复合函数的单调性

1、函数的图象变换,常用的图象变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换.,(1)平移变换：,沿y轴向上(b0)或,向下(b0)平移|b|个单位,由y=f(x)的图象变换得到y=f(x+a)的图象，其步骤是：,沿x轴向左(a0)或,向右(a0)平移|a|个单位,由y=f(x)的图象变换得到y=f(x)+b的图象，其步骤是：,左加右减，上加下减,函数的图象变换,(2)对称变换：,y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称； y=f(x)与y= - f(x)的图象关于x轴对称； y=f(x)与y= -f(-x)的图象关于原点对称； y=f(x)去掉y轴左边图象，保留y轴右边图象;再作其关于y轴

2、对称图象，得到y=f(|x|). y=f(x)保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去，得到y=|f(x) |,结论1：yf(x)(f(x) 恒不为0)，与 的单调 性相反,结论2： yf(x)与ykf(x)，当k0时，单调性相同； 当k0时，单调性相反,结论3：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则f(x)+g(x) 也 是增函数,结论4：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减函 数，则f(x)-g(x)是增函数,结论5：若f(x)(其中f(x)0)在某个区间上为增函数， 则 也是增函数,复合函数的单调性,引入,溶液酸碱度的测量.,溶液酸碱度是通过PH刻画的.PH的计算公式为PH=

3、 lgH+,其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.,根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,说 明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关 系;,引入,解:根据对数的运算性质，有,根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,说 明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关 系;,例: 已知函数f (x)在R上是增函数，g(x)在a,b上是减 函数，求证：f g(x)在a,b上是减函数.,证明：设x1,x2a,b,且x1x2,g(x)在a,b上单调递减 g(x1)g(x2), f (x)在R上递增,又 g(x1)R，g(x2)R,f g(x1)f g(x2),fg(x)在a,b上是减函数

4、,引入,2、复合函数的单调性的规律,增,增,减,减,结论：同增异减,新课讲解,例2、求函数 的单调区间,方法总结：,1、求复合函数的定义域,2、求u=g(x)的单调区间，判断 y=f (u)的单调性,3、利用“同增异减”下结论,答案： 单调减区间：(-，-3 单调增区间：2，+),注意：复合函数y=f g(x)的单调区间必然是其定义域的子集,例题讲解,例3、求函数 的单调区间,例题讲解,求函数 的单调区间,求函数 的单调 区间,例4、已知函数y=loga(x2-4ax+2)在区间(1，4)上 是减函数，求实数a的取值范围,答案：,教辅P84 课后评价 13,例题讲解,练习,1、下列函数在(0,+)上是增函数的是 （ ）,2、函数 的递增区间是_,D,小结：,2、掌握求解复合函数单调区间的一般步骤:,(1)求复合函数的定义域,(2)求u=g(x)的单调区间，判断y=f (u)的单调性,(3)利用“同增异减”下结论,1、在求函数的值域、最值、单调区间、奇偶性 时，首先必须考察函数的定义域.,作业,思考题：