人教版高三数学总复习课时作业50

1、课时作业课时作业 50利用空间向量证明平行与垂直利用空间向量证明平行与垂直 一、选择题 1若直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，能使 l 的 是() Aa(1,0,0)，n(2,0,0) Ba(1,3,5)，n(1,0,1) Ca(0,2,1)，n(1,0，1) Da(1，1,3)，n(0,3,1) 解析：若 l，则 an0， D 中，an10(1)3310，an. 答案：D 2已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面 ABC 的一个单位法 向量是() A. B. ( 3 3 ， 3 3 ， 3 3 )( 3 3 ， 3 3 ， 3 3 ) C. D.

2、( 3 3 ， 3 3 ， 3 3 )( 3 3 ， 3 3 ， 3 3 ) 解析：因为 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)， 所以(1,1,0)，(1,0,1) AB AC 经验证，当 n时， ( 3 3 ， 3 3 ， 3 3 ) n00，n00，故选 D. AB 3 3 3 3 AC 3 3 3 3 答案：D 3 若， 则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是() AB CD CE A相交 B平行 C在平面内 D.平行或在平面内 解析 ： ，共面则 AB 与平面 CDE AB CD CE AB CD CE 的位置关系是平行或在平面内 答案：D 4如图，在长方体 ABC

3、DA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD3 2，P 为 C1D1的中点，M 为 BC 的中点，则 AM 与 PM 的位置关2 系为() A平行 B异面 C垂直 D以上都不对 解析： 以 D 点为原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 依题意，可得 D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，32 M(，2,0)2 (，2,0)(0,1，)(，1，)， PM 2323 (，2,0)(2，0,0)(，2,0)， AM 222 (，1，)(，2,0)0， PM AM 232 即，AMPM. PM AM 答案：

4、C 5 如图， 正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直， AB，2 AF1，M 在 EF 上，且 AM平面 BDE.则 M 点的坐标为() A(1,1,1) B. ( 2 3 ， 2 3 ，1) C. D. ( 2 2 ， 2 2 ，1) ( 2 4 ， 2 4 ，1) 解析 ： 设 ACBDO，连接 OE，由 AM平面 BDE，且 AM平 面 ACEF，平面 ACEF平面 BDEOE，AMEO， 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点， M 为线段 EF 的中点 在空间坐标系，E(0,0,1)，F(， ，1)22 由中点坐标公式，知点 M 的坐标. ( 2 2 ， 2 2 ，1

5、) 答案：C 6如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 A1D，AC 上， 且 A1E A1D，AF AC，则() 2 3 1 3 AEF 至多与 A1D，AC 之一垂直 BEFA1D，EFAC CEF 与 BD1相交 DEF 与 BD1异面 解析：以 D 点为坐标原点，以 DA，DC，DD1所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A1(1,0,1)， D(0,0,0)， A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， ( 1 3，0， 1 3) ( 2 3， 1 3，0) (1,0，1)，(1,1,

6、0)， A1D AC ，(1，1,1)， EF ( 1 3， 1 3， 1 3) BD1 ，0， EF 1 3BD 1 A1D EF AC EF 从而 EFBD1，EFA1D，EFAC.故选 B. 答案：B 二、填空题 7已知平面 内的三点 A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面 的 一个法向量 n(1，1，1)则不重合的两个平面 与 的位置 关系是_ 解析 ：(0,1，1)，(1,0，1)，n0，n0， AB AC AB AC n，n，故 n 也是 的一个法向量又 与 不重合， AB AC . 答案：平行 8 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点， 如果(

7、2， AB 1， 4)，(4,2,0)，(1,2， 1) 对于结论 ： APAB； AD AP APAD；是平面 ABCD 的法向量；.其中正确的是 AP AP BD _ 解析：0，0. AB AP AD AP ABAP，ADAP，则正确 又与不平行， AB AD 是平面 ABCD 的法向量，则正确 AP 由于(2,3,4)，(1,2，1)， BD AD AB AP 与不平行，故错误 BD AP 答案： 9如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别是棱 BC，DD1上的点，如果 B1E平面 ABF，则 CE 与 DF 的和的值为 _ 解析：以 D1A1，D1C1，D1D

8、所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间 直角坐标系，设 CEx，DFy，则易知 E(x,1,1)，B1(1,1,0)，所以B1E (x1,0,1)，又 F(0,0,1y)，B(1,1,1)，所以(1,1，y)，由于 AB FB B1E，故若 B1E平面 ABF，只需(1,1，y)(x1,0,1)0 x FB B1E y1. 答案：1 三、解答题 10如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，D 为 AB 的中 点，ACBCBB1.求证： (1)BC1AB1； (2)BC1平面 CA1D. 证明： 如图，以 C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z

9、轴建立空间直角坐标系设 ACBCBB12，则 A(2,0,2)， B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2) (1)由于(0，2，2)，(2,2，2)， BC1 AB1 所以0440， BC1 AB1 因此，故 BC1AB1. BC1 AB1 (2)连接 A1C，取 A1C 的中点 E，连接 DE，由于 E(1,0,1)， 所以(0,1,1)，又(0，2，2)， ED BC1 所以，又 ED 和 BC1不共线， ED 1 2BC 1 所以 EDBC1，又 DE平面 CA1D， BC平面 CA1D，故 BC1平面 CA1D.

10、11如图，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等 边三角形，ADDE2AB，F 为 CD 的中点 (1)求证：AF平面 BCE； (2)求证：平面 BCE平面 CDE. 证明： 设 ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)33 F 为 CD 的中点， F. ( 3 2a， 3 2 a，0) (1)，(a，a，a)，(2a,0，a)， AF ( 3 2a， 3 2 a，0)BE 3BC ()，又 AF平面 BCE， AF 1 2 BE BC AF平面 BCE. (2)，(a

11、，a,0)，(0,0，2a)， AF ( 3 2a， 3 2 a，0)CD 3ED 0，0， AF CD AF ED AF CD AF ED CDEDD，AF平面 CDE，又 AF平面 BCE， 平面 CDE平面 BCE. 在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方 形，PDDC，E，F 分别是 AB，PB 的中点 (1)求证：EFCD. (2)在平面 PAD 内是否存在一点 G，使 GF平面 PCB，若存在， 请求出 G 的位置；若不存在，请说明理由 解： 如图，以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系，设 ADa，则 D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0， a,0)，E，P(0,0，a)，F. ( a，a 2，0) ( a 2， a 2， a 2) (1)，(0，a,0).0，所以， EF ( a 2，0， a 2) DC EF DC EF DC 即 EFCD. (2)假设点 G 存在设 G(x,0，z)， 则，