高三数学总复习练习第十三章 选修系列

1、第十三章选修系列第十三章选修系列 4 学案学案 73几何证明选讲几何证明选讲 (一)相似三角形的判定及有关性质 导学目标： 1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理；2.掌握相似三角形 的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理 自主梳理 1平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直 线上截得的线段也相等 2平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段_ 推论 1平行于三角形一边的直线截其他两边(或_)，所得的对应线段 _ 推论 2平行于三角形的一边，并且和其他两边_的直线所截得的三角形

2、的三边 与原三角形的三边对应_ 推论 3三角形的一个内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比 例 3相似三角形的判定 判定定理 1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角 对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应_的两个三角形相似 判定定理 2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应 成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为 ： 两边对应成比例且_ 相等的两个三角形相似 判定定理 3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例的两个三角形相似 4

3、相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； (2)相似三角形周长的比等于相似比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方 5直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在_与斜边的_， 斜边上的 高的_等于两条直角边在斜边上的射影的乘积 自我检测 1如果梯形的中位线的长为 6 cm，上底长为 4 cm，那么下底长为_cm. 2如图，在ABC 中，EDBC，EFBD，则下列四个结论正确的是(填序 号)_ ；. AF FD ED BC AF FD CD AD AF FD AD DC AF FD AB AE 3如图，在 RtABC 中，

4、ACB90，CDAB 于点 D，CD2，BD3，则 AC _. 4如图所示，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AB5 cm，AC4 cm，BC7 cm，则 BD_cm. 第 4 题图第 5 题图 5(2011陕西)如图，BD，AEBC，ACD90，且 AB6，AC4，AD 12，则 BE_. 探究点一确定线段的 n 等分点 例 1 已知线段 PQ，在线段 PQ 上求作一点 D，使 PDDQ21. 变式迁移 1已知ABC，D 在 AC 上，ADDC21，能否在 AB 上找到一点 E， 使得线段 EC 的中点在 BD 上 探究点二平行线分线段成比例定理的应用 例 2 在ABC 的边 AB、A

5、C 上分别取 D、E 两点，使 BDCE，DE 的延长线交 BC 的延长线于点 F.求证：. DF EF AC AB 变 式 迁 移 2 如 图 ， 已 知 ABCDEF ， AB a ， CD b(0ab) ， AEEC mn(0m0，舍去负根)，所以斜边的长为 5，故斜边上的中线的长为.66 5 6 2 515 解析ADBC， ， ， OB OD BC AD 20 12 5 3 OB BD 5 8 OEAD， ， OE AD OB BD 5 8 OE AD 12， 5 8 5 8 15 2 同理可求得 OF BC 20， 3 8 3 8 15 2 EFOEOF15. 62 解析连接 DE，

6、因为 ADBC，所以ADB 是直角三角形，则 DE ABBEDC. 1 2 又因为 DGCE 于 G，所以 DG 平分 CE，故 EG2. 76 解析设 DEx，DEAC， ，解得 BE. BE 15 x x4 15x x4 . BD DC BE EA BE 15BE x 4 又AD 平分BAC， ， BD DC BA AC 15 x4 x 4 解得 x6. 8.1 4 解析连接 DE，延长 QP 交 AB 于 N， 则Error! 得 PQ BC. 1 4 9证明由三角形的内角平分线定理得， 在ABD 中， DF AF BD AB 在ABC 中，(3 分) AE EC AB BC 在 RtA

7、BC 中，由射影定理知，AB2BDBC， 即.(6 分) BD AB AB BC 由得：，(9 分) DF AF AB BC 由得：.(11 分) DF AF AE EC 10证明延长 AD 至 G，使 DGMD，连接 BG、CG. BDDC，MDDG， 四边形 BGCM 为平行四边形(4 分) ECBG，FBCG， ， AE AB AM AG AF AC AM AG ，(8 分) AE AB AF AC EFBC.(12 分) 11证明BOPM， ，(2 分) PM BO PA OA DOPS， ，.(4 分) PS DO PA OA PM BO PS DO 即，由 BOPR PM PS B

8、O DO 得.(6 分) PR BO PC CO 由 DOPN 得.(8 分) PN OD PC CO ，即， PR BO PN DO PR PN BO DO .PMPNPRPS.(12 分) PR PN PM PS 学案学案 74几何证明选讲几何证明选讲 (二)直线与圆的位置关系 导学目标： 1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定 理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定 自主梳理 1圆周角、弦切角及圆心角定理 (1)_的度数等于其的对_的度数的一半 推论 1：_(或_)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角 _

9、相等 推论 2：半圆(或直径)所对的_等于 90.反之，90的圆周角所对的弧是 _(或_) (2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的_ (3)圆心角的度数等于它所对弧的度数 2圆中比例线段有关定理 (1)相交弦定理：_的两条_，每条弦被交点分成的_的积 相等 (2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的 两个交点的线段长的_ (3)割线定理：从圆外一点引圆的两条_，该点到每条割线与圆的交点的两条线 段长的积相等 温馨提示相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系， 在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广 3

10、切线长定理 从_一点引圆的两条切线，_相等 4圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆内接四边形的对角_ 推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的_ (2)判定定理：如果四边形的_，则四边形内接于_ 推论：如果四边形的一个外角等于它的_，那么这个四边形的四个顶点 _ 5圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_ 推论 1：经过_且_与垂直的直线必经过切点 推论2：经过_且切线与垂直的直线必经过 _ (2)判定定理：过半径_且与这条半径_的直线是圆的切线 自我检测 1如图在 RtABC 中，B90，D 是 AB 上一点，且 AD2DB，以 D 为圆心，D

11、B 为半径的圆与 AC 相切，则 sin A_. 2(2010南京模拟)如图，AB 是圆 O 的直径，EF 切圆 O 于 C，ADEF 于 D，AD 2，AB6，则 AC 长为_ 3(2011湖南)如图，A，E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC4，ADBC，垂足 为 D，BE 与 AD 相交于点 F，则 AF 的长为_ 4如图所示，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 交O 于点 D，若 AD32， CD18，则 AB_. 5 (2010揭阳模拟)如图， 已知 P 是O 外一点， PD 为O 的切线， D 为切点， 割线 PEF 经过圆心 O，PF12，PD4，则圆 O 的半径长为

12、_、EFD 的度数为_.3 探究点一与圆有关的等角、等弧、等弦的判定 例 1 如图，O 的两条弦 AC，BD 互相垂直，OEAB，垂足为点 E.求证：OE1 2 CD. 变式迁移 1 在ABC 中，已知 CM 是ACB 的平分线，AMC 的外接圆 O 交 BC 于 点 N；若 AC AB，求证：BN3MN. 1 3 探究点二四点共圆的判定 例 2 如图，四边形 ABCD 中，AB、DC 的延长线交于点 E，AD，BC 的延长线交于点 F，AED，AFB 的角平分线交于点 M，且 EMFM.求证：四边形 ABCD 内接于圆 变式迁移 2 如图，已知 AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的

13、割线，与O 交于 B、C 两点，圆心 O 在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点 (1)证明：A，P，O，M 四点共圆； (2)求OAMAPM 的大小 探究点三与圆有关的比例线段的证明 例 3 如图，PA 切O 于点 A，割线 PBC 交O 于点 B，C，APC 的角平分线分别 与 AB，AC 相交于点 D，E，求证： (1)ADAE； (2)AD2DBEC. 变式迁移 3 (2010全国) 如图，已知圆上的弧，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： AC BD (1)ACEBCD； (2)BC2BECD. 1圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利

14、用定理进行等 角代换与传递 2要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公 共点和圆心证垂直 ； 遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角 是直角解决有关问题 3判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用 圆心角定理及其推论证明 4证明多点共圆的常用方法： (1)证明几个点与某个定点距离相等； (2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等； (3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角) 5圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角， 找相似三角形，从而得到线

15、段的比 (满分：75 分) 一、填空题(每小题 5 分，共 40 分) 1如图，已知 AB，CD 是O 的两条弦，且 ABCD，OEAB，OFCD，垂足分 别是 E，F，则结论，AOBCOD，OEOF，中，正确 AB CD AD BC 的有_个 2(2010湖南)如图所示，过O 外一点 P 作一条直线与O 交于 A、B 两点已知 PA 2，点 P 到O 的切线长 PT4，则弦 AB 的长为_ 3(2010陕西) 如图，已知 RtABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm,4 cm，以 AC 为直径的圆 与 AB 交于点 D，则_. BD DA 4(2009广东)如图，点 A，B，C

16、 是圆 O 上的点，且 AB4，ACB45，则圆 O 的面积为_ 5已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA2，AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于点 B，PB1，则圆 O 的半径 R_. 6如图，圆 O 是ABC 的外接圆，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，CD2，7 AB3.则 BD 的长为_ 7(2011天津)如图，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上一点， 且 DFCF，AFFBBE421.若 CE 与圆相切，则线段 CE 的长为_2 8(2010天津)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点

17、 P.若 ， ，则的值为_ PB PA 1 2 PC PD 1 3 BC AD 二、解答题(共 35 分) 9(11 分)如图，三角形 ABC 中，ABAC，O 经过点 A，与 BC 相切于 B，与 AC 相交于 D，若 ADCD1，求O 的半径 r. 10(12 分)(2009江苏)如图，在四边形 ABCD 中，ABCBAD.求证：ABCD. 11 (12 分)(2011江苏)如图， 圆 O1与圆 O2内切于点 A， 其半径分别为 r1与 r2(r1r2) 圆 O1的弦 AB 交圆 O2于点 C(O1不在 AB 上)求证：ABAC 为定值 学案学案 74几何证明选讲几何证明选讲 (二)直线与

18、圆的位置关系 自主梳理 1(1)圆周角弧同弧等弧所对的弧圆周角半圆弦为直径(2)一半 2.(1)圆相交弦两条线段长 (2)等比中项(3)割线3.圆外切线长4.(1)互补对角(2)对角互补圆内角的 对角共圆 5(1)半径圆心切线切点圆心(2)外端垂直 自我检测 1.1 2 解析设切点为 T，则 DTAC，AD2DB2DT， A30，sin A . 1 2 22 3 解析连接 CB，则DCACBA， 又ADCACB90， ADCACB. . AD AC AC AB AC2ABAD2612. AC2 . 3 3. 2 3 3 解析如图，连接 CE，AO，AB.根据 A，E 是半圆周上的两个三等分点，

19、BC 为直径， 可得CEB90， CBE30， AOB60， 故AOB 为等边三角形， AD， ODBD3 1，DF，AFADDF. 3 3 2 3 3 440 解析如图，连接 BD，则 BDAC，由射影定理知， AB2ADAC32501 600，故 AB40. 5430 解析由切割线定理得 PD2PEPF， PE4，EF8，OD4. PD2 PF 16 3 12 又ODPD，OD PO，P30， 1 2 POD602EFD，EFD30. 课堂活动区 例 1 解题导引(1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等 量代换 ； 同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)

20、所对的弧相等，进行弧(或弦) 的等量代换 (2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法 证明作直径 AF，连接 BF，CF，则ABFACF90. 又 OEAB，O 为 AF 的中点， 则 OE BF. 1 2 ACBD， DBCACB90， 又AF 为直径，BAFBFA90， AFBACB， DBCBAF，即有 CDBF. 从而得 OE CD. 1 2 变式迁移 1 证明CM 是ACB 的平分线， ， AC AM BC BM 即 BCAC， BM AM 又由割线定理得 BMBABNBC， BNACBMBA， BM AM 又AC AB，BN3AM， 1 3 在圆 O 内ACMMC

21、N， AMMN，BN3MN. 例 2 解题导引证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相 等，也可以证明它们与某一定点距离相等 ； 如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端 点连成的凸四边形对角互补 证明连接 EF， 因为 EM 是AEC 的角平分线， 所以FECFEA2FEM. 同理，EFCEFA2EFM. 而BCDBADECFBAD (180FECEFC)(180FEAEFA) 3602(FEMEFM) 3602(180EMF)2EMF180， 即BCD 与BAD 互补 所以四边形 ABCD 内接于圆 变式迁移 2 (1)证明连接 OP，OM， 因为 AP 与O 相切于

22、点 P， 所以 OPAP. 因为 M 是O 的弦 BC 的中点，所以 OMBC. 于是OPAOMA180， 由圆心 O 在PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补， 所以 A，P，O，M 四点共圆 (2)解由(1)得 A，P，O，M 四点共圆， 所以OAMOPM. 由(1)得 OPAP. 由圆心 O 在PAC 的内部， 可知OPMAPM90， 所以OAMAPM90. 例 3 解题导引寻找适当的相似三角形， 把几条要证的线段集中到这些相似三角形中， 再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证 证明(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB. 因 PE 是APC 的角平

23、分线，故EPCAPD，PA 是O 的切线，故CPAB. 所以AEDADE.故 ADAE. (2)Error!PCEPAD； EC AD PC PA Error!PAEPBD. AE DB PA PB 又 PA 是切线，PBC 是割线PA2PBPC. PA PB PC PA 故，又 ADAE，故 AD2DBEC. EC AD AE DB 变式迁移 3 证明(1)因为，所以BCDABC. AC BD 又因为 EC 与圆相切于点 C，故ACEABC， 所以ACEBCD. (2)因为ECBCDB，EBCBCD， 所以BDCECB，故，即 BC2BECD. BC BE CD BC 课后练习区 14 解析

24、在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦心距相等， 故成立，又由，得，正确 AB CD AD BC 26 解析连接 BT，由切割线定理， 得 PT2PAPB， 所以 PB8，故 AB6. 3.16 9 解析 AD BD(cm)，. AD AC AC AB AD 3 3 5 9 5 16 5 BD DA 16 9 48 解析连接 OA，OB， BCA45， AOB90. 设圆 O 的半径为 R，在 RtAOB 中，R2R2AB216，R28. 圆 O 的面积为 8. 5. 3 解析如图，依题意，AOPA，ABPC，PA2，PB1，P60， 在 RtCAP 中，有 2OA2R2t

25、an 602，3 R . 3 64 解析由切割线定理得：DBDADC2，即 DB(DBBA)DC2，DB23DB28 0，DB4. 7. 7 2 解析设 BEa，则 AF4a，FB2a. AFFBDFFC，8a22，a ， 1 2 AF2，FB1，BE ，AE . 1 2 7 2 又CE 为圆的切线，CE2EBEA . 1 2 7 2 7 4 CE. 7 2 8. 6 6 解析PP，PCBPAD， PCBPAD. PB PD PC PA BC AD ， ，. PB PA 1 2 PC PD 1 3 BC AD 6 6 9. 解过 B 点作 BEAC 交圆于点 E，连接 AE，BO 并延长交 A

26、E 于 F， 由题意ABCACBAEB，(2 分) 又 BEAC，CABABE，则 ABAC 知，ABCACBAEBBAE， (4 分) 则 AEBC，四边形 ACBE 为平行四边形 BFAE.又 BC2CDAC2， BC，BF.(8 分)2AB2AF2 14 2 设 OFx，则Error! 解得 r.(11 分) 2 14 7 10证明由ABCBAD 得ACBBDA，(3 分) 故 A、B、C、D 四点共圆，(5 分) 从而CABCDB.(7 分) 再由ABCBAD 得CABDBA， 因此DBACDB，(10 分) 所以 ABCD.(12 分) 11. 证明如图，连接 AO1并延长，分别交两

27、圆于点 E 和点 D.连接 BD，CE.因为圆 O1与 圆 O2内切于点 A，所以点 O2在 AD 上，故 AD，AE 分别为圆 O1，圆 O2的直径(5 分) 从而ABDACE .(7 分) 2 所以 BDCE，于是 .(10 分) AB AC AD AE 2r1 2r2 r1 r2 所以 ABAC 为定值(12 分) 学案学案 75坐标系与参数方程坐标系与参数方程 导学目标导学目标：1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程 与直角坐标方程的互化.3.理解直线、 圆及椭圆的参数方程， 会进行参数方程与普通方程的互 化，并能进行简单应用 自主梳理 1极坐标系的概

28、念 在平面上取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做_；再选定 一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了 一个_ 设 M 是平面上任一点，极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的_，记为 ；以 极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的_，记为 .有序数对(，) 叫做点 M 的_，记作(，) 2极坐标和直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长 度单位，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的 关系为 x_，

29、y_.另一种关系为：2_，tan _. 3简单曲线的极坐标方程 (1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 (，)0，并且坐标 适合方程 (，)0 的点都在曲线上，那么方程 (，)0 叫做曲线的_ (2)常见曲线的极坐标方程 圆的极坐标方程 _表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆； _表示圆心在(r， )半径为|r|的圆； 2 _表示圆心在极点，半径为|r|的圆 直线的极坐标方程 _表示过极点且与极轴成 角的直线； _表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； _表示过(b， )且平行于极轴的直线； 2 sin()0sin(0)表示过(0，0)且与极轴成 角的直线方程 4常见曲线的参

30、数方程 (1)直线的参数方程 若直线过(x0， y0)， 为直线的倾斜角， 则直线的参数方程为Error!这是直线的参数方程， 其中参数 l 有明显的几何意义 (2)圆的参数方程 若圆心在点 M(a，b)，半径为 R，则圆的参数方程为Error!00)的参数方程为Error! 自我检测 1(2010北京)极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是() A两个圆 B两条直线 C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线 2(2010湖南)极坐标方程 cos 和参数方程Error!(t 为参数)所表示的图形分别是 () A圆、直线 B直线、圆 C圆、圆 D直线、直线 3(2010重庆)直线 yx与圆心为

31、 D 的圆Error!(0,2)交于 A、B 两点，则 3 3 2 直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为() A. B. 7 6 5 4 C. D. 4 3 5 3 4 (2011广州一模)在极坐标系中， 直线 sin( )2 被圆 4 截得的弦长为_ 4 5(2010陕西)已知圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 _. 探究点一求曲线的极坐标方程 例 1 在极坐标系中，以( ， )为圆心， 为半径的圆的方程为_ a 2 2 a 2 变式迁移 1 如图，求经过

32、点 A(a,0)(a0)，且与极轴垂直的直线 l 的极坐标方程 探究点二极坐标方程与直角坐标方程的互化 例 2 (2009辽宁)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标 系曲线 C 的极坐标方程为 cos1，M、N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点 ( 3) (1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M、N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 变式迁移 2 (2010东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直 线 l：sin( )， 4 2 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 (0，)

33、时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标 探究点三参数方程与普通方程的互化 例 3 将下列参数方程化为普通方程： (1)Error!；(2)Error!；(3)Error!. 变式迁移 3 化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图 (1)Error!( 为参数)； (2)Error! (t 为参数) 探究点四参数方程与极坐标的综合应用 例 4 求圆 3cos 被直线Error!(t 是参数)截得的弦长 变式迁移 4 (2011课标全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参 数) M 是 C1上的动点，P 点满足2，P 点的轨迹为曲线 C2.OP OM (1

34、)求 C2的方程； (2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异于极点的交 3 点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB|. 本节内容要注意以下两点 ： 一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中 和 的具体 含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出同直角坐标方程一样，由 于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同在没有充分理解极坐标的前提下，可先化 成直角坐标解决问题二、在普通方程中，有些 F(x，y)0 不易得到，这时可借助于 一个中间变量(即参数)来找到变量 x，y 之间的关系同时，在直角坐标系中，很多比 较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助

35、于参数方程来解决，将会大大简化计算量将曲线 的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的 x，y(它们都是 参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的 等价性参数方程化普通方程常用的消参技巧有 ： 代入消元、加减消元、平方后相加减 消元等同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方 程再去解决相关问题 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1在极坐标系中，与点(3， )关于极轴所在直线对称的点的极坐标是() 3 A(3， ) B(3， ) C(3， ) D(3， ) 2 3 3 4 3 5 6

36、 2曲线的极坐标方程为 2cos21 的直角坐标方程为() 2 Ax2(y )2 B(x )2y2 1 2 1 4 1 2 1 4 Cx2y2 Dx2y21 1 4 3(2010湛江模拟)在极坐标方程中，曲线 C 的方程是 4sin ，过点(4， )作曲线 C 6 的切线，则切线长为() A4 B. C2 D2723 4(2010佛山模拟)已知动圆方程 x2y2xsin 22ysin( )0( 为参数)，那么2 4 圆心的轨迹是() A椭圆 B椭圆的一部分 C抛物线 D抛物线的一部分 5(2010安徽)设曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l 的方程为 x3y20， 则曲线

37、C 上到直线 l 距离为的点的个数为() 7 10 10 A1 B2 C3 D4 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6 (2010天津)已知圆 C 的圆心是直线Error!(t 为参数)与 x 轴的交点， 且圆 C 与直线 x y30 相切，则圆 C 的方程为_ 7(2011广东)已知两曲线参数方程分别为Error!(0)和Error!(tR)，它们的交点 坐标为_ 8(2010广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)， 若以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆 C 的极坐标方程为 _ 三、解答题(共 38 分) 9(12

38、 分)(2011江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆Error!( 为参数)的右焦点， 且与直线Error!(t 为参数)平行的直线的普通方程 10(12 分)(2010福建)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)在 极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴) 中，圆 C 的方程为 2sin .5 (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B.若点 P 的坐标为(3，)，求|PA|PB|.5 11(14 分)(2010课标全国)已知直线 C1：Error!(t 为参

39、数)，圆 C2：Error!( 为参数) (1)当 时，求 C1与 C2的交点坐标； 3 (2)过坐标原点 O 作 C1的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 变化时，求 P 点轨迹 的参数方程，并指出它是什么曲线 学案学案 75坐标系与参数方程坐标系与参数方程 自主梳理 1 极轴极坐标系极径极角极坐标2.cos sin x2y2 (x0)3.(1)极 y x 坐标方程(2)2rcos 2rsin r(R)cos asin b 自我检测 1C2.A3.C 44 3 5(1,1)，(1,1) 解析ysin ， 直线 l 的直角坐标方程为 y1. 由Error!得 x2(y1)21. 由Er

40、ror!得Error!或Error! 直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为(1,1)和(1,1) 课堂活动区 例 1 解题导引求曲线的极坐标方程的步骤：建立适当的极坐标系，设 P(，)是 曲线上任意一点 ； 由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 和极角 之 间的关系式；将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；证明所得方 程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以 省略 答案asin ，0 解析圆的直径为 a，设圆心为 C，在圆上任取一点 A(，)， 则AOC 或 ， 2 2 即AOC| |. 2 又 acosAOCacos|

41、|asin . 2 圆的方程是 asin ，0. 变式迁移 1 解设 P(，)是直线 l 上任意一点，OPcos OA， 即 cos a， 故所求直线的极坐标方程为 cos a. 例 2 解题导引直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式 xcos 及 y sin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问 题常通过变形，构造形如 cos ，sin ，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘 以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解， 因此应注意对变形过程的检验 解(1)由 cos1 得 ( 3) 1. ( 1 2cos

42、 3 2 sin ) 从而 C 的直角坐标方程为 xy1， 1 2 3 2 即 xy2，当 0 时，2，所以 M(2,0)3 当 时，所以 N. 2 2 3 3( 2 3 3 ， 2) (2)M 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为(0，) 2 3 3 所以 P 点的直角坐标为， (1， 3 3) 则 P 点的极坐标为， ( 2 3 3 ， 6) 所以直线 OP 的极坐标方程为 ，(，) 6 变式迁移 2 解(1)圆 O：cos sin ，即 2cos sin ， 圆 O 的直角坐标方程为 x2y2xy， 即 x2y2xy0. 直线 l：sin( )，即 sin cos 1， 4 2

43、2 则直线 l 的直角坐标方程为 yx1， 即 xy10. (2)由Error!得Error! 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1， ) 2 例 3 解题导引参数方程通过消去参数化为普通方程 对于(1)直接消去参数 k 有困难， 可通过两式相除， 先降低 k 的次数， 再运用代入法消去 k； 对于(2)可运用恒等式(sin cos )2 1sin 2 消去 ；对于(3)可运用恒等式()2()21 消去 t. 1t2 1t2 2t 1t2 另外，参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注意普通方程与原参数方程的 取值范围保持一致 解(1)两式相除，得 k.将 k代入，得 x. y

44、 2x y 2x 3 y 2x 1 y 2x 2 化简，得所求的普通方程是 4x2y26y0(y6) (2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)， 得 y22x. 又 x1sin 20,2， 得所求的普通方程是 y22x，x0,2 (3)由()2()21， 1t2 1t2 2t 1t2 得 x24y21. 又 x1， 1t2 1t2 得所求的普通方程是 x24y21(x1) 变式迁移 3 解(1)由 y2(sin cos )21sin 212x， 得 y22x1. sin 2 ， x . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sin cos ，y.2222 故所求普通方程为

45、 y22 ( x ，y)，图形为抛物线的一部分 (x 1 2) 1 2 1 2 22 图形如图甲所示 (2)由 x2y2 221 及 x 0，xy 0 知，所求轨迹为两段 ( 1 t )( 1 t t21) 1 t t21 t2 圆弧 x2y21 (0x1,0y1 或1x0，1y0) 图形如图乙所示 例 4 解题导引一般将参数方程化为普通方程，极坐标方程化成直角坐标方程解 决 解将极坐标方程转化成直角坐标方程： 3cos 即：x2y23x， 即(x )2y2 .Error!即：2xy30. 3 2 9 4 所以圆心到直线的距离 d0， |2 3 203| 2212 即直线经过圆心， 所以圆被直

46、线截得的弦长为 3. 变式迁移 4 解(1)设 P(x，y)，则由条件知 M( ， ) x 2 y 2 由于 M 点在 C1上， 所以Error!即Error! 从而 C2的参数方程为Error!( 为参数) (2)曲线 C1的极坐标方程为 4sin ，曲线 C2的极坐标方程为 8sin . 射线 与 C1的交点 A 的极径为 14sin ， 3 3 射线 与 C2的交点 B 的极径为 28sin . 3 3 所以|AB|21|2 . 3 课后练习区 1B由于极径不变，极角关于极轴对称， 其对称点为(3， )故选 B. 3 2B2cos21，2cos 即 x2y2x， 2 (x )2y2 .

47、1 2 1 4 3C4sin 化为普通方程为 x2(y2)24，点(4， )化为直角坐标为(2，2)， 6 3 切 线 长 、 圆 心 到 定 点 的 距 离 及 半 径 构 成 直 角 三 角 形 ， 由 勾 股 定 理 ： 切 线 长 为 2，故选 C. 2 3 222222 2 4D圆心轨迹的参数方程为 Error! 即Error! 消去参数得 y212x( x )，故选 D. 1 2 1 2 5B曲线 C 的方程为Error!( 为参数)， (x2)2(y1)29，而 l 为 x3y20， 圆心(2，1)到 l 的距离 d.又3，有 2 个 |232| 19 7 10 7 10 10

48、7 10 10 14 10 10 点 6(x1)2y22 解析直线Error!(t 为参数)与 x 轴的交点为(1,0)， 故圆 C 的圆心为(1,0) 又圆 C 与 直线 xy30 相切，圆 C 的半径为 r，圆 C 的方程为(x1)2y2 |103| 2 2 2. 7(1，) 2 5 5 解析将两曲线的参数方程化为一般方程分别为 y21(0y1，0，故可设 t1，t2是上述方程的两实根，所以Error!2 又直线 l 过点 P(3，)，5 故由上式及 t 的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23.(12 分)2 方法二(1)同方法一 (2)因为圆 C 的圆心为点(0，)， 半径 r

49、， 直线 l 的普通方程为 yx3.(8 分)555 由Error!得 x23x20. 解得Error!或Error!(10 分) 不妨设 A(1,2)，B(2,1)，又点 P 的坐标为(3，)，555 故|PA|PB|3.(12 分)822 11解(1)当 时，C1的普通方程为 y(x1)，C2的普通方程为 x2y21，联 3 3 立方程组Error!解得 C1与 C2的交点坐标为(1,0)，( ，)(7 分) 1 2 3 2 (2)C1的普通方程为 xsin ycos sin 0. A 点坐标为(sin2，cos sin )， 故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为 Error!( 为参数)

50、(9 分) P 点轨迹的普通方程为(x )2y2.(12 分) 1 4 1 16 故 P 点轨迹是圆心为( ，0)，半径为 的圆 1 4 1 4 (14 分) 学案学案 76不等式选讲不等式选讲 (一)绝对值不等式 导学目标导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不 等式：(1)|ab|a|b|，(2)|ab|ac|cb|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型 的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c. 自主梳理 1含_的不等式叫做绝对值不等式 2解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种： (1)分段讨论： 根据|f

51、(x)|Error!去掉绝对值符号 (2)利用等价不等式： |f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)； |f(x)|g(x)f(x)g(x)或 f(x)g(x) (3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉 绝对值符号 3形如|xa|xb|c (ab)与|xa|xb|c (ab)的绝对值不等式的解法主要有 三种： (1)运用绝对值的几何意义； (2)_； (3)构造分段函数，结合函数图象求解 4(1)定理 ： 如果 a，b，c 是实数，则|ac|ab|bc|，当且仅当_时， 等号成立 (2)重要绝对值不等式|a|b|ab|a|b|. 使用时(特别是求最值时

52、)要注意等号成立的条件，即 |ab|a|b|ab0； |ab|a|b|ab0； |a|b|ab|b(ab)0； |a|b|ab|b(ab)0； 注：|a|b|ab|a|ab|b|(ab)b|ab|b|b(ab)0. 同理可得|a|b|ab|b(ab)0. 自我检测 1(2010江西)不等式的解集是() | x2 x | x2 x A(0,2) B(，0) C(2，) D(，0)(0，) 2 (2011天津)已知集合 AxR|x3|x4|9， BxR|x4t 6， t(0， 1 t )，则集合 AB_. 3(2011潍坊模拟)已知不等式|x2|x3|a 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围 是

53、() Aa5 Da5 4若不等式|x1|x2|a 无实数解，则 a 的取值范围是_ 5(2009福建)解不等式|2x1|x|1. 探究点一解绝对值不等式 例 1 解下列不等式： (1)17x； (3)|x1|2x1|2. 变式迁移 1 (2011江苏)解不等式 x|2x1|m. (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为 R； (3)若不等式解集为. 分别求出实数 m 的取值范围 变式迁移 2设函数 f(x)|x1|x2|，若 f(x)a 对 xR 恒成立，求实数 a 的取值范 围 探究点三绝对值三角不等式定理的应用 例 3 “|xA| ，且|yA| ”是“|xy|”(x，y，A，R)的()

54、2 2 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 变式迁移 3(1)求函数 y|x2|x2|的最大值； (2)求函数 y|x3|x2|的最小值 转化与化归思想的应用 例 (10 分)设 aR，函数 f(x)ax2xa (1x1)， (1)若|a|1，求证：|f(x)| ；(2)求 a 的值，使函数 f(x)有最大值. 5 4 17 8 多角度审题 第(1)问|f(x)| f(x) ，因此证明方法有两种，一是利用放缩法 5 4 5 4 5 4 直接证出|f(x)| ；二是证明 f(x) 亦可第(2)问实质上是已知 f(x)的最大值为，求 5 4 5 4 5 4 1

55、7 8 a 的值由于 x1,1，f(x)是关于 x 的二次函数，那么就需判断对称轴对应的 x 值在不在 区间1,1上 【答题模板】 证明(1)方法一1x1，|x|1.又|a|1， |f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x| 2 .3 分 (|x| 1 2) 5 4 5 4 若|a|1，则|f(x)| .5 分 5 4 方法二设 g(a)f(x)ax2xa(x21)ax. 1x1， 当 x1， 即 x210 时，|f(x)|g(a)|1 ；1 分 5 4 当1x1 即 x210 时，g(a)(x21)ax 是单调递减函数2 分 |a|1，1a1，g(a)maxg(

56、1)x2x1 2 ；3 分 (x 1 2) 5 4 g(a)ming(1)x2x1 2 .4 分 (x 1 2) 5 4 |f(x)|g(a)| .5 分 5 4 (2)当 a0 时，f(x)x，当1x1 时，f(x)的最大值为 f(1)1，不满足题设条件， a0.6 分 又 f(1)a1a1，f(1)a1a1. 故 f(1)和 f(1)均不是最大值，7 分 f(x)的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得， 17 8 命题等价于Error!，9 分 解得Error!， a2.即当 a2 时，函数 f(x)有最大值.10 分 17 8 【突破思维障碍】 由于|a|1，f(x)的表达式中有两项含有 a，要想利用条件|a|1，必须合并含 a 的项，从 而找到解题思路；另外，由于 x 的最高次数为 2，而 a 的最高次数为 1，把 ax2xa 看作 关于 a 的函数更简单，这两种方法中，对 a 的合并都是很关键的一步 【易错点剖析】 在第(1)问中的方法一中，如果不合并含 a 的项，就无法正确应用条件|a|1，从而导致 出错或证不出；方法二也需要先合并含 a 的项后，才容易把 f(x)看作 g(a) 解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有 ： 公式