.,验证,a11D1 + a12D2 + + a1nDn = b1D?,a11D1 = a11(b1A11 + b2A21 + + bnAn1), a12D2 = a12(b1A12 + b2A22 + + bnAn2), a1nDn = a1n(b

33、1A1n + b2A2n + + bnAnn),第二章 行列式,2.7 克拉默法则,a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1.,验证,a11D1 + a12D2 + + a1nDn = b1D?,a11D1 = b1a11A11 + b2a11A21 + + bna11An1, a12D2 = b1a12A12 + b2a12A22 + + bna12An2, a1nDn = b1a1nA1n + b2a1nA2n + + bna1nAnn,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2.,验证,a21D1 + a22D2 + +

34、a2nDn = b2D?,a21D1 = b1a21A11 + b2a21A21 + + bna21An1, a22D2 = b1a22A12 + b2a22A22 + + bna22An2, a2nDn = b1a2nA1n + b2a2nA2n + + bna2nAnn,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,an1x1 + an2x2 + + annxn = bn.,验证,an1D1 + an2D2 + + annDn = bnD?,an1D1 = b1an1A11 + b2an1A21 + + bnan1An1, an2D2 = b1an2A12 + b2an2A22 + + bnan2A

35、n2, annDn = b1annA1n + b2annA2n + + bnannAnn,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,下面说明该方程组的解只能是,设c1, c2, , cn满足,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,设c1, c2, , cn满足,则,a11A11c1 + a12A11c2 + + a1nA11cn = b1A11, a21A21c1 + a22A21c2 + + a2nA21cn = b2A21, an1An1c1 + an2An1c2 + + annAn1cn = bnAn1,Dc1 + 0c2 + + 0cn = D1,可见c1 = D1/D.,第二章 行列式,2.

36、7 克拉默法则,设c1, c2, , cn满足,则,a11A12c1 + a12A12c2 + + a1nA12cn = b1A12, a21A22c1 + a22A22c2 + + a2nA22cn = b2A22, an1An2c1 + an2An2c2 + + annAn2cn = bnAn2,0c1 + Dc2 + + 0cn = D1,可见c2 = D2/D.,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,设c1, c2, , cn满足,则,a11A1nc1 + a12A1nc2 + + a1nA1ncn = b1A1n, a21A2nc1 + a22A2nc2 + + a2nA2ncn =

37、b2A2n, an1Annc1 + an2Annc2 + + annAnncn = bnAnn,0c1 + 0c2 + + Dcn = D1,可见cn = Dn/D.,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,例11. 用克拉默法则求解线性方程组,2x1 + x2 5x3 + x4 = 8, x1 3x2 6x4 = 9, 2x2 x3 + 2x4 = 5, x1 + 4x2 7x3 + 6x4 = 0.,解: 该方程组系数矩阵的行列式,= 27 0,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,由克拉默法则可知, 该方程组有唯一解:,= 81,D1 =,1 6 2 6,5 0 1 7,1 3 2 4,8 9

38、 5 0,D2 =,D3 =,D4 =,= 108,= 27,= 27,x1 = 3, x2 = 4, x3 = 1, x4 = 1.,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,例12. 用克拉默法则求解线性方程组,2x1 + x2 5x3 + x4 = 0, x1 3x2 6x4 = 0, 2x2 x3 + 2x4 = 0, x1 + 4x2 7x3 + 6x4 = 0.,解: 该方程组系数矩阵的行列式,= 27 0,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,由克拉默法则可知, 该方程组有唯一解:,= 0,D1 =,1 6 2 6,5 0 1 7,1 3 2 4,0 0 0 0,D2 =,D3 =,D4 =,= 0,= 0,= 0,x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0.,第二章 行列式,2.7 克拉默法则,2x1 + 3x2 x3 + x4 = 0, 4x1 + 6x2 2x3