人教大纲版高考数学题库考点14不等式

1、 考点 14 不等式考点 14 不等式 1.（2010全国高考卷理科5）不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为（ ） （A） 2,3x xx或 （B） 213x xx，或 （C） 213xxx ，或 （D） 2113xxx ，或 【命题立意】本题考查了简单的分式不等式解法. 【思路点拨】化为整式不等式，运用穿根法求解. 【规范解答】 选 C，原不等式化为：（x+2）(x-3)(x-1)0，解得，-2x3. 2.（2010四川高考理科12）设0abc，则 22 11 21025 () aacc aba ab 的最小值是 （ ）. （A）2 （B）4 （C） 2 5 （D）5 【命题立意】本题

2、考查创造条件，利用均值不等式求最值问题及完全平方公式.但要注意 取等号成立时的条件. 【思路点拨】本题多个和的最小值，故可选用基本不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配凑，原则 是出现 1 ab ab ， 1 () () a ab a ab ， 222 1025(5 )aaccac.因多个等号同时成立，注意等号成 立的条件. 【规范解答】选 B .原式 222 11 1025 () aaababacc aba ab 22 11 ()(1025) () a ababaaca a abab 2 11 2()2(5 ) () a ababac a abab 2 4(5 )404ac. 当且仅当 1

3、, ()1, 5 . ab a ab ac 即 22 2, 25 abc时，等号成立. 【方法技巧】基本不等式成立的条件：一正，二定，三相等. 3.（2010四川高考文科11）设0ab，则 2 11 a aba ab 的最小值是（ ）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【命题立意】本题主要考查利用均值不等式求最小值.考查灵活运用所学知识的能力. 【思路点拨】本题求和的最小值，故可选用基本不等式，为使积为定值，故需对原式 进行整理变形，原则是出现 1 ab ab ， 1 () () a ab a ab . 【规范解答】选 D. 2 11 a aba ab 2 11 () aabab ab

4、a ab 11 ()2+2=4 () aba ab aba ab . 当且仅当 1, ()1. ab a ab 即 2 2, 2 ab时，等号成立. 【方法技巧】会配凑基本不等式形式并注意基本不等式成立的条件：一正，二定，三相等. 4.（2010重庆高考理科7）已知0 x ，0y ，228xyxy，则2xy的最小值是（ ） (A)3 (B)4 (C) 9 2 (D) 11 2 【命题立意】本小题考查均值不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，考查运算求解的能力，考查函 数、方程的思想，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想. 【思路点拨】由已知的等式消去一个未知数，转化为函数的最值问题；

5、或把已知等式看做是约束条件 一个函数在第一象限的图象，利用线性规划的方法求目标函数的最小值. 【规范解答】选 B .方法一：因为228xyxy，所以 8 22 x y x ， 所以 8 2 1 x xyx x (1)99 (1)2 11 x xx xx 2 924（当且仅当 9 1 1 x x ， 即2x 时等号成立，此时1y . 方法二：因为22 2xyxy，所以 2 2 2() 2 xy xy ，所以 2 (2 ) 222 4 xy xyxyxy ， 设2xyA，则 2 8 4 A A，即 2 4320AA，解次不等式得8A （舍去）或4A， 即24xy. 方法三：因为228xyxy，所以

6、 9 81 2 2221 x y xx ，此函数的图象可由函数 9 2 y x 平移得到， 如图所示（图象只取第一象限部分） ，设2xyA， 此 直线与函数在第一象限的图象相切时 A 的值即为所求的 最小值，解方程组 228 2 xyxy xyA 得 2 4280yAyA， 所以 2 416(8)0AA ， 解得：4A 或8A （舍去）. 【方法技巧】方法一:代入消元，转化为函数的最值问 题； 方法二：利用均值不等式构造关于整体2xy的不等式，转化为一元二次不等式求解问题 方法三：把已知等式看做是约束条件，利用线性规划的方法求目标函数的最小值. 5.（2010上海高考理科）不等式 2 0 4

7、x x 的解集是 【命题立意】本题考查分式不等式的解法,属容易题. 【思路点拨】本题可先将分式不等式化为整式不等式，再由二次函数与二次不等式的关系求解 【规范解答】原不等式可化为0 0) )4 4) )( (2 2( ( x xx x，所以其解集为 2 24 4| | x xx x 【答案】 2 24 4| | x xx x 6.（2010全国卷文科13）)不等式 2 2 0 32 x xx 的解集是 . 【命题立意】本小题主要考查不等式及其解法 【思路点拨】首先将23 2 xx因式分解，然后将 2 2 0 32 x xx 化为三个因式乘积的形式， 采用穿根法求解集. 【规范解答】 2 2 0

8、 32 x x x 2 02210 21 x xxx xx ， 数轴标根得： 21,2xxx 或 【答案】), 2() 1, 2( 7.（2010全国卷理科13）不等式 2 211xx 的解集是 . 【命题立意】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转 化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 【思路点拨】首先移项，使不等式的一边含有一个根式，然后利用平方法去掉根号，同时 要注意讨论不等式成立的条件. 【答案】2 , 0 8.（2010重庆高考文科2）已知0t ,则函数 2 t41t y t 的最小值为 . 【命题立意】本小题考查基本不等式的基础知识及其应用，

9、考查运算求解的能力. 【思路点拨】先把函数表达式变形，再用均值不等式求最值. 【规范解答】 2 4111 44242 tt ytt ttt ,当且仅当 1 t t ，即1t 时等号成立. 【答案】2 【方法技巧】配凑均值不等式形式是关键但要注意检验：“一正，二定，三相等” 9 （2010湖北高考理科15）设00ab ， ，称 2ab ab 为a，b的调和平均数如图， C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆过点C作OB的 垂线，垂足为C连结OD，AD，BD过点C作OD的垂线，垂足为E则图中线段OD的长度是a，b的算术 平均数，线段 的长度是a，b的几何平均数

10、，线段 的长度是a，b的调和平均数 【命题立意】本题主要考查考生对算术平均数、几何平均数、调和平均数概念的理解，考查均值不等式的 应用、相似三角形及圆的性质，考查考生的识图、运算能力 【思路点拨】由ACDDCB，则对应边成比例，可得线段 DC 的长度是a，b的几何平均数；同理由 OCDCED对应边成比例可得线段 DE 的长度是a，b的调和平均数. 【规范解答】由 0 90ADB,CDAB知ACDDCB, 从而 ACDC DCCB ,即 2 DCACCB,因此 2 DCab，DCab；同理由OCDCED得 CDDE ODCD ,即 2 2 2 CDabab DE ab ODab . 【答案】DC

11、 DE 【方法技巧】由 2 ab ab ，结合直角三角形斜边大于直角边知：ab可为以长度为 2 ab 为斜边的直 角三角形其中一条直角边的长度；由 2ab ab ab ，结合直角三角形斜边大于直角边知： 2ab ab 可为以长 度为ab为斜边的直角三角形其中一条直角边的长度. 10.（2010上海高考理科22）若实数x,y,m满足xmym，则称x比y远离m. （1）若 2 1x 比 1 远离 0，求x的取值范围. （2）对任意两个不相等的正数a,b，证明： 33 ab比 22 a bab远离2ab ab. （3）已知函数( )f x的定义域 k D=x|x+kZxR 24 ， ， .任取xD，

12、( )f x等于sin x和 cosx中远离 0 的那个值.写出函数( )f x的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 【命题立意】本题主要考查解不等式，证明不等式等不等式的有关知识以及分段函数、三角函数的有关性 质等问题 【思路点拨】 （1）根据题意列出不等式，解不等式； （2）采用分析法证明不等式，注意去绝对值的方法和分析法的步骤； （3）结合三角函数的图象观察函数性质 【规范解答】 （1）由题意知0 01 10 01 1 2 2 x x，即1 11 1 2 2 x x，所以1 11 11 11 1 2 22 2 x xx x或或， 解得2 2 x x或2 2 x x，所以 x

13、的取值范围是x|2 2 x x或2 2 x x （2）要证明 33 ab比 22 a bab远离2ab ab， 即证a ab ba ab ba ab bb ba aa ab ba ab bb ba a2 22 2 2 22 23 33 3 ， 因为b ba a ，故a ab ba ab bb ba ab ba aa ab bb ba a2 22 2 2 22 22 22 2 ，a ab ba ab bb ba ab ba a2 22 2 3 33 33 33 3 ， 所以只需证明a ab ba ab bb ba aa ab ba ab ba ab bb ba a2 22 2 3 33 32 2

14、2 2 即0 0) )( ( 2 22 23 33 3 a ab bb ba ab ba a,化简得0 0) )( () )( ( 2 2 b ba ab ba a显然成立， 所以 33 ab比 22 a bab更远离2ab ab 性质：偶函数 关于 y 轴对称; 周期 T= 2 ; 在区间 kk 242 （-，）)(Zk 上单调递增，在区间 kk 224 （，+ ）)(Zk 上单调递减; 最大值为 1，最小值为 2 2 . 【方法技巧】新概念问题要紧跟“新概念”不放. 函数图像与性质紧相连. 11.（2010上海高考文科22）若实数x，y，m满足xmym，则称x比y接近m. （1）若 2 1

15、x 比 3 接近 0，求x的取值范围. （2）对任意两个不相等的正数a，b，证明： 22 a bab比 33 ab接近2ab ab. （3）已知函数( )f x的定义域 R Rx xZ Zk kk kx xx xD D , , ,| | .任取xD，( )f x等于1 sin x和 1 sin x中接近 0 的那个值.写出函数( )f x的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性 （结论不要求证明）. 【命题立意】本题主要考查解不等式，证明不等式等不等式的有关知识以及分段函数、三角函数的有关性 质等问题 【思路点拨】 （1）根据题意列出不等式，解不等式； （2）采用分析法证明不等式

16、，注意去绝对值的方法和分析法的步骤； （3）结合三角函数的图象观察函数性质 【规范解答】 （1） 由题意知0 03 30 01 1 2 2 x x，即3 31 1 2 2 x x，所以3 31 10 0 2 2 x x，4 41 1 2 2 x x，解 得1 12 2 x x或2 21 1 x x，所以 x 的取值范围是x|1 12 2 x x或2 21 1 x x （2）要证明 22 a bab比 33 ab接近2ab ab， 即证a ab ba ab bb ba aa ab ba ab ba ab bb ba a2 22 2 3 33 32 22 2 ， 因为b ba a ，故a ab b

17、a ab bb ba ab ba aa ab bb ba a2 22 2 2 22 22 22 2 ，a ab ba ab bb ba ab ba a2 22 2 3 33 33 33 3 ， 所以只需证明a ab ba ab bb ba aa ab ba ab ba ab bb ba a2 22 2 3 33 32 22 2 ， 即0 0) )( ( 2 22 23 33 3 a ab bb ba ab ba a,化简得0 0) )( () )( ( 2 2 b ba ab ba a显然成立， 所以 22 a bab比 33 ab接近2ab ab （3）因为0 0s si in n1 1 x x，0 0s si in n1 1 x x， 当) )( (2 22 2Z Zk kk kx xk k 时，0 0s si in n x x，x xx xs si in n1 1s si in n1 1