四川省泸县第二中学2020学年高二数学下学期期中试题 理（通用）

1、2020年春期四川省泸县二中高二年级半期考试数学（理科）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数（ ）A B C D2点M的直角坐标为化为极坐标为（ ）A B C D 3化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）Ax2+y2=0或y=1 Bx=1 Cx2+y2=0或x=1 Dy=14.函数f(x)ln(54xx2)的单调递减区间是( )A. B. C. D.5.点()在圆的内部，则的取值范围( ) A11 B 01 C1 D16f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间(

2、0,6)内解的个数至少是( )A5 B4 C3 D27.直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，且，则（ ） 8.若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条9.若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.10一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是( )A. B. C. D. 11定义在上的函数的导函数无零点，且对任意都有，若函数在上与函数具有相同的单调性，则的取值范围是（ ）A B C. D12.函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为（

3、）A B C. D第卷（90分）二.填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.函数在处的切线方程为_.14.已知函数在与时都取得极值，若对，不等式恒成立，则c的取值范围为_。15.一个长、宽、高分别为、密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 16.已知函数，对于任意都有恒成立，则的取值范围是 .三.解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本小题满分12分）已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4()求a，b的值； (

4、)讨论f(x)的单调性18（本小题满分12分）剑门关华侨城2020首届新春灯会在剑门关高铁站广场举行.在高铁站广场上有一排成直线型的4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率是，现将这4盏灯依次记为，.并令，设，当这些装饰灯闪烁一次时.（）求的概率.（）求的概率分布列及的数学期望.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，.，侧面底面.（）求证：平面平面；（）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.20.（本题满分12分）设抛物线的焦点为，准线为.已知以为圆心，半径为4的圆与交于、两点，是该圆与抛物线的一个交点，.()求的值；（）已知点的纵

5、坐标为且在上，、是上异于点的另两点，且满足直线和直线的斜率之和为，试问直线是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.21.已知函数，.()当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（）当时，证明：.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。22.选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.()求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的

6、最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.()解不等式；（）若、，证明：.2020年春期四川省泸县二中高二年级半期考试数学（理科）答案1-6 CCADDB 7-12 ACBDAD 13.; 14. 15. 16. 17.解：(1)f(x)ex(axab)2x4， 由已知得f(0)4，f(0)4，故b4，ab8 从而a4，b4 (2) 由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2) 令f(x)0得，xln 2或x2 当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0 故f(x)在 (，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln

7、2)上单调递减 18.解：解：（）由题意得.（）的可能取值为0,1,2,3,4，而 ，的概率分布列为01234P=.19.证明：（）因为，.所以，是等腰直角三角形，故.因为，所以，即.因为侧面底面，交线为，所以平面，所以平面平面；（）过点作交的延长线于点，因为侧面底面，所以是与底面所成的角，即，过点在平面内作，因为侧面底面，所以底面.如图建立空间直角坐标系.设，则，设是平面法向量则取设是平面法向量则，取，.所以二面角的余弦值为.方法二：（）过点作交的延长线于点.因为侧面底面.所以是与底面所成的角，即.设，则，在中，所以，取中点，因为，所以.过点作交于点，连接，则是二面角的平面角.在中，由余弦定

8、理得：.可求得，.在中，由余弦定理得.在中，可求得，所以，所以二面角的余弦值为.20.解：（1）设，则由得 因为在上，所以. 因此点的轨迹方程为（2）由题意知 设，则，由得又由（1）知，故所以，即.又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点.21.解：（1）由，得.整理，得恒成立，即.令.则.函数在上单调递减，在上单调递增.函数的最小值为.，即.的取值范围是.（2）为数列的前项和，为数列的前项和.只需证明即可.由（1），当时，有，即.令，即得.现证明，即. 现证明.构造函数，则.函数在上是增函数，即.当时，有，即成立.令，则式成立.综上，得.对数列，分别求前项和，得.22.解：（1）直线的极坐标方程为，即.由，可得直线的直角坐标方程为.将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程